第3章 排列、组合与二项式定理 章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·选择性必修第二册(RJB) 专题2 二项式定理的重要题型 二项式定理的重要题型有：求二项展开式的： 题型二 两个二项式的积与三项式问题 特定项、求系数或二项式系数和以及实际应用等 题型一二项展开式的系数和问题 工例2] )若x+a)(-)'的展开式中常 工例1]在(2x一3y)的展开式中，求： 数项为一1，则a的值为 (1)二项式系数的和： A.1 (2)各项系数的和： B.8 (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项 C.-1或-9 式系数和： D.1或9 (4)奇数项系数和与偶数项系数和： (2)(x2+x十y)°的展开式中xy2的系数为 (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. () A.10 B.20 C.30 D.60 川规律方法川 两个二项式之积与三项式的展开式问题 川规律方法川 (1)形如(a十b)“(c十d)”的展开式问题 赋值法求系数和的应用技巧 ①若，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a十b) (1)“财赋慎法”对形如(ax十b)°，(ax十bx十c)"(a,bE ·(c+d)"=(a+2ah+b)(r+d)",然后展开分别 R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 求解. 只寄令r=1即可：对形如(ar十by)'(a,b∈R)的式子 ②观察(a十)（十）°是否可以合并，如(1十x)(1一x) 求其晨开式各项系数之和，只需今x=y=1即可， =C(1+x)(1-x)](1-x)■(1-x)(1-x), (2)若f(x)=a。十ax十a:x2+…十ax,则f(x)展开 ③利用二项式展开式的厚理综合考虑 式中各项系数之和为f(1),奇次项系数之和为4。十@ (2)形如(a十b十c)°的展开式问题 十a,十…=)+f-D,偶次项系数之和为a,+@ 求(4十十c)”的某项式，关键是将其看作一个二项式， 然后求解，再将通项中的二项式晨开求解，合并词类 +a,+=)二，/=D,令r=0,可得a,=f0. 项再求解即可或可利用晨开式的原理求解， 2 章末优化提升 巴网络构建 分类加法计数原聊、分步乘法计数原理 排列、排列数公式 组介、组合数公式 二项式定理 应用 20 第三童排列，组合与二项式定理 巴考点聚焦 考点一两个计数原理 2.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次 [例1](1)某体育彩票规定：从01至36共 序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的 36个号中选出7个作为一注，每注2元.某 “子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、 人想从01至10中选3个连续的号，从11 丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未，酉、 至20中选2个连续的号，从21至30中选1 亥”相配，共可配成 组 个号，从31至36中选1个号组成一注，若 考点二排列与组合的综合应用 这人想把满足这种特殊要求的号买全，则他 [例2]在高三(1)班元旦晚会上，有6个演 要花的钱数为 唱节目，4个舞蹈节目. A.3360元 B.6720元 (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少 C.4320元 D.8640元 种不同的节目安排顺序？ (2)某景区内有如图所示 (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1 的一个花坛，此花坛有9 个演唱节目时，有多少种不同的节目安排 个区域需栽种植物，要求 顺序？ 同一区域内种同一种植 (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上 物，相邻的两块种不同的 诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节 植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中 目的相对顺序，有多少种不同的节目演出 间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同 顺序？ 的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则 不同的栽种方案共有 A.400种 B.396种 C.380种 D.324种 川归纳提升川 应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么 (2)思考如何完成这作事. 归纳提升川 (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步， 解决排列、组合综合问题要注意以下几点 还是光分步后分类， (1)首先要分清该何题是排列问题还是俎合问题。 (4)选择计数原理进行计算， (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真 分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时 口跟踪训练 要不重不漏，分步时要步步相接， 1.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现 (3)对于含有“至多”“至少“的问题，常采用可接 法，此时要考虑全面，排除干净。 金，支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只会用 现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结 ☑跟踪训练 账，顾客丙与甲，乙结账方式不同，丁用哪种 3.为了某次的航天飞行，现准备从10名预备 结账方式都可以，若甲乙丙丁购物后依次结 队员（其中男6人，女4人）中选4人参加航 账，则他们结账方式的组合种数共有( 天任务 A.36种 B.30种 (1)若至少两名男航天员参加此次航天任 C.24种 D.20种 务，问：共有几种选法？ 21 高中数学·选择性必修第二册(RJB) (2)从10名队员中选4名航天员，再把选中 跟踪训练 的四名航天员分配到A,B,C三个实验室 4.二项式(x一 展开式的常数项等于( 去，其中每个实验室至少一名航天员，共有 多少种选派方法？ A.240 B.-240 C.96 D.-96 5.-2+ 的展开式中x2项的系数为 考点四二项式系数和问题 [例4已知(2.x-1)5=anx+a1x+ax3十 ax2十ax十a5,求下列各式的值. (1)a5; (2)a。十a1十a2+…十a: (3)lam|+|a1+|a2|+…+a6: 考点三二项展开式中的特定项问题 (4)a1+a3十a5 [例3](1)(3x+2y+)5展开式中xy项 的系数为 ( A.120 B.240 C.360 D.480 (2)已知(1+ax)(1+x)的展开式中x的 系数为15，则a的值为 () 归纳提升川 A 8 “赋值法”在二项展开式中的应用 (1)观察：先观察二项晨开式左右两边式子的结 柠特征， c D.1 (2)赋值：结合待求和上述特征，对支量x赋值， 常见的城值有x=一1，x=0,x=1等等，具体视情况 而定。 (3)已知(a.x (a<0)的展开式中第4 (3)解方程：赋值后结合特求建立方程（组），求解 便可 项与第8项的二项式系数相等，且展开式的 各项系数之和为1024，则该展开式中系数 。跟踪训练 最大的项为 6.若(x+1)'(x十4)8=a。+a(.x+3)十a2(x 归纳提升川 +3)2+…十412(x+3)12. 二项式特定项的求解策略 (1)求a4。的值： (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知 (2)求a2十a1十…十a1g的值： 条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有 关元素. (3)求1og2(a1+a1+…+a1,)的值. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项 公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入 通项公式，即可确定常数项。 (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通 项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出 此项的系数， (4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利 用二项式系数的性质， 提示，请完成《素能提升训练》章末检测卷 22(5)x的奇次项系数和为a,十a,十a,+…+a=15” 2解析分两类：第一类，用天千的“甲、丙、戊、庚、壬”和 2 地支的“子、寅、及，午，中、戍“相配， x的偶次项系教和为a。十d,十a,十…十an= 1+50 则有5×6=30组不同的结果. 2 第二类，用天千的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、聊、 题型二 已、未，百、套”相配， [例2][解析](x+a)=x+2ar+a,(-1）展 则有5×6=30组不同的结果 共可得到30+30=60（组）. 开式的道项为T,=C() (-1)=(-1)'Cx 答案60 “x+a)(-1）展开式的常数项为-C+2aC 考点二 [例2][解](1)第一步先将4个舞路节目捆绑起来，看 -a, 成1个节目，与6个演唱节目一起捧，有A=5040种 ∴.-C+2aC-a2=一1，解得a=1或9. 方法：第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A=24 [答案]D 种方法. (2)[解析]方法一：（十x十y)的展开式的通项为 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24=120960种 T-1=C(x+x)'·y,令r=2,则T=C(x+ 安排顺序。 x)'y.又(x2十x)的展开式的通项为C(x)·x= (2)第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”）， Cx,令6一k=5,则k=1,∴，(x2十x十y)的展开式 一共有A=720种方法： 中，xy的系数为CC=30. ×□×□×□×□X▣×□× 方法二：从5个x十T十y中选2个，使其出y,再从3个 第二步再将4个舞蛤节目排在一头一尾或两个节目中 x+x十y中选2个，使其出x,剩下的一个使其出x,则 间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“X”逸4个来 xy2的系数为CC=30. 排，一共有A:=840种方法. [答案]C 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800种 安排顺序。 章末优化提升 (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排 法，但原来的节目已定好顺序，霄要消除，所以节目演出 考点聚焦 考点一 的饭序有完 =A=132(种). [例1门[解析]从01至10中选3个连续的号共有8种 银踪训练 选法： 3.解(1)至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名男 从1山至20中速2个连续的号共有9种选法： 航天员三类，利用分类加法计数原理以及分步乘法计敦 从21至30中法1个号共有10种选法 原理可得，共有CC+CC+C=185种选法. 从31至36中选1个号共有6种选法， (2)先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分成 所以共有8×9×10×6=4320种选法，要花4320×2= 2,1,1三组，再分配到A,B,C三个实脸室去，共有 8640(元). C1CA=7560种逸派方法. [答案]D 考点三 (2)[解析]圆环的3个区城种枝绿色植物共有A [例3][解析]因为(3.x+2y十*)'=[(3.r+2y)+]. 6(种).如图，中间的6个区域种植鲜花可分为3类： 所以通项公式为T=C(3x+2y)', 第一类，A,C,E均种相同植物，有N,=3×2×2×2= 令r=1,所以T.=C(3.x十2y)'g. 24(种)： 设二项式(3x十2y)的通项公式为 第二类，A.C,E种2种不同植物， T,-1=C(3x)-(2y), 有N.=A×C×2×1×1= 令r=3,所以T=C(3.x)(2y)'=96xy, 36(种)： 因此xy:项的系数为C×96=5×96=480,故逃D. 第三类，A,C,E种的植物各不相 [答案]D 同.有N,=A×1×1×1= (2)[解析]由(1+ax)(1十x)°=(1十x)+d.x(1+x)°， 6(种). (1+x)的展开式的通项为T1=Cx', 故由乘法原理和加法原理得到不 ∴x的系数为C十aC, 同的我种方案共有6×(24+36+6)=396（种）. [答案]B 则由题意可知C+aC=1510+10a=15,a=2 跟踪训练 故选C. 1.D当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所 [答案]C 以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4=12种方 (3)[解析]因为展开式中第4项与第8项的二项式系 法：当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种 数相等，C=C→n=10,所以展开式共11项，令x=1, 方法，丁有4种方法，共有2×4一8种方法，综上，共有 得(a-1)"=1024,a<0,所以a=-1, 12十8=20种方法 所以通项公式为 10 T1=C(x2)- 微判断 (1)×(2)×(3)× C≥C。'. 互动探究解疑难 令 →k=5,故当k=5时，C最大， C≥C 探究一 所以最大项为Cr+=252z [例1门[解]设事件A为“能答对10个题”，事件B为 “能答对15个题”， [答案]252x 则P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为P(BA),由 跟踪训练 于BSA,故A∩B=B, kA（-爱)广展开式道项为工：=C(后)广 子是PBA-P--&5 (一2C,令6-受=0，解得=4（是） 所以能答对15个题的概率是0.5. 跟踪训练 展开式的常数项为T,=(-2)C=240. 1,A已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天 5解析 (-2+)广-(+y (x2-1) 空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为 x 其通项为T+: C(z)-（-1=(-1Cx"",令 凭良的概本，可根播条件概率公式，得P=品号-0，及 探究二 18-2k=12,得k=3. [例2][解](1)将甲抽到数字a,乙抽到数字b记作 所以x项的系数为(-1)C=-220. (a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1.3)，(1,4)，(1,5) 答案-220 (1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2) 考点四 (5,3),(5,4),(5,6),共15个.在这15个情形中，乙抽到 [例4)[解](1)令x=0,得(-1)'=a,.a,=-1. 的数比甲抽到的数大的有 (2)令x=1,得(2×1一1)°=a,×1十a,×1'+a,×1+ (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5), a,X1+a,×1+a:, (3,6),(5,6),共9个， ∴a。十a,十a:+…+a=l. 所以所水能奉P一是-是 (3)令x=-1,得-3=-a。十a-a2十a:-a1十a. (2)在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)， 由(2x-1)的通项T,1=C(-1)·2-t·x-,知a1, (1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4) ad。为负值， 所以aol+la1+al十…十|a.|=aw-a,十a,一a,+ (5,6,共9个，所以所求概率P=号-号 a,-d=3°=243. 跟踪训练 (4)由an十a1十a2十…十a=1,一a。十a1-a2十…十a 2.A设“至少有一枚出现6点”为事件A,“两枚骰子的点 =-3°，得2(a,+a,十a,)=1-3°，所以a1+a+a- 数不同”为事件B, 2-12 则(B)=6×5=30,n(A∩B)=10,所以P(A|B)= n(A∩B)=10=1 跟踪训练 (B) 303 6.解(1)令x=-3,得a,=(-2)'×1=16. 探究三 (2)令x=-2,得a。十a1十a2十a1+…十a1十a2= [例3][解]记A=(从2号箱中取出的是红球}，B= (-1)'×2*=256, ① (从1号箱中取出的是红球}，则 令x=一4，得au一a1十a:一a十…一an十au=0, E PB)=2-号，PB)=1-P(B)=3 4 2 ①十②，并徐以2，得a。十a十a,+…十aa=128。 因为a。=16,所以a十a,+…+at-112. PAB--言PAE=-言 (3)①-②，并除以2，得a1+a+…+a1=128,所以 P(A)=P(ABUAB)=P(AB)+P(A B)=P(AB)P(B) log(a1+a+…+a1)=7, 第四章概率与统计 跟踪训练 4.1 条件概率与事件的独立性 3.解析设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一 瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一 瓶是红色或黑色”， 4.1.1条件概率 则D=BUC且B与C互斥. 自主学习探新知 又PA)=CC+C7 10 知识点 大于0（即P(B)>0)时P(AIB)P(B)>0 PrAn-S-PAnO-S-号 C C5· 11