3.1.3 组合与组合数&专题1 计数问题的常用方法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

·高中数学·选择性必修第二册(RJB) -川规律方法川一 (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ 数字排列问题是挂列问题的重要题型，解题时要 (3)可以组成多少个无重复数字的三位 着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思 路.常见附加条件有：(1)首位不能为0：(2)有无重复数 偶数？ 学：(3)奇偶数：(4)某数的倍数：(5)大于（或小于）某数. ☑跟踪训练 4.用0,1,2,3,4这五个数字组数.（本题最后 结果必须写成数字) (1)可以组成多少个允许数字重复的三 位数？ 随堂巩固促应用 验证反储迁移运用 1.(2022·深圳高二月考)用数字1,2,3组成 3.安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手 允许有重复数字的两位数，其个数为( 不是第一个出场，也不是最后一个出场，不 A.9个 B.8个 同的安排方法总数为 () C.6个 D.5个 A.60种 B.72种 2.中国古代的五经指《诗经》《尚书》《礼记》 C.80种 D.120种 《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学 4.(2022·威海高二期末)现有5位代表参加 分别选取了其中一本书作为课外兴趣研读， 疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲、 5名同学选取的书均不相同.若甲选《诗 乙不相邻，则不同的坐法有 () 经》，乙不选《春秋》，则这5名同学所有可能 A.24种 B.36种 的选择方法有 C.48种 D.72种 A.18种 B.24种 C.36种 D.54种 提宗总请完成《素能提升训练)训练三 3.1.3 组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的性质 [学习任务 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系， 2.掌握组合数公式及组合数的性质，并会运用它们进行计算， 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一组合的定义 n)个对象 ,称为从n个不同对象中取 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤ 出m个对象的一个组合. 8 第三章排列，组合与二项式定理 《微思考 续表 [思考]排列与组合有什么联系和区别？ 乘积形式 C”= n(H-1)(n一2)…(n-m十1) mX(加一1)×…X2×1 组合数 公式 阶桑形式 n! C.-m!(n-m)! 2.组合数的性质 知识点二组合数与组合数公式、组合数的 性质1：C= 性质 性质2：C+1+C=C. 1,组合数与组合数公式 赵微练习 从个不同对象中取出m(m≤程)个对象的 组合数 1.C8= 定义及 ,称为从n个不同对象中 取出m个对象的组合数，用符号 2.若C。=C6,则x= 表示 表示 3.C+C= 互动探究解疑难 要点归纳重难夹孩 探究一 组合概念的理解 川规律方法川 [例1门判断下列各事件是排列问题还是组 排列、组合辨析切入点 (1)组会的特点是只选不持，即组合只是从n个不 合问题。 同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可. (1)10个人相互各写一封信，共写多少 (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序 如何，这两个组合就是相司的组合， 封信？ (3)别新组合与排列的依据是看是否与顺序有 (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次 关，与顺序有关的是排列何题，与顺序无关的是组合 电话？ 问览 (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少 。跟踪训练 种选法？ 1.(多选)下列问题属于组合问题的是() (4)从10个人里选出3个不同学科的代表， A.从4名志愿者中选出2人分别参加志愿 有多少种选法？ 服务工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不 同的数字，组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席大学生 运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班 长、副班长和学习委员 探究二组合的个数问题 [例2]在A,B,C,D四位候选人中， (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选 法？写出所有可能的选举结果： (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种 选法？写出所有可能的选举结果： 9 ·高中数学·选择性必修第二册(RJB) (3)类比上述两个结果间的等量关系，你能： 探究三组合数公式与组合数的性质 找出排列数A”与组合数C间的等量关 :[例3] (1)计算：C1。-CA: 系吗？ 2常过已忌求m的取值集合。 川规律方法川 在利用组合数公式进行计算、化简筒时，要灵活运 川规律方法川 用组合数的性质，一般地，计算C”时，若m比较大，可 组合个数的求解策略 利用性质①，不计算C”而改为计算C,在计算组合 (1)列举法：节写时常以首字母为切入点，相同元 数之和时，常利用性质② 素的不必重复列举， (2)公式法：利用排列数A与组合数C之问的 口跟踪训练 关系C-代来 3.计算：C+CC. ☑跟踪训练 2.从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个，共 有多少种不同的组合？请写出所有组合. .求等式C-十C=19中n的值. C-3 随堂巩固促应用 胜证反惯迁移运用 1.(多选)给出下列几个问题，其中是组合问题 2.C+C= 的是 () A.15 B.25 A.求由1,2,3,4构成的含有两个元素的集 C.60 D.180 合的个数 3.若C=20,则m= B.求5个队进行单循环比赛的分组情况的 A.8 B.7 种数 C.6 D.5 C.3人去做5种不同的工作，每人做1种， 求不同的安排种数 4.若C=C站，则n= D.求由1,2,3组成无重复数字的两位数的 个数 提示，请完成《素能提升训练训练四 10 第三童排列，组合与二项式定理 第2课时 组合数的应用 [学习任务 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题. 互动探究解疑难 要点归纳望滩突玻 探究一简单的组合问题 (3)如果物理和化学至少有1门被选，那么 [例1] 一个口袋内装有大小相同的7个白 共有多少种不同的选法。 球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种 取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个 黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， 有多少种取法？ 探究二有限制条件的组合问题 [例2]某班有35名学生，其中正、副班长各 一名，现要从该班选派5名学生参加某种 活动， (1)如果正、副班长必须在内，共有多少种不 同的选派方法？ (2)如果正、副班长必须有一人在内，且只能 有一人在内，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果正、副班长都不在内，共有多少种不 川规律方法川 同的选派方法？ (1)解筒单的组合应用题时，首先要判断它是不 (4)如果正、副班长至少有一人在内，共有多 是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排 列间题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取 少种不同的选派方法？ 出元素的顺序无关， (2)把一个实际问题转化为组合问题，体现了数 学抽象的核心素养， ☑跟踪训练 1.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门 学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门 成绩。 (1)共有多少种不同的选法？ (2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共 有多少种不同的选法？ 11 高中数学·选择性必修第二册(RJB) -川规律方法川 (4)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类 每人得1本 (1)“含”与“不含”问题，其解法富用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分 (注：用数字作答) 步计数. (2)“至多”“至少”问愿，其解法常有两种解决思 路：一是直接分类法，但腰注意分类要不重不漏：二是 问接法，注意找准对文面，确保不重不漏， 跟踪训练 2.“渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余 川规律方法川 每一个数字均比其左边的数字大的正整数 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组何愿属于“组合”问题，常见的分组问题府 (如13456和35678都是五位“渐升数”). 三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等： (1)求五位“渐升数”的个数： ②部分均匀分细，应注意不要重复，有”组均匀， (2)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到 最后必乘除以n!: 大的顺序排列，求第120个五位“渐升数” ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象， (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要 求逐个分配，也可以分组后再分配. 。跟踪训练 3.按照下列要求，分别求有多少种不同的方 法.（请列出算式并计算出结果） (1)6个相同的小球放入4个不同的盒子， 每个盒子至少一个小球： (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子， 每个盒子至少一个小球： 探究三分组分配问题 (3)6个不同的小球放入4个不同的盒子， 例3幻按下列要求分配6本不同的书，各有 恰有1个空盒 多少种不同的分配方式？ (1)平均分成三份，每份2本： (2)平均分配给甲，乙、丙三人，每人2本： (3)分成三份，1份4本，另外两份每份 1本： 随堂巩固促应用 险证反情迁移运用 1.从甲、乙、丙，丁四个人中选取2名参加会 划，现省专家组评审该市是否达到“生态园 议，不同的选取方法有 ( 林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内 A.6种 B.8种 的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、 C.12种 D.16种 乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审 委员会的不同方式共有 2.(2022·福州高二月考)某市近几年大力改 A.70种 B.55种 善城市环境，全面实现创建生态园林城市计 C.40种 D.25种 12 第三童排列，组合与二项式定理 3.(2022·三明高二月考)某年级要从3名男：4.(2022·安徽高二月考)用数字0,1,2,3可 生，2名女生中选派2人参加某次社区服 以组成无重复数字的四位偶数 ( 务，如果要求至少有1名女生，那么不同的 A.20个 B.16个 选派方案有 C.12个 D.10个 A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 提示请完成《素能提升训练》训练五 专题1计数问题的常用方法 有关计数问题在考试中经常直接和间接的： 题型二 “相邻”与“不相邻”问题 考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组： [例2](1)某单位计划安排6名志愿者在人 合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素 民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明 或位置问题、相邻或不相邻问题等.求解的策略 城市”的宣传活动，每个路口安排一名志愿 是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按 者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路 事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画 口，丙不在第一个和最后一个路口的安排方 树形图求解。 式共有 种 题型一“多面手”问题 (2)4个男生与3个女生站成一排照相，则男生 [例1门某外语组有9人，每人至少会英语和 和女生互相间隔排列的方法有 种. 日语中的一门，其中7人会英语，3人会日 语，从中选出会英语和日语的各一人到边远 川规律方法川 解排列组合问题时常以元素（或位置）为主体，即 地区支教，有多少种不同的选法？ 先考虑特殊元素（或位里），再考虑其他元素（或位里） 对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的 元素，再对取出的元素进行排列. 题型三含有“至多”“至少”的问题 [例3]某校举办诗歌朗诵比赛，该校高三年 级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选 派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生 川规律方法川 用流程图插述计数问愿，类中有步的情形如阁 中至少有1人参加，且当这3名学生都参加 所示 时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 第1类 4名学生不同的朗诵顺序的种数为( 1 第2类 A.720种 B.768种 具体意义如下： C.810种 D.816种 从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办 法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步， 川规律方法川 每步的方法数如图所示 求解含有附加条件的计数问题的两种方法 所以，完成这件事的方法数为加，m。十，川，“类”与 通常选用直接法或间接法，解题时应注意对“至 “步”可选一步地理解为： 少”“至多“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少 “类”用”十”号连接，“步”用“X”号连接，“类”独立， “至多”等词的计数问题，既可以从反面情形考虑，即 “步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可。 阿接求解，也可以通过分类讨论直接求解， 13 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 题型四分组分配问题 (2)恰有一个空盒子； [例4]某省示范性高中安排5名教师去A, (3)恰有两个空盒子. B,C三所乡村中学支教，每所中学至少去1 人，因工作需要，其中的教师甲不能去A中 学，则分配方案的种数为 .(用数字 作答) 川规律方法川 川规律方法川 相同元素分配问题的处理策略 本题属于局部均分问题，解题时需注意，若有加 (1)隔板法：如果将放有小球的盘子紧挨着成一行放 组元素个数相等，则分组时应除以A,分组过程中有 置，便可看作排成一行的小球的空席中插入了若干隔 几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数， 板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入焉板的 方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔 题型五元素相同问题 板法，隔板法专门解决相同元素的分配同题 (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m), [例5]6个相同的小球放入4个编号为1,2， 有C”种方法，可描述为（一1）个空中插入(m一1)块 3,4的盒子，求下列方法的种数 板 (1)每个盒子都不空； 3.3 二项式定理与杨辉三角 第1课时 二项式定理 [学习任务] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式， 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 自主学习探新知 课前覆习双基落实 知识点二项式定理 《微判断 1.二项式定理 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）。 一般地，当n是正整数时，有(a十b)= (1)(a十b)”展开式中共有n项. ( Ca"+Ca"-1b+…+Ca"-b+…+Cb" (2)在公式中，交换a,b的顺序对各项没有 上述公式称为二项式定理，等式右边的式 影响。 () 子称为(a十b)”的展开式，它共有n十1项，其 (3)Ca"b是(a十b)"展开式中的第k项. 中Ca一b是展开式中的第k十1项（通常用 T+表示)，C称为第k十1项的二项式系数. (4)(a-b)"与(a+b)”的二项展开式的二 2.二项展开式的通项 项式系数相同. () (a十b)"展开式的第 项称二项展 (5)二项式(a+b)”与(b十a)”的展开式中 开式的通项，记作T+1 第k十1项相同. () 14第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置 十位可以从剩余的四个数中选择两个排列，有A种，则 上，有A种方法. 有4A=48(种)，利用分类加法原理可得，共有60十48 根据分步乘法计数原理，共有A:A=1800种方法， =108(种). (3)把位置作为研究对象， (3)比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2,3,4,5 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个 中选一个，有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有 住置，有A种方法： A种，共有4A=240(种)：当是五位数时，共有A 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位 A=600种选法：当是六位数时，共有A:一A=600种 置上，有A种方法 选法，故共有240+600+600=1440（种），所以比2000 根据分步兼法计数原理，共有AA=1200种方法 大的自然数共有1440种。 (4)间接法 跟踪训练 总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再 4,解(1)因数字可重复，别百位上有4个数字可取，十 域去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在 位、个位都各有5个数字可取，于是得允许数字重复的 未位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种 三位数有4×5×5=100（个）. 排法，所以共有A,-2A十A=1860种捧法 (2)先从除0外的4个数宇中取一个作百位，再从余下 龈踪训练 的4个数字中任取两个去占据十位、个位，于是得无重 2.解析分两步完成：第1步，安藩3名主力队员有A种 复数字的三位数有AA=48(个). 排法：第2步，安排另2名队员有A种排法，所以共有 (3)数字0作个位，十位、百位从余下4个数字中任取两 AA=252种不同的出场安排。 个占位得无重复数字的三位偶数A个，数字2,4作个 答案252 位，捧个位有A,从徐0外的余下3个数字中任取一个 探究三 作百位有A,再从余下3个数字中任取一个作十位有 例3][解](1)（和邻问题搁绑法）男生必须站在一 A,则数宇2,4之一作个住，无重复数字的三位偶数有 起，即把3名男生进行全排列，有A。种排法，女生必须 A:AA个，所以无重复数宇的三位偶数共有A十 站在一起，即把4名女生进行全排列，有A!种排法，全 AAA=30(个). 体男生，女生各看作一个元素全排列有A:种排法，由分 随堂巩固促应用 步乘法计数原理知共有AAA=288种排法。 1,A若取相同的数字，有3种方法： (2)(拥绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组 若取不同的数字，有A=6种方法，一共9种。 成5个元素全捧列，故有AA=720种不同的排法. 所以一共可以组成⑨个两位数. (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A!种排法，把3名 2.A由题知，余下的三人中的一人选《春秋》，还有三人 男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故 全排列即可，即AA=18(种). 有AA=140种不同的排法. 3.B由题意，某名歌手可以安排在中间任意位置，则有 (4)先排男生有A种排法.让女生插空，有AA=144 3种不同的安播方法，则其余4人可任意安排顺序，有 A=24种不同的安排方法.所以不同的安排方法总数 种不同的排法】 跟踪训练 有3A=72(种). 3.解(1)8个节目全排列有A=40320种方法，若前 4,D方法一：5位代表并排坐在一起的坐法为A种，甲 4个节目中要有舞路的否定是前4个节目全是唱歌 乙相邻的坐法为AA:种.所以甲、乙不相邻的坐法为 有AA, A一AA=72(种)，所以选项D正确.方法二：利用插 ∴.前4个节目中要有舜蹈的捧法有A一AA= 空法，将其他3人排列，有A=6种排法，形成4个空， 37440(种)， 将甲、乙排进去，有A=12种辦法，所以共有6×12 (2)3个舞焰节目要排在一起， =72(种) .可以把3个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素 进行全排列，3个舞蹈节目本身也有一个排列，有 3.1.3组合与组合数 AA=4320(种). (3)3个舞蹈节目彼此要福开，可以用插空法来解，先把 5个唱歌节目排列，形成6个空位，选三个把舞始节目 第1课时组合与组合数、组合数的性质 排列，则有AA=14400(种). 探究四 自主学习探新知 例4][解](1)千位可以从1,2,3,4,5中任选一个，有 知识点一 5种，剩余的百位，十位和个位可以从剩余的5个数中 并成一组 任竞选择，所以有A种，所以没有重复数字的四位数共 微思考 有5A=300(种). [提示]排列与组合都是从n个不同元素中取出m个 (2)没有重复数字且祓5整除的四位数，分两种情况： 不同元素：不同之处是组合选出的元素没有源序，而排 个位数字为0时，有A=60(种)：个位数宇为5时，千 列选出的元素是有顺序的.如合是选择的结果，排列是 位可以从1,2,3,4种任选一个，有4种，剩下的百位和 先选再排的结果， 知识点二 探究三 1.所有组合的个数C [例8】[解]1)原式=C-A=10X9X8-7X6 2.C ×5=210-210=0. 微练习 6 2 1.解折C-8-16, (2)由nn-190m-②n(m-10(-2)(n-3D 240 答案15 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 2.解析由组合数的性质，得x=3x一6或x十3r一6=18， 可得n一11n一12<0，解得一1<12 且3x一6≤18，所以x=3或x=6. 又n∈N°，且n≥5，所以n∈{5,6,7,8,9,10,11). 答案3或6 所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11 3.解析由组合数的性质，得C十C=C=C=15. 眼踪训练 答案15 3.解原式=C+C×1=8×7×6+100X9=56十 3×2×1 2×1 互动探究解疑难 4950=5006. 探究一 [例1门[解](1)是排列问题.因为发信人与收信人是 4解原方程可变形为二+119 有区别的. 即n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) (2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与 5！ 甲通了一次电话，没有顺序的区别. =14.n-8)n=4)(n-2 5 3！ (3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. 化简整理，得n-3n一54=0. (4)是排列问题.因为3个人中担任哪一学科的代表是 解得n=9或=一6（不符合题意，会去），所以n=9为 有顺序区别的。 所求 跟踪训练 随堂巩固促应用 1.AC选项A,从4名志愿者中选出2人分别参加志愿 1.ABA,B中选出元素就完成了这件事，是组合问题：而 服务工作，只需选出2人脚可，无排序要求，故是组合问 C,D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题. 5！ 51 题.选项B,从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的 2.A因为C-31·5-3万-10.C-41·5-41 数字，组成一个三位数，选出3个不同数字，还需对3个 5,所以C+C=10+5=15. 数字进行排序成三位数，故是排列.选项C,从全班同学 3.C由题意C-mmm-2》=20,且m>3,m∈N, 中遮出3名同学出席大学生运动会开熹式，只需选出 3×2×1 3人即可，无排序要求，故是组合问题.选项D,从全班同 解得m=6, 学中选出3名同学分别担任班长，副班长和学习委员， 4.解析依题意2n=n十4或21十n十4=25，解得n=4或 先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列 =7 问题.所以B,D项均为排列问题，A,C项是组合问题. 答案4或7 探究二 [例2][解](1)从四位候选人中选举正、副班长各一 第2课时组合数的应用 人是排列问题，有A=12种选法，所有可能的选举结 互动探究解疑难 果：AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB, 探究一 DB.DC. [例门[解](1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法 (2)从四位侯选人中选举两人负责班氨工作是组合问 题，有C=6种逸法，所有可能的选举结果：AB,AC, 种载是C-8淡2年-6(# AD.BC.BD.CD. (2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从 (3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应A个 排列，即A=CA.类比可知，从n个不同元素选出 7个自球中秀取出2个，取法种数是G--2种， m(m≤n)个元素的排列数A”与组合数C”间的等量关 (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球 系为A=CA. 中取出3个球取法种批是C--(种 跟踪训练 跟踪训练 2.解先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的 1.解(1)从6门成绩中遍3门成绩共有C=20种不同 方法将各个组合逐个写出来，如图所示， 的选法， (2)如果物理和化学恰有1门被选，则共有CC=12种 不同的选法 由此可拼所有的组合：ab,ae,ad,ae,b,bd,be,cd,ce, (3)如果物理和化学至少有1门被选，则共有CC十 de,共有10种. CC=12十4=16种不同的选法， 5 探究二 (3)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有一个空 [例2][解](1)如果正、副班长必须在内，只需从剩余 盒，先把6个小球分4组，有三种分法：4,1,1,0：3,2,1,0： 的33名学生中再选择3名学生，所以，共有C=5456 2,2,2,0:再放入4个不同的盒子，故不同的方法共有 种不同的选派方法， C+CC+CCS)A=2160(种). (2)从正、副班长中选一人，再从剩余的33名学生中选 择4人，所以，共有CC一81840种不同的选派方法. 随堂巩固促应用 (3)知果正，副班长都不在内，只需从剩余的33名学生 1,A按照组合的定义，从甲、乙、丙、丁四个人中选取2 中选择5名学生，所以，共有C=237336种不同的选 派方法， 名参加会议，有C--6(种). (4》若正、副班长都在内，有556种不同的选派方法： 2.B8人中选4人有C=70(种)，甲，乙均不选有C4= 若正，副班长必须有一人在内，有81840种不同的选派 15(种)，共有C-C=55(种). 方法 3.B可按女生人数分类： 由分类加法计数原理可知，共有5456十81840=87296 若选派1名女生，有CC=2×3=6(种)： 种不同的选派方法。 若选派2名女生，则有C=1(种)。 跟踪训练 由分类加法计数原理，共有7种不同的选派方法。 2.解(1)根据题意，“渐升数”中不能有0， 4.D当个位数字为0时，有A2个： 则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应1个“渐 当个位数字为2时，先排最高位有C,剩下的有A,种， 升数”，则五位“渐升数”共有C。=126(个)， 共有C·A个 (2)对于所有的五住“渐升数”，1在最高数位的有C= 所以无重复数字的四位偶数有A十C:·A一6十4 70(个)， =10(个) 2在最高数位的有C=35(个)， 专题1计数问题的常用方法 3在最高教位的有C=15(个).因为70+35+15=120， 所以第120个五位“渐升数”是最高教位为3的最大的 题型一 五位“渐升数”，为36789. [例1门[解]由题意，知有1人既会英语又会日语，6人 探究三 只会英语，2人只会日语 [例3)[解](1)无序均匀分组问题，先分三步，则应是 方法一分两类。 CCC种选法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种途 A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第 法，则教日语的有2十1=3种选法，此时共有6X3= 三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则CCC 18种选法. 种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF, 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种 AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有A种情况， 选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2=2种 而这A种情况仅是AB,CD,EF的颜序不同，国此只 选法 能作为一种分法，故分配方式 CCC=15(种). 所以由分类加法计数原理知，共有18十2=20种选法. A 方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入速 (2》有序均匀分组问题.在(1)的基编上再分配给3个 不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语：(2)教 人，共有分配方式CCC.A=90(种 日语. A 第一类：甲入选 ()无序邮分均句分组问题，共有CCC (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘 =15种分法. A 法计数原理，有1×2=2种选法； (4)有序部分均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3 (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘 个人，共有分配方式CCC.A=90(种). 法计数原理，有1×6=6种选法. A 故甲入选的不同选法共有2十6=8（种）， 跟踪训练 第二类：甲不入选，可分两步， 3.解(1)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法：第二 子至少一个小球，类似于在6个小球间的空隙中，放入 步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘 3个隔板，把小球分为4组，故不同的方法共有C:= 法计数原理，有6×2=12种不同的选法. 10(种). 综上，共有8十12=20种不同的选法。 (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至 题型二 少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2,2,1,1： [例2][解析]当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路 3,1,1,1:再放入4个不同的盒子，故不同的方法共有 口时，利用“粗螂法”，将甲、乙两名志愿者看作一个整 (e+C)A=150c种 体，再与其余四名志愿者全排列，一共有AA=240种 不同的安排方式，当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个 6 路口，且丙在第一个或装后一个路口时，一共有AAA 3.3 二项式定理与杨辉三角 =96种不同的安排方式.故所求安排方式一共有AA -AAA=240-96=144(种). [答案]144 第1课时 二项式定理 (2)[解析]先將4个男生全排列有A一24种排法， 4个男生中间共有三个空位，女生在男生中间的三个空 自主学习探新知 位全列共有A=6种裤法，所以男生和女生互相间隔 知识点 排列的方法有24×6=144（种）. 2.k+1 Ca"'b" [答案]144 微判断 题型三 (1)(×)(2)(×)(3)(×)(4)(/)(5)(×) [例3][解析]根据题意，在7名学生中选派4名学生 互动探究解疑难 参加诗歌朝诵比赛，有A=840种情况，其中甲、乙、两 探究一 [例1][解](1)(x+2y)‘=Cx+Cx(2y)+Cx 都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A=24(种)， (2y)+Cx(2y)+C(2y)'=x'+8.xy+24xy+ 则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840 32.xy+16y'. 一24一816（种）：其中当甲，乙、丙都参加且甲和乙相邻 (2)原式=C(x+1)°+C(x+1)(-1)+C(x十1)- 的情况有CAA=48(种)，则满足题意的朗诵顺序有 (-1)2+…+C(x+1)(-1)+…+C(-1)=[(x 816一48=768（种）.故选B. [答案]B +1)+(-1)]"=x, 题型四 跟踪训练 [例4们[解析]①若三所学校分配人数分别为1,1,3 1.解方法-：(2x-2) =C(2x)+C(2x) 时，共有C·心=60种安裤方法) 其中甲去A中学的安排方法有CA+CA=20(种)， 则此时分配方案的种数为60一20一40（种）： c(2)广=16r-8+4+ ②若三所学校分配人美分别为1,2.2时，共有代 方法=2是)广=()广=4r-3)r A=90种安排方法， 167[C4r)'+C4r)r(-3)+C(4r)'(-3)+C 其中甲去A中学的安排方法有C+CCA=30(种)， 则此时分配方案的种数为90一30=60（种）： (4r)(-3)3+C(-3)]=16r-48r+54-29 x2 综上所述·满是题意的分配方案的种数为40十60 100(种). + [答案]100 2.解原式=Cg(x-1)'十C(x一1)+C(x-1)3十 题型五 C(x-1)2+C(x-1)+C-C=[(.x-1)+1]-1= [例5][解](1)先把6个相同的小琼排成一行，在首尾 x-1. 两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任 探究二 选3个空隙各梧一块隔板，有C=10种方法， [例2][解析] 的展开式的通项 (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外 侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一 块隔板，如000000，有种方法，然后将剩下的一 为T-c(广-(-c,ke 块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如000000， N,k≤5，令30- 艺k=0,得k=4,即T是二项式 有C种方法，故共有CC=40种方法，(3)恰有两个空 盒子，插板分两步进行，先在首尾两球外侧放置一块隔 的展开式的常数项，所以展开式中的常数 板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种 项是第5项。 方法，如000000，然后将剩下的两块隔板插入形成 [答案]C 空盒 ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个空盒子，如 (2)[解析] 二项式（+后》 的展开式中，通项公式 1000000,有C种方法. ②将两块板与前面三块板之一并放，如000000，有 为C(F)- C种方法 .k=0,6,12,18,24,30时满足题意，共6项，故选D. 故共有C·(C十C)=30种方法. [答案]D 7