4.1.2 乘法公式与全概率公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

P(DA)=P((BUC)A)=P(B A)+P(CA) -P(ADB)P(AOC)6 PA1A)=导，周此由来法公式可得P(A,A,)= P(A) P(A) )=号号-号 答案号 即在小明从家到学校时遇到两个红绿打的概率为号 随堂巩固促应用 探究二 1.C P(AIB)-P(AOB P(B) 2..P(A∩B)=0.3, [例2][解]方法一：由题意可知，该公司的职工委员 .P(BIA)-PCAOB)-0.3-0.75. 会中甲分公号的男员工有20×品=24人 P(A)0.4 50 2.B周为已知第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变 女员工有120×0012（人）， 为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的 概本，显然是行 乙分公司的男莫工有100×品-10（人）. 50 .解折由公元PAB)-PAD-号，PBA 女黄工有40×0-4（人）， P(B) 用A和A分别表示该员工来自甲分公司和乙分公司，用 P(AOB)-3 B表示该员工为女员工， P(A) 5 则P-1224-2P不-10- 5025' 121 4 2 4.解析设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”， 且P(B1A)=12+24=3P(BA)=10+7 则PA)=S P(ANB)-1 忘，故P(B1A)=PAnB 由全概率公式可得，该员工为女员工的概率为 P(A) P(B)=PAP(BA)+P(T)P(B不-爱X号+若 ×号-云 答案 方法二：由题意可知，该公司的职工委员会中甲分公司 的女黄工有120X品-12（人 4.1.2乘法公式与全概率公式 乙分公司的女员工有40×00 50 =4(人)，所以共有女员 自主学习探新知 工16人 知识点一 用B表示该员工为女员工，则该员工为女员工的概 2.同时发生 率为 微练习 解析P(BA)=P(B)P(AB)=0.1×0.3=0.03. pC)-8-会 答案0.03 龈踪训练 2.解用A表示第2次摸得黄球，B表示第1次摸得 知识点二 2.(1)互斥(2)0 黄球， 微思考 P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(A B) [提示]互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法 =axa-1+b -a+6x×a+b+a+b×a+6-a+6 公式 探究三 互动探究解疑难 [例3][解]设事件A表示“射手能通过速拔进入决 探究一 寒”， [例1门[解]设A表示小明第i次投篮命中，i=1,2, 设事件B表示"射手是第级射手"(i=1,2,3), 则由已知可得P(A)=0.6,P(A.1A,)=0.5, 显然，2=B十B十B. 因此由乘法公式可得 PB)=品-，P)品-号PB)=高 P(AA)=P(A)P(A:|A)=0.6×0.5=0.3 P(AB)=0.9.P(AB2)=0.7,P(A|B)=0.5. 即小明两次投篮都命中的概率为0.3 由全概率公式得到P(A)=P(AB)P(B,)十P(AIB,) 跟踪训练 1.B设A表示小刚在第i个十字路口遇到红绿灯，i一 PB,)+PAB,)P(B,)=0.9X+0.7X号+0.5X 1,2,则由已知可得PA,)=子 12 跟踪训练 对于A,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)： 3解)从甲箱中任取2个产品的样本点有C=8X☑ 2 对于B,P(甲T)=品-P(甲)P(T): =28(个)， 对于CP(乙丙)=高≠P(乙)P(两)： 这2个产品都是次品的样本点有C=3(个)， 对于D,P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)，故选ACD “这2个产品都是次品的瓶率为器 [答案]ACD (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事 跟踪训练 件B,为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B,为 1.BCD对于A选项，A,B两个事件发生，没有关系，故 “从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B为“从甲箱 是相互独立事件：对于B选项，A事件发生时，影响到B 事件，故不是相互独立事件：对于C选项，由于投的是一 中取出2个产品都是次品”，则事件B,、事件B、事件 个酸子，A,B是对立事件，所以不是相互独立事件：对 B彼此互斥， 于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A,B P(B)-C 3 C C28 不是相互独立事件，故选BCD 2.CD对于A,事件B与事件C能同时发生，故A错误： PAB)=号，PAB)=号PAB)=音， 、对于C,P(C)-之×兰士是×二=器·故C正骑：对于D.】 CC CC .P(A)=P(B )P(A B )+P(B.)P(A B:)+P(B,) 3×3 P(CIA)-P(AC)_5X6 1 P(A) 2 ,故D正确：对于B,因为 随堂巩固促应用 5 1.APAB)=PAB)PB)=号×号-=7 PA0--品PP-号×3-品所以 2.BP(BA)=P(B)-P(BA)=0.3-0.1=0.2. P(AC)≠P(A)P(C),所以事件A与事件C不是独立事 3.解析P(B)=P(A)P(BA)十P(A)P(B引A)=0.8× 件，故B错误.故选CD. 0.6+0.2×0.1=0.5. 探究二 答案0.5 [例2][解]从甲，乙机床生产的产品中各取1件是废 品分别记为事件A,B,则事件A,B相互独立， 4.解析设A表示第次把芝麻投进方空，=1,2， 且P(A)=0.04,P(B)=0.05. 则由已知可得P(A)=0.5, (1)设“至少有1件废品”为事件C, P(A|A,)=0.3,因此由乘法公式可得 P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B) P(A.A,)=P(A)P(A.A,)=0.5×0.3=0.15, =1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088. 即连续两次都把芝麻投进方空的概率约为0.15. (2)设“恰有1件废品”为事件D,则 答案0.15 P(D)=P(AB)+P(AB) =0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086 4.1.3 独立性与条件概率的关系 跟踪训练 3.解令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究 自主学习探新知 机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事 知识点 P(A)互不影响 件A,B,C相互孩立，且P(A)=号，P(B)=,PC 微判断 (1)(√)(2)(×)(3)(×) (1)他们都研制出疫描，即事件A,B,C同时发生， 自主学习探新知 探究一 故PABC)=PAP(BPO=吉X×号-高 [例1门[解析]由题意可知，两点数和为8的所有可 (2)只有A机构研制出疫苗即事件A,B,C同时发生， 能为 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 以PUAC)=PAPBPC=吉X子X号- 两，点数和为7的所有可能为 探究三 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), [例3][解]记甲，乙、丙三人100来跑成策合格分别为 所以P(p)=,P乙)-名，P丙)=司表高 事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立， 则PA=号PB)=是，PO=子 P(T)=6X6-6 61 设恰有k人合格的概率为P,(k=0,1,2,3) 13第四章概率与统计 4.1.2乘法公式与全概率公式 [学习任务] 1.会应用乘法公式计算概率. 2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率. 自主学习探新知 保前预习双基落实 知识点一乘法公式 (3)P(A,)>0,i=1,2,…,. 1.公式：P(BA)=P(A)P(B|A). 则对2中的任意事件B,都有B=BA,十 2.意义：根据事件A发生的概率，以及已知事 BA:十…+BA,且P(B)=P(BA,)= 件A发生的条件下事件B发生的概率，可 P(A,)P(BIA,) 以求出A与B 的概率. 这微思考 赵微练习 [思考]在全概率公式的推导过程中，用到 已知P(B)=0.1,P(AB)=0.3,则P(BA) 了哪些概率公式？ 知识点二全概率公式 1.全概率公式：一般地，如果样本空间为2，而 A.B为事件，则BA与BA是互斥的，且B= B=B(A+A)=BA+BA,从而P(B)= P(BA+BA)=P(BA)+P(BA),P(A)>0 且P(A)>0时，有P(B)=P(A)P(BA)+ P(A)P(BA). ‘知识点三贝叶斯公式 2.定理1：若样本空间2中的事件A1,A2,…, 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时， A满足： 有P(AB)= P(A)P(BA) P(B) (1)任意两个事件 ,即AA,=⑦， P(A)P(BA) i≠j,i,j=1,2.…,n: P(A)P(BA)+P(A)P(BIA) (2)A1+A2+…十A= 互动探究解疑难 要点归纳单难突骇 探究一乘法公式的应用 概率是0.5，求小明两次投篮都命中的 [例1门在一次篮球比赛中，假如运动员小明 概率. 有两次投篮机会，按照以往的比赛成绩，小 明第一次投进3分球的概率是0.6，在第一 次投篮命中的条件下第二次投篮也命中的 25 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 川规律方法川 川规律方法川 在科用乘法公式解决实际问时，要注意区分 两个事件的全概率问题求解策略 P(BA)和P(A|B)的不同，P(B引A)表示在事件A发 (1)拆分：将样本空间拆成互斥的两部分，如A1· 生的条件下事件B发生的概率：而P(A|B)则表示在 A,(或A与A). 事件B发生的条件下事件A发生的概率， (2)计算：利用乘法公式计算每一郁分的概率 (3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A,)P(B 跟踪训练 A,)+P(A,)P(BIA,). 1.小刚从家骑自行车去学校要经过两个十字 路口，在第一个十字路口遇到红绿灯的概率 口跟踪训练 2.袋中有大小相同的a个黄球，b个白球.现 是？，若小刚在第一个十字路口遇到红绿 不放回地摸球两次，每次摸出1个球，问：第 灯，在第二个十字路口又遇到红绿灯的概率 2次摸得黄球的概率是多少？ 是号，那么在小明从家到学校时遇到两个红 绿灯的概率是 A号 B号 Co n品 探究二两个事件的全概率公式的应用 [例2] 已知某公司有甲、乙两个分公司，男 探究三多个事件的全概率问题 女员工人数如下表所示： [例3]某射击小组共有20名射手，其中一 男员工人数 女员工人数 级射手5人，二级射手8人，三级射手7人： 甲 240 120 一，二、三级射手能通过选拔进入决赛的概 乙 100 40 率分别是0.9,0.7,0.5.求在小组内任选一 公司按照分层随机抽样的方法抽取了50名 名射手，该射手能通过选拔进人决赛的 员工组成职工委员会，现从该职工委员会中 概率。 随机抽取一名员工参加上级工会会议，求该 员工为女员工的概率。 26 第四章概率与统计 山规律方法川 (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品 “化整为零”求多事件的全概率问题 都是次品的概率； (1)如图，P(B)=P(A)P(BA). (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中， 然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这 BA BA 个产品是正品的概率。 RAz A (2)已知事件B的发生有各种可能的清形A,(i= 1,2,…,n),事件B发生的可能性，就是各种可能情形 A,发生的可能性与已知在A,发生的条件下事件B发 生的可能性的乘积之和 ☑跟踪训练 3.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱 的产品中有4个正品和3个次品. 随堂巩固促应用 验证反情迁移运用 1.若PAB)=),PB)=则PAB的值是 3.已知P(A)=0.8,P(BA)=0.6,P(B|A) =0.1,则P(B)= 4,开元通宝是我国唐代的一 A司 种货币，向如图所示的开 元通宝上任意投掷一粒芝 c Di 麻，第一次投进方空的概 率约为0.5，在第一次投进 2.若P(B)=0.3,P(BA)=0.1,则P(BA)= 方空的条件下第二次也投进方空的概率约 ( 为0.3，则像这样连续两次都把芝麻投进方 A.0.1 B.0.2 空的概率约为 C.0.3 D.0.4 提示请完成《素能提升训练》训练九 4.1.3 独立性与条件概率的关系 [学习任务 1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件，会对事件的独立性进行判断. 2.会求相互独立事件同时发生的概率。 3.能运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 自主学习探新知 谋前预习双巷落实 知识点事件A与B独立的充要条件 是P(AIB)= ,事实上，“A与B独 当P(B)>0时，A与B独立的充要条件 立”也经常被说成“A与B ” 27