3.3 二项式定理与杨辉三角&专题2 二项式定理的重要题型-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

路口，且丙在第一个或装后一个路口时，一共有AAA 3.3 二项式定理与杨辉三角 =96种不同的安排方式.故所求安排方式一共有AA -AAA=240-96=144(种). [答案]144 第1课时 二项式定理 (2)[解析]先將4个男生全排列有A一24种排法， 4个男生中间共有三个空位，女生在男生中间的三个空 自主学习探新知 位全列共有A=6种裤法，所以男生和女生互相间隔 知识点 排列的方法有24×6=144（种）. 2.k+1 Ca"'b" [答案]144 微判断 题型三 (1)(×)(2)(×)(3)(×)(4)(/)(5)(×) [例3][解析]根据题意，在7名学生中选派4名学生 互动探究解疑难 参加诗歌朝诵比赛，有A=840种情况，其中甲、乙、两 探究一 [例1][解](1)(x+2y)‘=Cx+Cx(2y)+Cx 都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A=24(种)， (2y)+Cx(2y)+C(2y)'=x'+8.xy+24xy+ 则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840 32.xy+16y'. 一24一816（种）：其中当甲，乙、丙都参加且甲和乙相邻 (2)原式=C(x+1)°+C(x+1)(-1)+C(x十1)- 的情况有CAA=48(种)，则满足题意的朗诵顺序有 (-1)2+…+C(x+1)(-1)+…+C(-1)=[(x 816一48=768（种）.故选B. [答案]B +1)+(-1)]"=x, 题型四 跟踪训练 [例4们[解析]①若三所学校分配人数分别为1,1,3 1.解方法-：(2x-2) =C(2x)+C(2x) 时，共有C·心=60种安裤方法) 其中甲去A中学的安排方法有CA+CA=20(种)， 则此时分配方案的种数为60一20一40（种）： c(2)广=16r-8+4+ ②若三所学校分配人美分别为1,2.2时，共有代 方法=2是)广=()广=4r-3)r A=90种安排方法， 167[C4r)'+C4r)r(-3)+C(4r)'(-3)+C 其中甲去A中学的安排方法有C+CCA=30(种)， 则此时分配方案的种数为90一30=60（种）： (4r)(-3)3+C(-3)]=16r-48r+54-29 x2 综上所述·满是题意的分配方案的种数为40十60 100(种). + [答案]100 2.解原式=Cg(x-1)'十C(x一1)+C(x-1)3十 题型五 C(x-1)2+C(x-1)+C-C=[(.x-1)+1]-1= [例5][解](1)先把6个相同的小琼排成一行，在首尾 x-1. 两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任 探究二 选3个空隙各梧一块隔板，有C=10种方法， [例2][解析] 的展开式的通项 (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外 侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一 块隔板，如000000，有种方法，然后将剩下的一 为T-c(广-(-c,ke 块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如000000， N,k≤5，令30- 艺k=0,得k=4,即T是二项式 有C种方法，故共有CC=40种方法，(3)恰有两个空 盒子，插板分两步进行，先在首尾两球外侧放置一块隔 的展开式的常数项，所以展开式中的常数 板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种 项是第5项。 方法，如000000，然后将剩下的两块隔板插入形成 [答案]C 空盒 ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个空盒子，如 (2)[解析] 二项式（+后》 的展开式中，通项公式 1000000,有C种方法. ②将两块板与前面三块板之一并放，如000000，有 为C(F)- C种方法 .k=0,6,12,18,24,30时满足题意，共6项，故选D. 故共有C·(C十C)=30种方法. [答案]D 7 (3)[解析]（厅十G)”展开式的通项T+,=C 所以(x+1D(侵-1)展开式中的常数项为x·C· （)G)=Cx+,令4合=3，解得=6，T, Cx2=28x,故x的系数为28. (})-10+1c(-10=-22 [答案]A 7.B(1+是-）表示5个周式(1+是-)的秦积， 跟踪训练 在这5个因式中，有2个图式都选一x,其余的3个国式 3D展开式的通项为T=C(一是广，令=1，可 都选1，相乘可得含x的项：或者有3个图式选一工， 得展开式的第二项为Cx(-）广=-12. 有1个国式选子1个国式追1，相来可得含士的项，故 4心二项式(：一碧)广展开式中的第5项为T x项的系数为C十（一C·C·2)=一30，故选B. 随堂巩固促应用 16Cx6,又T+4=16Cx"是常数项，∴n-6=0,n=6, 1.D(1-2x)”展开式通项为T+,=C·1-·(-2)x 将n=6代入T,+1=16Cx"-可得常数项为T+,=16C =C%(-2)x,令k=3可得T,=C(-2)x= =240,故选C. 160x,所以x的系数为-160，故选D. 5.解析 的二项展开式的通项公式为T, 2.D二项式展开的通项公式T1=C(W2)=C2,当r =1,3,5,7时，对应的项均为无理数，故无理项的项数 C(2x)=(1）广=C2-t(-10片x"-",k=0,1,2,3 为4个，故逃D. 4,5令10-3k=1,k=3,所以(2-）的二项展开 3.CC·2+C·21+…+C·2+…+C= (1+2)”=3: 式中x项的系数为2C×(-1)'=一40. 答案一40 4.A 南(+片-2)=(-)”，可得二项式 探究三 (-）的晨开式通项为工=C()广 [例3]1[解析]国为(1-￥)x+y)'=(x+y) (一1)C,令10一2k=0,解得k=5.所以展开式 ￥(x+y),所以（门-￥）x+y)'的展开式中合xy 的常数项为（一1）C。=一252. 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式 的项为Cry-Cxy=-28ry,所以(1-￥)a 定理的应用 十y)的展开式中xy的系数为一28。 自主学习探新知 [答案]一28 知识点一 (2)[解析]方法一：(1+2x-3x)°=[1+(2x (1)对称1(2)和 3.x)]°=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x)+10(2.x 微练习 3x3)°+5(2x-3x2)'+(2x-3x2)=1十5.x(2-3x)+ C根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间 10x(2-3x)°+10.x2(2-3x)°+5.x(2-3.r)'+x(2 的数分别是上一行相邻两个数的和，当=7时，上面 3r), 行的第一个数为6，第二个数为16，所以b=6+16=22. ∴，x的系数为上式各项中含工的项的系数和，即 10C·2·(-3)2+5C·2·(-3)'+2=92. 知识点二 等距离C," 增大的减小的2”2 方法二：(1+2x-3.x)3=(1-x)泸·(1+3.x)=(1 微思考 5.x+10x-10.x2+5.x-x)·(1+15.x+90x2+270.x [答案]n=7或8或9. +405.x+243.x), 互动探究解疑难 .展开式中x的系数为243-5×405十270×10一10× 探究一 90+5×15-1=92. [例1门[解]由国知，数列中的首项是C,第2项是C, 方法三：(1十2x-3x)°相当于5个(1十2x-3x)湘乘， 第3项是C,第4项是C,…,第17项是C。,第18项是 因此要求展开式中含工项的系数，只需借助二项式定 理的原理求解即可，C(2.x)+C(2x)·C(一3.x)·1 C,第19项是C, +C(2x）·C(一3.x)·12=92x.故展开式中x的 .S.-(C+C)+(C+Cg)+(C+C)十…十 系数为92. (Cl+Ci)+Ci=C+C+C++Ci+Ci=C+C [答案]92 +C+C+…+C-C+C=C:-1+C,=274. 跟踪训练 跟踪训练 6.A国为(}-）中T=C(）(-1 1,解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为 2:3,则C：C=2:3. 8 3·n! 2·nl 3C=2C,即131(m131141·(n-141 系数最大的项为T,=(一1)C·2·x1=1792.x" (4)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值 3 2 六n13斤心m=34. 最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则 答案34 系数最小的项为T=(一1)C·2°·x”= 探究二 -1792.x. [例2][解]设(2r-3y)°=anx'+a,xy十a2xy+… 跟踪训练 3.解(1)依题意2-21=48,2=32，∴.n=5, 十awy, (1)二项式系数之和为C十C十C十十C=2”, (一二)广的展开式中第6项二项式系教最大：即T (2)令x=1,y=1,得4十41十a:十…十a,=(2-3)'= 一1，即各项系数之和为一1， cr(-2)广=-8064. (3)由(2)知a,十a1十a十…十a,=-1, ① (2)设第k十1项的系数的绝对值最大， 令x=1,y=-1,得a。-a十a,…-a,=5', ② 将①@两式相加，得a,十a,+a,十a.十a,=5”,1 则c( 2 =(-1)C。·2·x0", 所以所有奇数项系数之和为”。 jC·2≥C·2'. 2C≥C, 2 C.2c., C≥2Ca', (4)方法一：an|+a1|+|a|+…+|a,|=a-+a -a1十…一a, 即/22-2张≥6， 402.胃<k号=7 令x=1,y=-1,则la。|+la1+|a|+…+|a。|=a 所以系数的绝对值最大的是第8项，即T:=(一1) -a,十a-a1十…-aw=5, C·27·x=-15360x. 即系数绝对值的和为5”. 随堂巩固促应用 方法二：a+a,|+|a1+…+la,|即为(2x+3y)° 1,C因为在(x一1)”的二项展开式中，仪有第6项的二 的展开式中各项系数之和， 项式系较最大，即C最大，所以n=10. 令x=1,y=1,得a+la,|+la:|+…+|a1=5, 2.C因为某行中只有一项最大，且为252，所以行数n为 即系数绝对值的和为5」 偶数，因为C。=252,所以n=10,故选C 跟踪训练 3.D(1一x)的二项展开式中所有项的二项式系数之和 2.解(1)令x=1,得a。十a十十a1.=2: 为2=32. 令x=-l,得(a十a十a,十a,十a,十an)一(a,十a,十ay 4.B令r=1,则a1十a十a十a,十aw=1,令x=-1,则 十a,十da,)=6. a,-a十a:-a1+au=(-3)'=81,故a1+a,+a= 两式相乘.得(a十a,十a十aw+a,+a)-(a,+a+a 1+81=4L.故选B. +a,十a)2=2×6°=12. 2 (2)令x=i,得-ao+a·i+a.a:·i-a,十a·i+a 专题2二项式定理的重要题型 -a·i-a,+a1·i+a=(-2-2i)°=-2(1+i)3= -2[(1+i)(1+i)=128+128i 题型一 整理得，（一an十a,一a。十a4一a:十a)+(a,一a,十a [例1门[解]设(2x-3y)"=ax"+a,x'y+ax'y十 a+a1)·i=128+128i. …+amy°，() 故-dn十a,一a.十a,一a:+d,=128. 各项系数的和为a。十a,十…十au,奇数项系数和为a,十 周为a。=1,所以一ae十a,一a,+a:一ag=127。 4:十…十ae,偶数项系数和为a,十a十a十…十a,x的 探究三 奇次项系数和为u1十a,十a十…十a。,x的偶次项系数 和为a。十a十a:十…十4.由于()是恒等式，故可用 [例3][解] 由二项式定理可得(G-) 的展开式的 “赋值法”求出相关的系数和， 通项为T=C(-号)广=(-1C (1)二项式系数的和为C。十C。+…十C=2", (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)"=(-1)=1. (1)设第k十1项系数的绝对值最大： (3)奇数项的二项式系数和为C十C。十…十C”=2”, 1 2 偶数项的二项式系数和为C。十C十…十C。=2 1C·2≥C·2",」 8-k产十1 则 (4)令x=y=1,得到an十a,十a:十…十an=l,① c.2≥c·2'. 2 卡≥g- 令x=1,y=-1(或x=一1，y=1),得a4一a1+a,一a +…+am=5",@ 解得5≤k≤6. ①十②，得2(a,十a2+…十am)=1十5”，.奇数项系数 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项 (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 和为 所以T=(-1)C·2·x+=1120r ①-②，得2(a十a十…十a,)=1-5",.偶数项系数 (3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值 最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则 布” 9 (5)x的奇次项系数和为a,十a,十a,+…+a=15” 2解析分两类：第一类，用天千的“甲、丙、戊、庚、壬”和 2 地支的“子、寅、及，午，中、戍“相配， x的偶次项系教和为a。十d,十a,十…十an= 1+50 则有5×6=30组不同的结果. 2 第二类，用天千的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、聊、 题型二 已、未，百、套”相配， [例2][解析](x+a)=x+2ar+a,(-1）展 则有5×6=30组不同的结果 共可得到30+30=60（组）. 开式的道项为T,=C() (-1)=(-1)'Cx 答案60 “x+a)(-1）展开式的常数项为-C+2aC 考点二 [例2][解](1)第一步先将4个舞路节目捆绑起来，看 -a, 成1个节目，与6个演唱节目一起捧，有A=5040种 ∴.-C+2aC-a2=一1，解得a=1或9. 方法：第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A=24 [答案]D 种方法. (2)[解析]方法一：（十x十y)的展开式的通项为 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24=120960种 T-1=C(x+x)'·y,令r=2,则T=C(x+ 安排顺序。 x)'y.又(x2十x)的展开式的通项为C(x)·x= (2)第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”）， Cx,令6一k=5,则k=1,∴，(x2十x十y)的展开式 一共有A=720种方法： 中，xy的系数为CC=30. ×□×□×□×□X▣×□× 方法二：从5个x十T十y中选2个，使其出y,再从3个 第二步再将4个舞蛤节目排在一头一尾或两个节目中 x+x十y中选2个，使其出x,剩下的一个使其出x,则 间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“X”逸4个来 xy2的系数为CC=30. 排，一共有A:=840种方法. [答案]C 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800种 安排顺序。 章末优化提升 (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排 法，但原来的节目已定好顺序，霄要消除，所以节目演出 考点聚焦 考点一 的饭序有完 =A=132(种). [例1门[解析]从01至10中选3个连续的号共有8种 银踪训练 选法： 3.解(1)至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名男 从1山至20中速2个连续的号共有9种选法： 航天员三类，利用分类加法计数原理以及分步乘法计敦 从21至30中法1个号共有10种选法 原理可得，共有CC+CC+C=185种选法. 从31至36中选1个号共有6种选法， (2)先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分成 所以共有8×9×10×6=4320种选法，要花4320×2= 2,1,1三组，再分配到A,B,C三个实脸室去，共有 8640(元). C1CA=7560种逸派方法. [答案]D 考点三 (2)[解析]圆环的3个区城种枝绿色植物共有A [例3][解析]因为(3.x+2y十*)'=[(3.r+2y)+]. 6(种).如图，中间的6个区域种植鲜花可分为3类： 所以通项公式为T=C(3x+2y)', 第一类，A,C,E均种相同植物，有N,=3×2×2×2= 令r=1,所以T.=C(3.x十2y)'g. 24(种)： 设二项式(3x十2y)的通项公式为 第二类，A.C,E种2种不同植物， T,-1=C(3x)-(2y), 有N.=A×C×2×1×1= 令r=3,所以T=C(3.x)(2y)'=96xy, 36(种)： 因此xy:项的系数为C×96=5×96=480,故逃D. 第三类，A,C,E种的植物各不相 [答案]D 同.有N,=A×1×1×1= (2)[解析]由(1+ax)(1十x)°=(1十x)+d.x(1+x)°， 6(种). (1+x)的展开式的通项为T1=Cx', 故由乘法原理和加法原理得到不 ∴x的系数为C十aC, 同的我种方案共有6×(24+36+6)=396（种）. [答案]B 则由题意可知C+aC=1510+10a=15,a=2 跟踪训练 故选C. 1.D当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所 [答案]C 以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4=12种方 (3)[解析]因为展开式中第4项与第8项的二项式系 法：当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种 数相等，C=C→n=10,所以展开式共11项，令x=1, 方法，丁有4种方法，共有2×4一8种方法，综上，共有 得(a-1)"=1024,a<0,所以a=-1, 12十8=20种方法 所以通项公式为 10高中数学·选择性必修第二册(RJB) 题型四分组分配问题 (2)恰有一个空盒子； [例4]某省示范性高中安排5名教师去A, (3)恰有两个空盒子. B,C三所乡村中学支教，每所中学至少去1 人，因工作需要，其中的教师甲不能去A中 学，则分配方案的种数为 .(用数字 作答) 川规律方法川 川规律方法川 相同元素分配问题的处理策略 本题属于局部均分问题，解题时需注意，若有加 (1)隔板法：如果将放有小球的盘子紧挨着成一行放 组元素个数相等，则分组时应除以A,分组过程中有 置，便可看作排成一行的小球的空席中插入了若干隔 几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数， 板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入焉板的 方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔 题型五元素相同问题 板法，隔板法专门解决相同元素的分配同题 (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m), [例5]6个相同的小球放入4个编号为1,2， 有C”种方法，可描述为（一1）个空中插入(m一1)块 3,4的盒子，求下列方法的种数 板 (1)每个盒子都不空； 3.3 二项式定理与杨辉三角 第1课时 二项式定理 [学习任务] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式， 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 自主学习探新知 课前覆习双基落实 知识点二项式定理 《微判断 1.二项式定理 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）。 一般地，当n是正整数时，有(a十b)= (1)(a十b)”展开式中共有n项. ( Ca"+Ca"-1b+…+Ca"-b+…+Cb" (2)在公式中，交换a,b的顺序对各项没有 上述公式称为二项式定理，等式右边的式 影响。 () 子称为(a十b)”的展开式，它共有n十1项，其 (3)Ca"b是(a十b)"展开式中的第k项. 中Ca一b是展开式中的第k十1项（通常用 T+表示)，C称为第k十1项的二项式系数. (4)(a-b)"与(a+b)”的二项展开式的二 2.二项展开式的通项 项式系数相同. () (a十b)"展开式的第 项称二项展 (5)二项式(a+b)”与(b十a)”的展开式中 开式的通项，记作T+1 第k十1项相同. () 14 第三童排列，组合与二项式定理 互动探究解疑难 要点归纳重难突袋 探究一二项式定理的正用、逆用 2.化简：(x-1)3+5(x-1)+10(x-1)3+ [例1](1)求(x+2y)的展开式： 10(.x-1)2+5(x-1). (2)化简：C(x+1)-C(x+1)1+C2(x +1)-2-…+(-1)C(x+1)-*十…十 (-1)Cg 川规律方法川 (1)(4十b)”的二项展开式有n十1项，是和的形 式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于： ②字母按降暴排列，从第一项起，次数由n逐项减1 直到0：字母b按升暴排列，从第一项起，次数由0逐项 加1直到. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是 整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开 式的形式靠扰. 探究二二项展开式的应用 [例2习(1)二项式(x5-一 1 ☑跟踪训练 的展开式中 1.求2x2 3 的展开式 为常数项的是 () A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 (2)二项式（丘十岩）广的展开式中.其中是 有理项的项数共有 ( A.4项 B.7项 C.5项 D.6项 (3)(、x+x)“的展开式中x的系数为 A.28 B.32 C.56 D.72 15 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 川规律方法川 的展开式中x2y的系数为 .(用数 求二项展开式的特定项的常用方法 字作答) (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0 (2)(1十2x一3.x2)5的展开式中x的系数 次项)， (2)对于有理项，一投是先写出通项公式，求其所 为 有的字辱的指数龄好都是整数的项，解这类问题必须 ‖规律方法川 合并通项公式中同一学母的指数，根猖具体要求，令 求多项式积的特定项的方法—“双通法” 其属于整数集，再根据数的整除性来求解。 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法 (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中 同一字骨的指数应是非负整数，求解方式与求有理项 法则得到(a十bx)(s十tx)的展开式中一般项为T+ 一致 ·T+1=Ca(hx·C一(tx),再依据题目中对 跟踪训练 指数的特陈要求，确定r与k所满足的条件，进而求出 3.二项式(x- r,k的取值情况. 的展开式的第二项是( A.60x B.-60.x ☑跟踪训练 C.12x D.-12x 4二项式x一)”nN)的展开式中，第 6.r+D月 1 的展开式中的常数项为 ( 项是常数项，则常数项为 A.-22 B.-21 A.-270 B.-240 C.240 D.270 C.20 D.21 5 5.在(2x-》 的二项展开式中，x的系数为 7在1+- 的展开式中，x项的系数为 (用数值作答) ( 探究三 求多项式特定项 A.-50 B.-30 [例3] （1)(202·新高考卷)1-)x+ C.30 D.50 随堂巩固促应用 验证反馈迁移远用 1.(1一2x)°展开式中x3的系数为 A.2" B.2"-1 A.20 B.-20 C.3" D.1 C.160 D.-160 的展开式中常数项是() 2.(1十√2)展开式中无理项的项数为( A.7 B.6 A.-252 B.-220 C.5 D.4 C.220 D.252 3.C·2"+C·21+…+C·26+…+C 等于 () 提示请完成《素能提升训练》训练六 16 第三童排列，组合与二项式定理 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 [学习任务 1.理解二项式系数的性质并灵活运用. 2.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式 系数 3.会用二项式定理解决整除问题. 自主学习探新知 谋前揽习双基蔻实 知识点一杨辉三角及其性质 知识点二二项式系数的性质 当n依次取0,1,2,3，…时，(a+b)”展开 式的二项式系数如图所示： 在(a十b)”的展开式中，与首末两端“ 对称性 的两个二项式系数相等，即C”■ ① (1(1 ⊙②① 增减性：当←"士时、二项式系数是逐渐 增减性 当>”空时，二项式系数是逐蒲 ①31010⑤（① 与最 最大值：当#为偶数时，中间一项的二 ①6⑤20⑤6① 大值 项式系数C时最大：当n为奇数时，中间两项的 图中所示的二项式系数表在我国称为“杨 二项式系数C,C相等，且同时取得最大值 辉三角”，它至少具有以下性质： (1)每一行都是 的，且两端的数都是 各二项 (1)十C,十C十…十C 式系数 (2)C十C十C十…=C+C十C十…= (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等 的和 于上一行中与这个数相邻的两数之 这微练习 这微思考 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数 [思考]若(a十b)"的展开式中第5项的二 项式系数最大，则n的值可以为多少？ 垒，a,b是某行的前两个数，当a=7时，b 等于 () 1 22 343 4774 51114115 年 A.20 B.21 C.22 D.23 17 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 互动探究解疑难 要点归翁重难突碳 探究一与杨辉三角有关的问题 (2)各项系数之和： [例1]如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上 (3)所有奇数项系数之和： 方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形 (4)系数绝对值的和. 数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和 为S。,求S的值. 11 12女1/ A 1331 14641 15-10/1051 1规律方法川 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)",(ax2+bx十c)"(a,b,c∈R m,n∈N”)的式子求其展开式的各项系数之和，常用 谳值法，只需令x=1即可.对(a.x十by)(a,b∈R,n∈ N)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x=y =1即可， (2)一般地，若f(x)=a十ax十ax十…十ax', 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为日十4十a十… 川规律方法川 1)+-1山 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是通过 2 观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数 偶数顶系数之和为a十a十：十…= 据的相互联系，然后将数据问的这种联系用数学式子 f1)-f-1D 表达出来，使问愿得解，注意观案方向：横看、竖看，斜 2 看，连续看，隔行看，从多角度观察。 口跟踪训练 跟踪训练 2.若(3x2-2x十1)=a1oxm十ax十agx5十 1,如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角 …+a1x+a(x∈C),求： 中，第 行中从左到右第14与第15 (1)(a0十a2+a,十a6十ag+au)2-(a1十 个数的比为2：3. ag十as+a,+ag): 第0行 (2)-ag十a:-a。十a:一a18 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 探究二二项展开式的系数和问题 [例2]在二项式(2x-3y)”的展开式中，求： (1)二项式系数之和： 18 第三童排列，组合与二项式定理 探究三二项式系数性质的应用 跟踪训练 在(-) 3.已知(2x+1)+展开式的二项式系数和比 [例3] 的展开式中， (3x一1)"展开式的偶数项的二项式系数和 (1)求系数的绝对值最大的项： (2)求二项式系数最大的项： 大48，求（一广的展开式中： (3)求系数最大的项： (1)二项式系数最大的项： (4)求系数最小的项. (2)系数的绝对值最大的项. 川规律方法川 (1)二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质 对(a十b)”中的n进行讨论， ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大： ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 (2)展开式中系数最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大 项是不同的，霸要根据各项系数的正，负变化情况进 行分析.如求(a十bx)(a,bER)的展开式中系数的最 大项，一般采用待定系数法，设晨开式中各项系数分 别为A,A,·A,,A,且第k十1项最大，应用 A≥A-“解出k,即得出系数的最大项· A≥A 随堂巩固促应用 验证反惯迁移运用 1.在(x一1)”的二项展开式中，仅有第6项的 第0行 二项式系数最大，则n= ( 第1行 第2行 A.8 B.9C.10 D.11 第3行 2.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家， 第4行 第5行 5101051 在他著的《详解九章算术》一书中，画了一张 A.12 B.11 C.10 D.9 表示二项式(a十b)“(n=1,2,3,…)展开后 3.(1一x)°的二项展开式中所有项的二项式 的系数构成的三角形数阵，称作“开方做法 系数之和是 () 本源”，这就是著名的“杨辉三角”，它比西方 A.0 B.-1 C.-32 D.32 的“帕斯卡三角形”早了393年，在“杨辉三 4.(2022·北京卷)若(2x-1)=ax十a1x 角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一 十a2x2十a1x十a。,则a。十a2十a,=() 个数值是它上面的两个数值之和，该三角形 A.40 B.41 C.-40D.-41 数阵开头几行如图所示.某行中只有一项最 大，且为252，该行是第 行() 提示请完成《索能提升训练》训练七 19 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 专题2 二项式定理的重要题型 二项式定理的重要题型有：求二项展开式的： 题型二 两个二项式的积与三项式问题 特定项、求系数或二项式系数和以及实际应用等 题型一二项展开式的系数和问题 工例2] )若x+a)(-)'的展开式中常 工例1]在(2x一3y)的展开式中，求： 数项为一1，则a的值为 (1)二项式系数的和： A.1 (2)各项系数的和： B.8 (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项 C.-1或-9 式系数和： D.1或9 (4)奇数项系数和与偶数项系数和： (2)(x2+x十y)°的展开式中xy2的系数为 (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. () A.10 B.20 C.30 D.60 川规律方法川 两个二项式之积与三项式的展开式问题 川规律方法川 (1)形如(a十b)“(c十d)”的展开式问题 赋值法求系数和的应用技巧 ①若，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a十b) (1)“财赋慎法”对形如(ax十b)°，(ax十bx十c)"(a,bE ·(c+d)"=(a+2ah+b)(r+d)",然后展开分别 R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 求解. 只寄令r=1即可：对形如(ar十by)'(a,b∈R)的式子 ②观察(a十)（十）°是否可以合并，如(1十x)(1一x) 求其晨开式各项系数之和，只需今x=y=1即可， =C(1+x)(1-x)](1-x)■(1-x)(1-x), (2)若f(x)=a。十ax十a:x2+…十ax,则f(x)展开 ③利用二项式展开式的厚理综合考虑 式中各项系数之和为f(1),奇次项系数之和为4。十@ (2)形如(a十b十c)°的展开式问题 十a,十…=)+f-D,偶次项系数之和为a,+@ 求(4十十c)”的某项式，关键是将其看作一个二项式， 然后求解，再将通项中的二项式晨开求解，合并词类 +a,+=)二，/=D,令r=0,可得a,=f0. 项再求解即可或可利用晨开式的原理求解， 2 章末优化提升 巴网络构建 分类加法计数原聊、分步乘法计数原理 排列、排列数公式 组介、组合数公式 二项式定理 应用 20