专题09 数列（上）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题9 数列（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为数列的各项和为，注意到各项的平方依次构成首项为、公比为的等比数列，于是的各项和为． 由条件知，化简得． 当时，． 2．（2023·全国联赛B卷）将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列(前若干项依次为)，则该数列的第2023项的值为_____． 【答案】4095 【详解】用表示题述数列．前2023个正奇数依次为，其中恰有这32个完全平方数，而在小于4045的正整数中恰有这7个偶立方数．因此4045是的第项． 进而(注意且)． 3．（2024·全国联赛B卷）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 【答案】 【解析】， 则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此． 4．（2022·全国联赛A1卷）若等差数列及正整数满足：，且 则的值为_____． 【答案】 【详解】设的公差为，则 结合条件可知，得． 所以． 5．（2022·全国联赛A2卷）若无穷等比数列的各项和为1，各项的绝对值之和为2，则首项的值为_____． 【答案】 【详解】设的公比为，根据条件，显然有，且 由前一式知，进而，得，则． 6．（2022·全国联赛B1卷）若等差数列的各项非零，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】设的公差为，则，即． 令，从而． 各省预赛试题汇编 7．（2024·吉林预赛）记，则与最接近的整数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】当时， 所以 故选：B． 8．（2023·吉林预赛）已知数列满足，且，则 A．不存在，使得当时， B．不存在，使得当时， C．存在，使得当时， D．存在，使得当时， 【答案】C 【详解】数列的不动点满足， 则 ． 于是． 从而 故选C． 9．（2024·广东预赛）数列满足：对任意．如果该数列的每一项都是正数，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】设 ，则． 于是 所以的最小值为． 10．（2024·江苏预赛）已知数列满足，其前项和为，若对任意的正整数，当时，恒有，则的值为_____． 【答案】385 【详解】取； 取； 取； 取， 则． 又取， 于是 所以． 11．（2024·贵州预赛）已知数列，则_____． 【答案】33552 【详解】，则． 而， ，所以． 12．（2024·贵州预赛）_____．(用数字作答) 【答案】820 【详解】由于，当时成立． 则， 于是； 即时，． 则， 于是，所以． 13．（2024·贵州预赛）已知数列满足，则的通项公式_____． 【答案】 【详解】 ，则； 同理可得 ， 所以． 14．（2024·福建预赛）已知为数列的前项和，且，则成立的最大正整数的值为_____． 【答案】1799 【详解】时， 又时，， 则． 于是 ，从而 所以． 15．（2024·浙江预赛）已知数列满足：，，，则通项 ． 【答案】 【详解】由，，得，两边平方得， 则， 即有，因此数列是常数列，， 所以． 16．（2024·广西预赛）设数列满足，，其中等于的个位数，则 ． 【答案】12108 【详解】，，，， ，，，， ，．一般地： ． ． 于是，，进一步有，． 因此，． 17．（2024·内蒙古预赛）数列中，，且对任意，，求的整数部分是 ． 【答案】9 【详解】由，可得：， 所以数列是递增数列， 又，所以， 则 ， 对于正整数，可得：， 所以， 所以，，，……，， 所以，， 因为数列是递增数列，所以，， 所以， 故的整数部分是． 18．（2024·新疆预赛）设数列满足：．记．若的值在区间内，则整数的值为_____． 【答案】4 【解析】由题意知 下证，只需证，由 由归纳法知，对于任意的，则，即． 19．（2024·重庆预赛）数列满足，若，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 则数列为等差数列，首项为，设公差为， 则 ， 故． 20．（2023·东莞预赛）已知数列满足，则_____． 【答案】 【详解】，则有 所以． 21．（2023·福建预赛）已知数列中，．设为数列的前项和，则_____．(符号表示不超过的最大整数) 【答案】14 【详解】，由于 设，则，特征方程为， 于是，代入得． 从而． 注意到， 于是． 所以． 22．（2023·内蒙古预赛）设满足，若对于任意的，都有，则_____． 【答案】4044 【详解】 同理可证明． 则，又， 所以． 23．（2023·山东预赛）数列中，，那么_____． 【答案】 【详解】，不动点方程为． 则， 于是，所以． 24．（2023·上海预赛）正整数构成一个严格递增的等比数列，且满足，则_____，公比_____． 【答案】； 【详解】由于211是质数不是整数，且． 设，则． 当时，， 等号成立时满足题意． 25．（2023·苏州预赛）已知数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【详解】 又． 所以． 26．（2023·新疆预赛）对于数列，记，则数列为数列的一阶差数列，记，则数列为数列的二阶差数列．以此类推，可得到数列的阶差数列．若的阶差数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列．已知数列是二阶等差数列，，且二阶差数列中，，则_____． 【答案】2023 【详解】 ． 联立 所以． 27．（2023·新疆预赛）已知非零数列满足．则的值为_____．(用整数指数幂表示) 【答案】 【详解】 则． 于是 28．（2023·浙江预赛）已知数列满足，则_____． 【答案】 【详解】 ． 则． 所以． 29．（2024·江苏预赛）已知为等差数列，为等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)． 【详解】(1)设的公差为的公比为，依题意， (2)设 ，则． 所以． 30．（2024·吉林预赛）已知数列满足：，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由，得，又，， 所以是首项为2，公差为1的等差数列，检验时成立， 所以． 令，得． 由可得，，又，， 所以，当且仅当时，等号成立． 又，所以． 31．（2024·广西预赛）用表示不超过的最大整数．设数列满足：，﹒求的个位数． 【答案】3 【详解】由是无理数和可得． 则，， ． 故，． 因此，，从而． 于是，，． 由数学归纳法及，可得 ； ． 故；． 因此，所求的个位数为3． 32．（2024·上海预赛）数列满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同． 【答案】证明见解析 【详解】设除以为余数为．构造有序数对的序列:       注意到，则序列中至多有个不同的项， 根据抽屉原理，在序列的前项中必有相同的两项，不妨设为 由于， 于．继续上述过程，可以得到． 又，，显然，所以且． 综上，在数列中存在相邻的两项，它们除以的余数相同． 33．（2024·重庆预赛）设，求的值．（其中[x]表示不超过实数的最大整数．) 【答案】答案见解析 【详解】设． 对于连续且单调递减．由于，则， 进而依次可以得到，即．     令．由于恒成立， 故当时，单调递增． 又由于，故当时，;当时，．     当为偶数时，设，有 且 故 当为大于1的奇数时，设，有 故 当时，． 综上，当时，；当时， 34．（2023·广西预赛）设为一个数列，记为．若对任意的正数，均存在相应的自然数，当时，则称．若是正整数集上的一个一一对应，则称是的一个重排，称(其中)是的一个重排． 求证：(1)； (2)存在的一个重排． 【答案】证明见解析 【详解】(1)注意到，则对任意的正数，取， 于是． 所以当时，． (2)由(1)知存在，使得． 设为的一个重排，记为． 令，对任意正数，取， 当时，存在，满足， 35．（2023·贵州预赛）设是正项等差数列，公差为，前项和为均为正整数．若，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】证明见解析 【详解】(1)记，则 ， 由于 所以． (2)，则 ， 由于 所以． 36．（2023·贵州预赛）定义：若一个数列中的每一项都是完全平方数，则称这种数列为完方数列．已知数列满足，证明：是一个完方数列． 【答案】证明见解析 【详解】递推数列的特征方程为， 两个特征根分别为，则． 于是． 由于，则 显然由知为整数，所以数列是一个完方数列． 37．（2023·江西预赛）设正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：对任意互不相同的正整数，都有 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】(1)， 猜想：． 假设时结论成立，则时，有 ，即时结论也成立． 由归纳法原理知，对一切，都有． (2)设，则 ，即调换的位置后原式的值减小． 不妨设为的一个排列， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题9 数列（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，则的取值范围是_____． 2．（2023·全国联赛B卷）将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列(前若干项依次为)，则该数列的第2023项的值为_____． 3．（2024·全国联赛B卷）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 4．（2022·全国联赛A1卷）若等差数列及正整数满足：，且 则的值为_____． 5．（2022·全国联赛A2卷）若无穷等比数列的各项和为1，各项的绝对值之和为2，则首项的值为_____． 6．（2022·全国联赛B1卷）若等差数列的各项非零，且，则的值为_____． 各省预赛试题汇编 7．（2024·吉林预赛）记，则与最接近的整数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．（2023·吉林预赛）已知数列满足，且，则 A．不存在，使得当时， B．不存在，使得当时， C．存在，使得当时， D．存在，使得当时， 9．（2024·广东预赛）数列满足：对任意．如果该数列的每一项都是正数，则的最小值为_____． 10．（2024·江苏预赛）已知数列满足，其前项和为，若对任意的正整数，当时，恒有，则的值为_____． 11．（2024·贵州预赛）已知数列，则_____． 12．（2024·贵州预赛）_____．（用数字作答） 13．（2024·贵州预赛）已知数列满足，则的通项公式_____． 14．（2024·福建预赛）已知为数列的前项和，且，则成立的最大正整数的值为_____． 15．（2024·浙江预赛）已知数列满足：，，，则通项 ． 16．（2024·广西预赛）设数列满足，，其中等于的个位数，则 ． 17．（2024·内蒙古预赛）数列中，，且对任意，，求的整数部分是 ． 18．（2024·新疆预赛）设数列满足：．记．若的值在区间内，则整数的值为_____． 19．（2024·重庆预赛）数列满足，若，则 ． 20．（2023·东莞预赛）已知数列满足，则_____． 21．（2023·福建预赛）已知数列中，．设为数列的前项和，则_____．(符号表示不超过的最大整数) 22．（2023·内蒙古预赛）设满足，若对于任意的，都有，则_____． 23．（2023·山东预赛）数列中，，那么_____． 24．（2023·上海预赛）正整数构成一个严格递增的等比数列，且满足，则_____，公比_____． 25．（2023·苏州预赛）已知数列满足，则的通项公式为_____． 26．（2023·新疆预赛）对于数列，记，则数列为数列的一阶差数列，记，则数列为数列的二阶差数列．以此类推，可得到数列的阶差数列．若的阶差数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列．已知数列是二阶等差数列，，且二阶差数列中，，则_____． 27．（2023·新疆预赛）已知非零数列满足．则的值为_____．(用整数指数幂表示) 28．（2023·浙江预赛）已知数列满足，则_____． 29．（2024·江苏预赛）已知为等差数列，为等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 30．（2024·吉林预赛）已知数列满足：，，．求证：． 31．（2024·广西预赛）用表示不超过的最大整数．设数列满足：，﹒求的个位数． 32．（2024·上海预赛）数列满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同． 33．（2024·重庆预赛）设，求的值．（其中[x]表示不超过实数的最大整数．) 34．（2023·广西预赛）设为一个数列，记为．若对任意的正数，均存在相应的自然数，当时，则称．若是正整数集上的一个一一对应，则称是的一个重排，称(其中)是的一个重排． 求证：(1)； (2)存在的一个重排． 35．（2023·贵州预赛）设是正项等差数列，公差为，前项和为均为正整数．若，，且，证明： (1)； (2)． 36．（2023·贵州预赛）定义：若一个数列中的每一项都是完全平方数，则称这种数列为完方数列．已知数列满足，证明：是一个完方数列． 37．（2023·江西预赛）设正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：对任意互不相同的正整数，都有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$