4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·选择性必修第二册(RJB) 随堂巩固促应用 整证反馈迁移运用 1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次，出现 响.现规定：投进两个得4分，投进一个得 “2次正面向上”的概率是 ( 2分，一个未进得0分，则其中一名同学得 A号 2分的概率为 () A.0.5 B.0.48 c C.0.4 D.0.32 4.(多选)设M,N为两个随机事件，给出以下 2.甲射击命中目标的概率是2，乙射击命中目 命题，其中正确的命题为 () 标的概率是？，丙射击命中目标的概率是 A.P(M)P(N)-3P(MN)- },三人是否命中目标相互独立。现在三人 则M,N为相互独立事件 同时射击同一目标，则目标被击中的概率为 BP()-P(N)-P(MN)- ) 则M,N为相互独立事件 A B号 C若PM=2PN)=3,PMN=合： c 则M,N为相互独立事件 3.某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比 D若P0=2PN)=3,P(MN)= 6 赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知 则M,N为相互独立事件 每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有 提示请完成《素能提升训练》训练十 2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影 4.2 随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 [学习任务 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其表示的事件. 3.理解随机变量之间的关系，会求简单的离散型随机变量的概率， 30 第四章概率与统计 自主学习探新知 深前预习双基幕实 知识点一 随机变量的概念 知识点二 随机变量与事件的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a,b都 般地，如果随机试验的样本空间为Q,面且 对于口中的每一个样本点，变量X都对应有 概念 是任意实数，那么X=a,X≤b,X>b等都表 准一确定的 与之对应，就称X为一 个随机变量 示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X=a与X=b 随机变量一般用大写英文字持X,Y,Z,…或 表示 (2)事件X≤a与X>a ,因此P(X 小写希腊字母，…表示 ≤a)十P(X>a)=1. 随机变量的取值由随机试验的 取值 决定 赵微练习 1.若P(X≤0)=0.23，则P(X>0)= 取值范围 随机变量 组成的集合，称 为这个随机变量的取值范围 随机变量的所有可能取 知识点三随机变量之间的关系 离散型随机变量 值可以一一列举出来 般地，如果X是一个随机变量，a,b都 分类 随机变量的取值范围包 是实数且a≠0，则Y=aX十b也是一个随机变 连续型随机变量 含一个区间，不能一一列 举出来 量.由于X=t的充要条件是Y=at十b,因此 赵微思考 P(X=1)= [思考] 随机变量与随机试验的结果的关 这微练习 系是怎样的？ 2.随机变量X的取值范围是{0，一1,1}，且Y =2X2一1，则Y的取值范围为 () A.-1,0} B.{0,1 C.{0,-1,1 D.{-1,1} 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一随机变量的判断 D.倒出的3个小球的颜色的种数 [例1门(1)一个袋子中有除颜色外其他都相 (2)(多选)下列各量中是离散型随机变量 同的红，黄、绿、白四种小球各若干个，一次 的是 () 倒出3个小球，下列变量是离散型随机变量 A.某机场候机室中一天的游客数量 的是 B.某同学离开自己学校的距离 A,小球滚出的最大距离 C.某将要举行的绘画比赛中某同学获得的 B.倒出小球所需的时间 名次 C.倒出的3个小球的质量之和 D.体积为8m的正方体的棱长 31 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 川规律方法川 (4)在10件产品中有8件正品，2件次品， 判断离散型随机变量的方法 每次取一件，取后放回，共取5次，取到正品 (1)明确随机试验的所有可能结果. 的件数 (2)将随机试险的结果数量化 (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列 出，如能一一列出，则该随机变量是离做型悠机变量， 否则不是。 口跟踪训练 1.(多选)下面是离散型随机变量的是( A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的 次数记为X B.某人射击2次，击中目标的环数之和记 川规律方法川 为X 随机变量的取值及表示的事件问题的关注点 (1)关键：明确随机变量的所有可能取值，以及取 C.测量一批电阻，在950~12002之间的 每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能 阻值记为X 对应一个或多个随机试验的结果 (2)注意：解答过程中不要漏掉某些试检结果： D.一个在数轴上随机运动的质点，它在数 (3)公式：互斥事件与对立事件的概率公式. 轴上的位置记为X ☑跟踪训练 2.下列随机试验的结果，不能用离散型随机变 3.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机 量表示的是 ( 变量所取的值表示的随机试验的结果。 A.将一枚均匀的正方体骰子掷两次，所得 (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中 点数之和 任取5个球，其中所含白球的个数为X: B.某篮球运动员6次罚球投进的次数 (2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号 为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球 C.电视机的使用寿命 的最大号码记为X. D.从含有3件次品的50件产品中，任取2 件，其中抽到次品的件数 探究二随机变量及其表示的事件 [例2]写出下列随机变量可能取的值，并说 明随机变量取值所表示的随机试验的结果 (1)在10件产品中有2件是次品，8件是正 品，任取三件，取到正品的个数： 探究三 随机变量之间的关系 (2)在10件产品中有2件次品，8件正品， [例3]某城市建设集团塔吊工人师傅的税前 每次取一件，取后不放回，直到取到两件次 月工资按下述方法计取：固定工资3000元， 品为止，抽取的次数： 每工作一小时再获取60元，从该公司塔吊 (3)在10件产品中有8件正品，2件次品， 师傅中任意抽取一名，设其月工作时间为X 每次取一件，取后放回，直到取到两件次品 小时(X∈N且X≤240)，获取的税前工资 为止，抽取的次数： 为Y元. 32 第四章概率与统计 (1)当X=200时，求Y的值： 跟踪训练 (2)写出X和Y之间的关系式： 4.已知随机变量X与Y的不同取值及对应的 (3)若P(16200<Y≤17400)-0.58，求 概率如下表，则a十2b= ( P(X≤220)的值. X 1 2 P(X) 0.4 0.6 Y=aX+b 4 7 P(Y) 0.4 0.6 A.3 B.4 C.5 D.6 5.把下表补充完整 川规律方法川 表一 表二 两个随机变量关系问题中的两个结论 (1)若X是随机变量，期Y=aX+b(a,b∈R,a≠0) X Y=2X-3 也是随机变量， (2)P(X=t)=P(Y=a1十b). P(X) 0.7 P(Y) 0.3 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.(多选)将一颗均匀的骰子掷两次，能作为随 C.前9次未击中目标 机变量的是 D.第9次击中目标 A.两次掷得的点数 3.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5 B.两次掷得的点数之和 盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的 C.两次掷得的最大点数 信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯 D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点 时首次停下”的事件是 () 数的差 A.Y=5 B.Y=4 2.某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标 C.Y=3 D.Y=2 或子弹打完就停止射击，射击次数为，则 4.已知随机变量X的取值范围是{一1,0,1}， =10表示的试验结果是 且Y=X一1，则Y的取值范围是 A.第10次击中目标 提示请完成《素能提升训练》训练十一 B.第10次未击中目标 4.2.2离散型随机变量的分布列 [学习任务 1.理解离散型随机变量的分布列的概念与性质， 2.会求简单的离散型随机变量的分布列. 3.理解两点分布的定义，并能简单地运用. 33(1)三人都合格的概率 P,=PABO=PAP(BP(O-号X是Xg-d PMN)=言，则P(N)=1-PN)=号，PMPN) (2)三人都不合格的概率 合× 号=3≠P(MN),故M,N不相互立，故C错 3 P=PMC=不P团PO-号xX号-品 误：PM0=名，PN)=子，PMN)=吾则PMN) (3)恰有两人合格的概率 1-PM)=名-P(MP(N),故M,N为相互盘立 P,=P(ABC)+P(A BC)+P(ABC) 事件，故D正确. 4.2 随机变量 恰有一人合格的概率 R=1-P-P-A=1品器品需=高 4.2.1随机变量及其与事件的联系 综合(1)(2)可知P最大. 所以出现怡有一人合格的概幸最大 自主学习探新知 跟踪训练 知识点一 4.解(1)记“甲家庭回答正确这道题"“乙家庭回答正确 实数值结果所有可能的取值 这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A,B,C, 微思考 则PA)=是，PAPC-立P(BPCO= 1 [提示]随机变量每取一个确定的值对应着试验的不 同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量 (ACP(PC) 4 的取值实质上是试验结果所对应的数， 知识点二 所以P(B)=君，P(O=寻 (1)互斥 (2)相互对立 (2)有0个家庭1回答正确的概率 微练习 P=PABC=P不)PB)PC=×g×号品， 5 1,解析P(X>0)=1-P(X≤0)=1-0.23=0.77. 答案0.77 有1个家庭回答正确的概率 知识点三 P=PABC+BC+AB0-是××+片× 3 P(Y=at+b) 8 微练习 吉+片×营×号- 5×2=7 2.DY=2X-1,X=0,-1,1,Y=-1,1,故选D. 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率 自主学习探新知 P1-P-R=1品-影 探究一 [例1](1)汇解析]对于A,小球滚出的最大距离不是离 随堂巩固促应用 散型随机变量，因为滚出的最大距离不能一一列出：对 1.心由题意，每次抛撕攻币正面向上的振率为了 于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量，因为 所需的时间不能一一列出：对于C,3个小球的质量之和 故？次正面向上“附托率P-号×号一批选C 是一个定值，不是随机变量：对于D,例出的3个小球的 颜色的种数可以一一列出，是离散型随机变量。 2Λ由题可知，目标不被击中的能率是号×号×是 [答案]D ，所以目标被击中的概率为1一子-具，故选A 1 (2)[解析]A,C中的量均是随机变量，且其所有可能 的取值都是可以一一列举出来的，故A,C中的量是离 3.B设“第一次投进球”为事件A,“第二次投进球”为事 散型随机变量：B中的量是随机变量，其取值范国是一 件B,则得2分的概率为P=P(AB)+P(AB)=0.4× 个区间，故B中的量是连续型随机变量：D中的量是一 0.6+0.6×0.4=0.48.故选B. 个常量，不是随机变量， 4.ABDP(M)=名，P(N)=名P(MN)=G,则 [答案]AC 跟踪训练 P(MN)=P(MDP(N),故M,V为相互独立事件，故A 1,AB根据离散型随机变量的定义知，A,B是离散型随 正确：PM)=分，P(N)=号，PMN)=名，则P(M 机变量 2.C随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散 =1-P(M=号P(MN)=P(MP(N),故M,N为相 型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍 互德主事件，故B正确：P(M)=名P(N)=子， 为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同 的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为“离 14 教型随机变量”，题目中A,B,D都属于离散型随机变 量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C 4.2.2离散型随机变量的分布列 探究 [例2][解](1)=1,2,3，=(k=1,2,3)表示取到k 自主学习探新知 个正品. 知识点一 (2》=2,3,4,…,10,=k(k=2,3,,10)表示取了k 1.P(X=x)=p 次，第k次取得次品，前k一1次只取得一件次品. 2.(1)≥ (2)1 (3)=2,3,4,…,=k(k=2,34,…)表示取了k次，前 微判断 k一1次取得一件次品，第次取得次品。 (1)(×)(2)(×)(3)(√) (4)=0,1,2,3,4,5,=k(k=0,1,2,3,4,5)表示抽取5 知识点二 次共取得的正品数 1.1-p 2.两种成功概率 跟踪训练 微练习 3.解(1)X可取0,1,2,3. L.A对于选项A,抛掷一枚最子，所得点数X的取值范 X=0表示取5个球全是红球： 因为1,2,3,4,5,6}，所以A中的随机变量不服从两点 X=1表示取1个白球，4个红球： 分布：对于选项B,射击手射击一次，有击中或者不击中 X=2表示取2个白球，3个红球： 目标两种可能的结果，B中的随机变童服从两点分布： X=3表示取3个白球，2个红球， 对于选项C,袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取 (2)X可取3,4,5. 到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布：对于 X=3表示取出的球编号为1,2,3： 选项D,医生微一次手术，手术可能成功，也可能失散，D X=4表示取出的球编号为1,2,4：1,3,4：2,3,4： 中的随机变量服从两点分布. X=5表示取出的球编号为1,2,5：1,3,5：1,4,5：2,3,5： 2.C随机变量X服从两点分布， 2,4,5:3,4.5. P(X=1)-P(X=0)=0.2, 探究三 根据两点分布概率性质可知 [例3][解](1)当X=200时，表示该师傅该月工作了 P(X=1)-P(X=0)=0.2, 200小时，所以Y=3000十200×60=15000. P(X=1)+P(X=0)=1, (2)由题意可得Y=3000+60X(X∈N且X≤240). 解得P(X=1)=0.6,故迭C (3)16200<Y17400,即16200<3000+60X≤ 互动探究解疑难 17400,即220<X≤240. 探究一 因为P(16200Y≤17400)=0.58，所以P(220<X≤ [例1门[解](1)，随机变量X的概率分布为 240)=0.58. P(X=k)=”(k=1.2,3.4). k 所以P(X200)=1-P(220<X240)=1一0.58=0.42 跟踪训练 m十+”+州-1，解得m 2 3 25 4.C由表知，P(X=1)=P(Y=4),所以a十b=4, ① (2)由(1)可得P(X=1)= 12 P(X=2)=P(Y=7),所以2a+b=7. ② 由①②，得a=3,b=1,所以a+2b=5. 1、124 P(X=3)= 3×25251 5.解析因为当X=2时，Y=2X一3=1，所以P(X=2) 1123 =P(Y=1)=0.3.因为当X=4时，Y=2X-3=5, p(X=4)=1×2525 所以P(Y=5)=P(X=4)=0.7. X的分布列为 答案0.30.7 X 1 2 3 4 随堂巩固促应用 L.BCD周为随机变量为一个变量，而A中两次掷得的点 25 25 25 25 数的取值是一个数对，不是一个数，所以不能作为随机 变量，故选BCD. (3)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)= 2.C由题知，=10表示前9次未击中目标，第10次击中 目标或未击中目标」 3.B由题意可知遇到第5蓝信号灯时首次停下，说明已 跟踪训练 通过4盏信号灯，所以Y=4,故选B. L.解(1)由概率分布的性质有0.1十0.3十2a十a=1,解 4.解析因为随机变量X的取值范国是{一1,0,1}，且 得a=0.2,所以X的概率分布为 Y=X-1,所以-1一1=-2,0一1=-1,1-1=0，所以 X 0 1 2 3 Y的取值范国是{一2，一1,0). 答案{一2，一1,0) 0.1 0.3 0.4 0.2 15