3.1.2 排列与排列数-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

高中数学·选择性必修第二册(RJB) 3.1.2排列与排列数 第1课时 排列与排列数 [学习任务 1,理解并掌握排列的概念 2.能用计数原理推导排列数公式. 3.理解并掌握排列数公式. 自主学习探新知 课前顶习双基落实 知识点一排列的定义 象中取出m个对象的排列数，用符号A 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n) 表示 个对象，按照 排成一列，称 2.排列数的两种形式 为从n个不同对象中取出m个对象的一个 (1)A=n(n-1)[n-(m-1)]= 排列. 如个数 ,其中m,n∈N,并且m≤n. 赵微判断 (2)Aw= n! 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”) (n-m)! (1)a,b,c与b,a,c是同一个排列.() 3.全排列：把n个不同对象 取出的一 (2)在一个排列中，若交换两个元素的位置， 个排列，叫做个对象的全排列，全排列数 为A=n！(读作“n的阶乘”).规定：0！= 则该排列不发生变化： () A=1. (3)从4个不同元素中任取3个元素，只要 这微练习 元素相同得到的就是相同的排列.() 1.A= 知识点二排列数的定义及排列数公式 A.6 B.12 1.排列数 C.16 D.18 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对 象的 ,称为从个不同对 2.计算：5 互动探究解疑难 要点归纳重难突骇 探究一排列的概念 (3)某班40名学生在假期相互通信. [例1]判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达 航线的飞机票价格（假设来回的票价相同）； (2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活 委员： 4 第三童排列，组合与二项式定理 川规律方法川 口跟踪训练 判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征 ! (1)取出的元素无重复. 2.将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一 (2)取出的元素必须按顺序排列.元素有序还是 行，要求自左向右，且A不排在第一，B不 无序是判断是否是排列问题的关健. 排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试 ☑跟踪训练 用树形图列出所有可能的排法。 1.(多选)下列问题是排列问题的是( A.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别 参加数学、物理兴趣小组的方法种数 B.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加 探究三排列数的计算 一项活动的方法种数 [例3](1)（多选）下列各式中与排列数A C.求从a,b,c,d中选出3个字母的方法 相等的是 () 种数 n! D.求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两 A.(n-m门 位数的个数 B.n(n-1)(n-2)…(-m) 探究二用列举法解决排列问题 C.nA n-m+1 [例2]写出下列问题的所有排列. D.AIA (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组 A+5A 成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)计算：A。-3 (2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有 (3)求证： 重复数字的四位数？试全部列出 ①A}-A=nA: ②m+D1-m=n-k牛1)m(k≤. 1 (k-1)I k! 川规律方法川 排列数公式的选挥 (1)排列数公式的乘积形式通用于计算排列数. (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有 关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意 阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算。 口跟踪训练 3.4×5×6×…×(n-1)n等于 川规律方法川 A.A: B.A 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有 效的表示方式，在操作中先将元素按一定顺序排出， C.(n-4)！ D.A-3 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一 A-A 类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定 4. 第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一 A 个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出所有排列. 5.A=2A,则m= 5 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 随堂巩固促应用 险证反情迁移运用 1.判断下列问题是不是排列问题. 2.从甲、乙，丙三人中选两人站成一排的所有 (1)在中国男子足球超级联赛中，采取“主客 站法为 () 场制”（即两个球队分别作为主队和客队各 A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 赛一场).若共有16支球队参赛，则共进行 B.甲乙、丙乙、丙甲 多少场比赛？ C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲丙乙 (2)在某足球赛中，采用“分组循环淘汰制” D.甲乙、甲丙、乙丙 若共有32支球队参加，分为8组，每组4支 3.A等于 球队进行组内循环，则共进行多少场比赛？ A.9×3 (3)会场有50个座位，要求选出3个座位安排 B.9 3位客人就座，有多少种不同的安排方法？ C.9×8×7 (4)从集合M={2,3,…,8}中，任取相异的两 D.9×8×7×6×5×4×3 个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴 4.若a∈N°且a<27,则(27-a)(28-a)… 上的椭圆方程影+芳=1？ (34一a)等于 () A.A7- B.A C.A34- D.A34- 提示请完成《素能提升训练》训练二 第2课时 排列数的应用 [学习任务 1.能应用排列知识解决简单的实际问题. 2.能解决有限制条件的排列问题」 互动探究解疑难 要点归翁重摊突破 探究一无限制条件的排列问题 川规律方法川 例1门有5个不同的科研小课题，从中选3 没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所都 列的位置没有特别的限制，这一类间圆相对筒单，分 个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研 清元素和位置即可 究，每组一个课题，共有多少种不同的安排 口跟踪训练 方法？ 1.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面 或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则 一共可以表示 种不同的信号. 6 第三童排列，组合与二项式定理 探究二元素的“在”与“不在”问题 川规律方法川一 例2]从包括甲、乙两名同学在内的7名同 1,元素相邻间题利用“捆绑法”处理，即把相邻元 素看做一个整体，悦为一个元素，参与其他元素的排 学中选出5名同学排成一列，求解下列 列.同时，应注意国绑元素的内筋排列. 问题： 2,元素不相邻问海利用“插空法”处理，即先考虑 (1)甲不在首位的排法有多少种？ 不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前回 (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多 元素捶列的空当中， 3.处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题， 少种？ 应遵能“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题一般 (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有 阴“捆绑法”，元素不相邻问题一般用“插空法” 多少种？ 跟踪训练 (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有 多少种？ 3.一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目， 要求排出一个节目单，（结果以数字作答） (1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ (2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种 排法？ 川规律方法川 (3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种 1.“在”与“不在”的有限制条件的排列问愿，既可 以从元素入手，也可以从位置入手，原则是雄“特殊” 排法？ 谁优先， 2.从元素入手时，先给特殊元素安排位置，吾把 其他元素安排在剩余位罩上：从位置入手时，先安排 特棘位置，再安排其他位置.注意：无论从元素考虑还 是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素叉考 虑位置， a跟踪训练 2.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员， 探究四数字排列问题 派5名参加比赛，3名主力队员安排在第 [例4]用0,1,2,3,4,5可以组成多少个满 一、三、五位置上，其余7名队员中选2名安 足下列条件的数. 排在第二、四位置上，那么不同的出场安排 (1)没有重复数字的四位数： 有 种 (2)没有重复数字且被5整除的四位数： 探究三元素的“相邻”或“不相邻”问题 (3)比2000大且没有重复数字的自然数. [例3]3名男生，4名女生，这7个人站成一 排.在下列情况下，各有多少种不同的站法 (1)男、女各站在一起： (2)男生必须排在一起； (3)男生不能排在一起： (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. 7 ·高中数学·选择性必修第二册(RJB) -川规律方法川一 (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ 数字排列问题是挂列问题的重要题型，解题时要 (3)可以组成多少个无重复数字的三位 着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思 路.常见附加条件有：(1)首位不能为0：(2)有无重复数 偶数？ 学：(3)奇偶数：(4)某数的倍数：(5)大于（或小于）某数. ☑跟踪训练 4.用0,1,2,3,4这五个数字组数.（本题最后 结果必须写成数字) (1)可以组成多少个允许数字重复的三 位数？ 随堂巩固促应用 验证反储迁移运用 1.(2022·深圳高二月考)用数字1,2,3组成 3.安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手 允许有重复数字的两位数，其个数为( 不是第一个出场，也不是最后一个出场，不 A.9个 B.8个 同的安排方法总数为 () C.6个 D.5个 A.60种 B.72种 2.中国古代的五经指《诗经》《尚书》《礼记》 C.80种 D.120种 《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学 4.(2022·威海高二期末)现有5位代表参加 分别选取了其中一本书作为课外兴趣研读， 疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲、 5名同学选取的书均不相同.若甲选《诗 乙不相邻，则不同的坐法有 () 经》，乙不选《春秋》，则这5名同学所有可能 A.24种 B.36种 的选择方法有 C.48种 D.72种 A.18种 B.24种 C.36种 D.54种 提宗总请完成《素能提升训练)训练三 3.1.3 组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的性质 [学习任务 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系， 2.掌握组合数公式及组合数的性质，并会运用它们进行计算， 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一组合的定义 n)个对象 ,称为从n个不同对象中取 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤ 出m个对象的一个组合. 8所以当十位数字是0时有9×9=81种结果： 当十位数字是1时有8X8=64种结果： 3.1.2排列与排列数 当十位数字是2时有7×7=49种结果： 当十位数字是3时有6×6=36种结果： 第1课时排列与排列数 当十位数字是4时有5×5=25种结果： 当十位数字是5时有4×4=16种结果： 自主学习探新知 当十位数字是6时有3×3=9种结果： 知识点一 当十位数字是7时有2X2一4种结果； 一定的顺序 当十位数字是8时有1种结果， 微判断 (1)(X)(2)(×)(3)(×) 所以共有81十64+49+36十25+16+9+4+1=285种 知识点二 结果. 1,所有排列的个数 [答案]C 2.(1)n(n-1)…(n-m+1) 跟踪训练 3.全部1 6.C方法一（直接法）：满足题意的不同的选择方法有以 微练习 下三类： 1.BA=是=4X3X2X1-12. 三个人中只有一个人去丽江，有3X3=27种选择 2! 2×1 方法； A 4×3×2 2.解析 1=5×4X3X2X1=5 三个人中有两个人去丽江，有3×3=9种选择方法： 三个人都去丽江，有1种选择方法. 答案 5 综上，共有27十9十1=37种不同的选择方法 互动探究解疑难 方法二（排除法）：三个人去四个景点，有4=64种选择 探究一 方法： [例1][解](1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但 没有人去丽江，有3=27种选择方法. 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题 综上，共有64一27=37种不同的选择方法. (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是 7.D根据题意，车主第一个号码在数字3,5,6,8,9中选 不同的，存在顺序问题，属于排列问题， 择，共5种选法，第二个号码只能从字母B,C,D中选 (3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序 问题，属于排列问题. 择，有3种选法，剩下的3个号码在1,3,6,9中选择，每 跟踪训练 个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，则共 1,AD对于A,从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参 有5×3×64=960（种）. 加数学、物理兴趣小组，与顺序有关，是排列问题：对于 8.解析先排1，有5种方法， B,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，只要 然后希Ⅱ，下，最后排Ⅲ， 求选出即可，不是排列问题：对于C,从a,b,c,d中选出 ①当Ⅱ，N相同时，方法有4×4种，故方法数有5×4×4 3个字母，只要求选出即可，不是排列问题：对于D,从 =80(种)： 1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数，需要先远出再 ②当Ⅱ，N不同时，方法有4×3×3种，故方法数有5×4 排序，是排列问题 ×3×3=180(种). 探究二 综上所述，不同的着色方法数共有80十180=260（种）. [例2][解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41， 23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数 答案260 (2)画出树形图，如图所示 随堂巩固促应用 1.A由题意，从甲地到乙地，有三类不同的方法，所有方 法数为8十3+2=13（种）. 2.D根据题意，一药的取法有3种，一方的取法也有 3种，则拾好选出一药一方的方法种数为3X3=9(种). 3.D由题意，选一本语文书，一本数学书有9X7 63(种)：选一本数学书，一本英语书有7×5=35（种）： 选一本语文书，一本英语书有9×5=45（种）， ∴.共有63十35十45=143种选法. 4.C若A,C的颜色相同时，第一步涂A,C有5种方法， 第二步涂B有4种方法，第三步涂D有3种方法，共计 由上面的树形图知，所有的四位效为 5X4X3=60(种)：若A,C的瓶色不同时，第一步涂A 1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143, 有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三部涂C有 2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241, 3种方法，第四步涂D有2种方法，共计5×4×3X2 3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共 120种方法，所以共有180种方法. 有24个没有重复数字的四位数. 2 跟踪训练 随堂巩固促应用 2.解画出树形图，如图所示 1.解(1)是，同样的甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作 为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题 (2)不是，由于是组内猫环，故在同一组的甲、乙两队之 间只需进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题， (3)是，入座问题同排列问题一样，与顺序有关，故是排 列问题. (4)不是，若焦点在x轴上，则椭圆方程中的a,b必满足 由树形图知，所有排法为BADC,BCDA,BDAC, a>b,即a,b的大小关系一定，故不是排列问题. CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共有 2.C从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所 9种排法。 以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙， 探究三 3.C根据排列数的计算公式可得A=9×8X7,故选C [例3](1)[解析]对于A,由排列数公式知A= 4.D从27-a到34-a共有34-a-(27-a)+1=8个 n-mA正确：对于B,n(n-1)(n-2)…(m一m)= 数，(27-a)(28-a)…(34-a)=A5-a h 第2课时排列数的应用 A≠AB错误：对于C,nA二 n一m十1= n一m十1 互动探究解疑难 =≠A,C错送：对于D,NA=nX 探究一 [例1][解]从5个不同的课题中选3个，由3个学习 G .D (n-1)！ 兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中 (n一m)! 选出3个元素的一个排列. 正确. 因此有A=5×4×3=60种不同的安排方法。 [答案]AD 跟踪训练 (2)汇解析]方法一：A。-3六 A:+5A 1.解析第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法： 第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法： _8×7×6×5×4+5×8×7×6×5 第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法 10X9X8-3×9×8 根据分类加法计数原理，共有A;十A十A=3十3X2十 -(4+5)×8X7×6X5=30. 3×2×1=15种可以表示的信号. 9×8×(10-3) 答案15 A:+5A_A」 方法二-3元-元0. 探究二 [例2][解](1)方法一：把元素作为研究对象. [答案]30 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中 (3)[证明]①左边=A-A=n(n十1)A--nA 选出5名放在5个位置上，有A种排法 =(n2十n-)A二}=n2A=右边， 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个 “.结论成立，即A1-A=nA 放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的 ②当k≤n时， 位置上，有A:种排法，根据分步乘法计数原理，有4× 左边=n十1D!-一nn十1Dml-km! A。种排法。 k! (k-1)1 (k-1D页 由分类加法计数原理知，共有A:+十4×A=2160种 =(n十1)m!-nl_n-十1Dml=右边， 排法. k! k! 方法二：把位置作为研究对象. 结论成立，-2甘< 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A k! k! 种方法： 跟踪训练 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在徐首 3.D因为从4到n共有n一3个数， 位以外的其他4个位置上，有A。种方法， 所以根据排列数公式知，4X5×6×…×(n-1)n=A 由分步乘法计数原理知，共有AA=2160种排法. 4.解析 -A_7X6A-6A=36。 方法三：（间接法）先不考虑限制条件，从7人中选出 A 5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉， A 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首 答案36 位的情况有A:种，所以符合要求的排法有A,一A= 5.解析因为A=2A,所以m(m-1)(m-2)(m一3) 2160(种). (m-4)=2m(m-1)(m-2),m2-7m十10=0，m=2或 (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置。 m=5.又m≥5，所以m=5. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位 答案5 置上，有A种方法： 3 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置 十位可以从剩余的四个数中选择两个排列，有A种，则 上，有A种方法， 有4A=48(种)，利用分类加法原理可得，共有60十48 根据分步乘法计数原理，共有AA:=1800种方法， =108(种). (3)把位置作为研究对象. (3)比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2,3,4,5 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个 中选一个，有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有 位置，有A种方法 A种，共有4A=240(种)：当是五位数时，共有A: 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位 A=600种选法：当是六位数时，共有A一A=600种 置上，有A种方法. 选法，故共有240十600+600=1440（种），所以比2000 根据分步乘法计数原理，共有AA:=1200种方法 大的自然数共有1440种。 (4)间接法. 跟踪训练 总的可能情况有A种，减去甲在首位的A,种排法，再 4.解(1)因数宇可重复，则百位上有4个数字可取，十 减去乙在术位的A。种排法，注意到甲在首位，同时乙在 位、个位都各有5个数字可取，于是得允许数字重复的 末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种 三位数有4×5×5=100（个）. 排法，所以共有A-2A十A号=1860种排法 (2)先从除0外的4个数字中取一个作百位，再从余下 跟踪训练 的4个数字中任取两个去占据十位、个位，于是得无重 2.解析分两步完成：第1步，安排3名主力队员有A;种 复数字的三位数有AA=48(个). 排法；第2步，安排另2名队员有A种排法，所以共有 (3)数字0作个位，十位、百位从余下4个数字中任取两 AA号=252种不同的出场安排。 个占位得无重复数宇的三位偶数A:个，数字2,4作个 答案252 位，檐个位有A:,从除0外的余下3个数字中任取一个 探究三 作百位有A,再从余下3个数字中任取一个作十位有 [例3][解](1)（相邻问题捆绑法）男生必须站在一 A,则数字2,4之一作个位，无重复数字的三位偶数有 起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须 A:AA;个，所以无重复数字的三位偶数共有A十 站在一起，即把4名女生进行全排列，有A:种排法，全 AAA=30(个). 体男生、女生各看作一个元素全排列有A号种排法，由分 随堂巩固促应用 步乘法计数原理知共有AAA=288种排法。 1.A若取相同的数字，有3种方法： (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组 若取不同的数字，有A=6种方法，一共9种. 成5个元素全排列，故有AA=720种不同的排法. 所以一共可以组成9个两位数. (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A:种排法，把3名 2.A由题知，余下的三人中的一人选《春秋》，还有三人 男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故 全排列即可，即AA=18(种). 有AA:=1440种不同的排法. 3.B由题意，某名歌手可以安排在中间任意位置，则有 (4)先排男生有A:种排法.让女生插空，有AA=144 3种不同的安排方法，则其余4人可任意安排顺序，有 种不同的排法 A=24种不同的安排方法.所以不同的安排方法总数 跟踪训练 有3A=72(种). 3.解(1)8个节目全排列有A:=40320种方法，若前 4,D方法一：5位代表并排坐在一起的坐法为A种，甲 4个节目中要有舞蹈的否定是前4个节目全是唱歌 乙相邻的坐法为AA种，所以甲、乙不相邻的坐法为 有A:At, A一AA=72(种)，所以选项D正确.方法二：利用插 ∴前4个节目中要有舞蹈的排法有A。一AA= 空法，将其他3人排列，有A=6种排法，形成4个空， 37440(种). 将甲、乙排进去，有A=12种排法，所以共有6×12 (2)3个舞路节目要排在一起， =72(种). ,'可以把3个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素 进行全排列，3个舞蹈节目本身也有一个排列，·有 3.1.3组合与组合数 AA=4320(种). (3)3个舞骆节目彼此要膈开，可以用插空法来解，先把 5个唱歌节目排列，形成6个空位，选三个把舞暗节目 第1课时组合与组合数、组合数的性质 排列，则有AA=14400(种). 探究四 自主学习探新知 [例4][解](1)千位可以从1,2,3,4,5中任选一个，有 知识点一 5种，剩余的百位，十位和个位可以从剩余的5个数中 并成一组 任意选择，所以有A种，所以没有重复数字的四位数共 微思考 有5A=300(种). [提示]排列与组合都是从n个不同元素中取出m个 (2)没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况： 不同元素：不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排 个位数字为0时，有A=60(种)：个位数字为5时，千 列选出的元素是有顺序的，组合是选择的结果，排列是 住可以从1,2,3,4种任选一个，有4种，剩下的百位和 先选再排的结果，