3.1.1 基本计数原理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

第三章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1基本计数原理 [学习任务 1,理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理， 2.会用这两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题， 自主学习探新知 误前预习双基滚实 知识点一分类加法计数原理 知识点二分步乘法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且： 办法中有m,种不同的方法，第二类办法中有 做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法…第n类办法中有m。种 种不同的方法…做第n步有m。种不同的方 不同的方法，那么完成这件事共有N 法，那么完成这件事共有N 种不同的方法 种不同的方法 这微思考 赵微练习 [思考]如何区分“完成一件事”是分类还 某校高一年级共8个班，高二年级共6个班， 是分步？ 从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务， 安排方法共有 种 互动探究解疑难 要点归纳重滩突我 探究一分类加法计数原理 11个接种点，在乡镇设立了19个接种点. [例1](1)(2022·重庆高二期末)从2021 某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫 苗接种，则不同接种点的选法共有() 年3月24日起，中国启动新冠疫苗接种数 A.11种 B.19种 据的日报制度，国家卫健委每日在官网公布 C.30种 D.209种 疫苗接种总数，这也是人类疫苗接种史上首 (2)如图所示，在A,B间有四个焊接点1,2， 次启动国家级最大规模的日报制度.为了方 3,4,若焊接点脱落导致断路，则电路不通， 便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接 则焊接点脱落的不通情况有 () 种普及率，重庆市某区卫健委在城区设立了 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 数，四角黑点为阴数（图中 000-000 白圈为阳数，黑点为阴 A.9种 B.11种 数).现利用阴数和阳数构 C.13种 D.15种 成一个四位数，规则如下： 川规律方法川 (从左往右数)第一位数是 应用分类加法计数原理应注意如下问题 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完 阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位 成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事。 数一阴一阳和为7，则这样的四位数有 (2)无论娜类方案中的哪种方法都可以独立完成 这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之 个 问是互斥的，并列的，独立的 川规律方法川 跟踪训练 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分梦：将党成这件事的过程分成若干步 1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边 (2)计数：求出每一步中的方法数， 口袋里装有30个英语单词卡片，右边口袋 (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果： 里装有20个英语单词卡片，这些英语单词 跟踪训练 卡片都互不相同，则从两个口袋里任取一张 英语单词卡片，不同取法的种数为( 3.青铜神树是四川省广汉市三星堆 A.20种 B.30种 遗址出土的文物，共有八棵，其中 C.50种 D.600种 号神树有三层枝叶，每层有三根 2.设椭圆十=1的焦点在y轴上，其中 树枝，树枝上分别有两条果枝，一 条上翘、一条下垂，每层上翘的果 {1,2,3,4,5},a=(1,2,3,4,5,6,7},则满足上 枝上都站立着一只鸟，鸟共九只 述条件的椭圆个数为 ( (即太阳神鸟).现从中任选三只神鸟，则三只 A.20个 B.24个 神鸟来自不同层枝叶的选法种数为 ( C.12个 D.11个 A.6种 B.18种 探究二分步乘法计数原理 C.27种 D.36种 [例2](1)(2022·北京高二月考)4名同学 4.(2022·沧州高二月考)3个班分别从5个 分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人 景点中选择一处游览，共有 种不同 限报一个运动队，不同的报名方法有 ( 的选法.（填数字） A.81种 B.64种 5.(2022·济南高二期未)3名学生和甲、乙、 C.24种 D.12种 丙3位老师站成一排合影，要求甲、乙、丙从 (2)如图所示，用6种不同的颜色给图中的 左到右按顺序站立（可以相邻也可以不相 4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求 邻)，一共有 种站法.（用数字作答） 相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方 探究三两个基本计数原理的综合应用 法共有 种.（用数字作答） [例3](1)某公司新招聘8名员工，平均分 给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员 不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人 (3)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源， 员也不能分给同一个部门，则不同的分配方 在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有 案种数是 ( 图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四 A.18种 B.24种 为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳 C.36种 D.72种 2 第三章排列，组合与二项式定理 (2)菊花是开封市花，1983 跟踪训练 年开封市人大把菊花命名 6.若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、 为开封市“市花”，并且举 大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 办“菊花花会”，每年10月 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有 18日至11月18日为“菊 人去，则不同的选择方法有 () 花花会”的会期.如图是某展区的一个菊花 A.16种 B.18种 布局图，现有5个不同品种的菊花可供选 择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊 C.37种 D.40种 花，则不同的布置方法有 () 7.特种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从 A.240种 B.300种 左到右第二个字符只能从字母B,C,D中选 C.360种 D.420种 择，其他四个字符可以从0一9这十个数字 (3)一个三位数，其十位上的数字既小于百 中选择（数字可以重复），有车主第一个字符 位上的数字也小于个位上的数字（如735， (从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择， 414等)，那么这样的三位数共有 其他字符只想在1,3,6,9中选择，则他的车 A.240个 B.249个 牌号码可选的所有可能情况有 () C.285个 D.330个 A.180种 B.360种 川规律方法川 使用两个基本计数原理的原则 C.720种 D.960种 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的 8.现用五种不同的颜色，要对如图中 角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成 互相排斥的儿类，逐类解决，用分类加法计数原理： 的四个部分进行着色，要求有公共 “分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后 边的两部分不能用同一种颜色，共 逐步解决，这时可用分步乘法计数原理， 有 种不同的着色方法. 随堂巩固促应用 验证及情迁移运用 1.(2022·太原高二月考)从甲地到乙地一天 A.21种 B.315种 有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲 C.153种 D.143种 地到乙地，他共有不同的走法数为() 4.(2022·广东高二期中)用5种不同颜色给 A.13种 B.16种 图中A,B,C,D四个区域涂色，规定每个区 C.24种 D.48种 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不 2.我国中医药选出的“三药三方”对治疗某疾 同的涂色方法种数为 病有显著效果.若某医生在“三药三方”中随 机选出2种，则恰好选出一药一方的方法种 数为 A.15种 B.30种 C.6种 D.9种 A.120种 B.160种 3.有不同的语文书9本，不同的数学书7本， C.180种 D.240种 不同的英语书5本，从中选出不属于同一学 提示请完成《素能提升训练》训练一 科的书2本，则不同的选法有 3同步课堂讲义 第三章排列、组合与二项式定理 探究二 [例2](1)汇解析]每个人都有3种选择方法，所以不同 3.1排列与组合 的报名方法有3=81（种）. [答案]A (2)[解析]首先给最左边的一个格子涂色，有6种选 3.1.1基本计数原理 择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选 择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理 自主学习探新知 得，共有6×5×5X5=750种涂色方法. 知识点一 [答案]750 m,十m,十…十m (3)[解析门据题意，阳数为：1,3,5,7,9，阴数为：2,4， 微练习 6,8,第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种， 解析根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任 第三位数和第四位数可以的组合有(1,6)，(2,5)， 务可以是高一年级，也可以是高二年级，图此安瓣方法 (3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共有6种选择，根据分步乘 共有8十6=14（种）. 法计数原理，这样的四位数共有5×4×6=120（个）. 答案14 [答案]120 知识点二 跟踪训练 m,XmX…Xm 3,C每只神鸟有3种选法，三只神鸟来自不同层枝叶的 微思考 选法种数有3×3×3=27（种）. [提示]区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一 4,解析每个班从5个景点中选择一处测览，有5种选 步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步， 法，3个班分别从5个景点中选择一处游览，根据乘法 互动探究解疑难 分步原理共有5×5×5=125（种）. 探究一 答案125 [例1](1)[解析]该市民选择接种点分为两类，一类 5,解析根据题念，设三名学生分别为A,B,C,三位老师 在乡镇接种点，一类在城区接种点，所以方法数为19十 站成一排，有4个空位，在其中选出】个，安排A,有4种 11=30. 情况，排好后，有5个空位，在其中选出1个，安排B,有 [答案]C 5种情况，捧好后，有6个空位，在其中选出1个，安排C,有 (2)[解析]按照可能脱落的个数分类讨论， 6种情况，根据分步来法计数原理可得共有4×5×6= 若脱落1个，则有(1)，(4)共2种情况： 120种站法。 若脱落2个，则有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， 答案120 (3,4)共6种情况： 探究三 若脱落3个，则有(1,2.3)，(1,2,4)，(2.3,4)，(1,3,4) [例3](1)[解析]由题意可得，分两类：①甲布门要 共4种情况： 1名英语翻译人员，2名电脑端程人员，共有2×3×3= 若脱落4个，则有(1,2,3,4)共1种情沉. 18(种)，②甲部门要1名英语翩译人员，1名电脑编程 综上，共有2十6十4+1=13种情况. 人员，共有2×3×3=18（种）.由分类加法计数原理，可 [答案]C 得不同的分配方案共有18十18=36（种）. 跟踪训练 [答案]C 1.C王刚同学左边口袋里装有30个英语单词卡片，右边 (2)[解析]先布置中心区城A共有5种方法，从B开 口袋里装有20个英语单词卡片，因为这些英语单词卡 给沿逆时针方向进行布置四周的区域，则B有4种有置 片都互不相同，所以从两个口聚里任取一张英语单词卡 方法，C有3种布置方法，如果D与B选用同一种菊 片，共有30+20=50种不同的选择」 花，则E有3种布置方法：如果D与B选用不同种类莉 2.A当b=1时，=2,3,4,5,6,7，有6个 花，测D有2种布置方法，E有2种布置方法.按照分步 当b=2时，a=3,4,5,6,7,有5个， 乘法与分类加法计数原理，则全部的布置方法有5× 当b=3时，a=4,5,6,7,有4个， 4×3×(1×3+2×2)=420(种). 当b=4时，a=5,6,7,有3个， [答案]D 当h=5时，a=6,7,有2个. (3)[解析]因为十位上的数字既小于百位上的数字也 由分类加法计数原理得6+5十4+3+2=20（个）. 小于个位上的数字， 所以当十位数宇是0时有9×9=81种结果： 当十位数字是1时有8×8=64种结果： 3.1.2排列与排列数 当十位数字是2时有7×7=49种结果： 当十位数字是3时有6×6=36种结果： 第1课时排列与排列数 当十位数字是4时有5×5=25种结果： 当十位数字是5时有4×4=16种结果： 自主学习探新知 当十位数字是6时有3×3=9种结果， 知识点一 当十位数字是7时有2×2=4种结果： 一定的顺序 当十位数字是8时有1种结果， 微判断 (1)(×)(2)(×)(3)(×) 所以共有81十64十49+36十25+16+9+4十1=285种 知识点二 结果。 上.所有排列的个数 [答案]C 2.(1)n(n-1)…(n-m+1) 跟踪训练 3.全部1 6.C方法一（直接法）：满足题意的不同的选择方法有以 微练习 下三类： 1,BA=是=4X3X2X1=12. 三个人中只有一个人去丽江，有3×3=27种选择 21 2×1 方法： A 4×3×2 2,解析 1 15×4X3×2X15· 三个人中有两个人去丽江，有3×3一9种选择方法： 三个人都去丽江，有1种选择方法。 答案 5 综上，共有27十9十1=37种不同的选择方法. 互动探究解疑难 方法二（排除法）：三个人去四个景点，有=64种选择 探究一 方法： [例1门[解](1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但 没有人去丽江，有3一27种选择方法， 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. 综上，共有64一27=37种不同的选择方法. (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是 7.D根据题意，车主第一个号码在数字3,5,6,8,9中选 不同的，存在顺序问题，属于排列问题. 择，共5种选法，第二个号码只能从字母B,C,D中选 (3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序 问题，属于排列问题 择，有3种选法，剩下的3个号码在1,3,6,9中选择，每 跟踪训练 个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，共 1,AD对于A,从甲、乙，丙三名同学中选出两名分别参 有5×3×64=960（种）. 加数学，物理兴趣小组，与顺序有关，是排列问题：对于 8.解析先排1，有5种方法。 B,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，只要 然后兼Ⅱ，N,最后排Ⅲ， 求选出即可，不是排列问题：对于C,从a,b,c,d中选出 ①当Ⅱ，N相同时，方法有4×4种，故方法数有5×4×4 3个字母，只要求选出即可，不是排列问题：对于D,从 =80(种： 1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数，需要先选出再 ②当Ⅱ，N不同时，方法有1×3×3种，故方法数有5×4 排序，是排列问题 ×3×3=180(种). 探究二 综上所述，不同的着色方法数共有80+180=260（种）. [例2][解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41， 23,32,24,42,3,43,共有12个不同的两位数 答案260 (2)画出树形图，如图所示 随堂巩固促应用 1.A由题意，从甲地到乙地，有三类不同的方法，所有方 法数为8十3+2=13（种）. 2.D根据题意，一药的取法有3种，一方的取法也有 3种，则恰好选出一药一方的方法种数为3×3=9（种）. 3.D由题意，选一本语文书，一本数学书有9×7 63(种)：选一太数学书，一本英语书有7×5=35（种）： 选一本语文书，一本英语书有9×5=45（种）， ..共有63十35+45=143种选法. 4.C若A,C的颜色相同时，第一步涂A,C有5种方法， 第二步涂B有4种方法，第三步涂D有3种方法，共计 由上面的树形图知，所有的四住数为 5×4×3=60(种)：若A,C的颜色不同时，第一步涂A 1234,1243.1324,1342,1423,1432,2134,2143, 有5种方法，第二涉涂B有4种方法，第三部涂C有 2314,2341,2413,2431,3124.3142,3214,3241 3种方法，第四步涂D有2种方法，共计5×4×3×2= 3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共 120种方法，所以共有180种方法. 有24个没有重复数字的四位数. 2