专题09 等差、等比数列中an与Sn性质的应用（思维导图+知识串讲+七大题型+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题09 等差、等比数列中an与Sn性质的应用 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）理解等差、等比数列的概念． （2）掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式． （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． （4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． （5）了解等比数列与指数函数的关系． 知识点01：空间向量的有关概念等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 3、，…仍是等差数列，公差为． 4、，…也成等差数列，公差为． 5、若，是等差数列，则也是等差数列． 6、．数列是等差数列⇔（为常数）． 【常用结论】 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 4、若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点02：等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 1、若，则． 2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 考点剖析 【题型一：等差、等比数列下标的性质】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）设是等差数列的前项和，若，则（ ） A．12 B．18 C．24 D．32 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 二、填空题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在递增的正项等比数列中，，则 5．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 【题型二：等差、等比数列的函数特性】 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【题型三：等差、等比数列片段和的性质】 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 3．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 5．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．13 C． D． 6．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【题型四：两个等差数列的前n项和之比】 一、单选题 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的前n项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型五：等差、等比数列前n项和的函数特性】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 3．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【题型六：等差、等比数列奇偶项的和】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 2．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【题型七：等差、等比数列中an与Sn的关系】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，且，则数列（　　） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 2．（2023·甘肃金昌·模拟预测）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项公式= ． 4．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，若，则的通项公式为 . 过关检测 一、单选题 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 5．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（    ） A．10 B．13 C．11 D．22 二、多选题 6．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 7．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 8．（24-25高三上·辽宁·期中）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(    ). A． B．为等差数列 C．不可能为常数列 D．若为递增数列，则 9．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 10．（2024高三·全国·专题练习）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 三、填空题 12．在前项和为的等差数列中，，，则 ． 13．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，则 ． 15．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 16．（2024高三·全国·专题练习）各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 18．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， . 19．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 等差、等比数列中an与Sn性质的应用 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）理解等差、等比数列的概念． （2）掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式． （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． （4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． （5）了解等比数列与指数函数的关系． 知识点01：空间向量的有关概念等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 3、，…仍是等差数列，公差为． 4、，…也成等差数列，公差为． 5、若，是等差数列，则也是等差数列． 6、．数列是等差数列⇔（为常数）． 【常用结论】 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 4、若与为等差数列，且前项和为与，则． 知识点02：等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 3、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 1、若，则． 2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 考点剖析 【题型一：等差、等比数列下标的性质】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）设是等差数列的前项和，若，则（ ） A．12 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质可得，再结合等差数列前项和的公式即可求解. 【详解】由，则， 由数列为等差数列，，故， 又， 故选：C. 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值,最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值. 【详解】因为， 所以，则 又因为， 所以，当且仅当时，等号成立； 所以的最大值为25. 故选：C 二、填空题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在递增的正项等比数列中，，则 【答案】3 【分析】先应用项的性质得出，再结合已知条件得出，进而得出，最后应用前n项和计算即可. 【详解】由题得，且， 结合已知，解得， 设公比为，且，故，即， 则． 故答案为：3. 5．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 【题型二：等差、等比数列的函数特性】 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 3．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时， 不一有最大值，即可得出论. 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 4．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，分别从两个方向判断“对任意正整数，都有”与“数列是严格减数列”之间的推导关系，根据推导关系判断结论. 【详解】若是严格递减数列，显然能推出， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件； 若对任意的正整数都成立， 则中不可能同时含正项和负项，故， 所以，，即，， 或，，即，. 当，时，有，即，是严格递减数列； 当，时，有，即，是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件. 故选：C. 5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 6．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 【题型三：等差、等比数列片段和的性质】 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 【答案】B 【分析】利用等比数列的片段和性质列式运算即可得解. 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和， 则也是等比数列，即， 又，，所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【分析】仍成等差数列，据此求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，为数列的前项和， 根据等差数列的性质得到：仍成等差数列， 记， 设， ， ，解得， 所以， 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可知依旧成为等差数列，据此求解. 【详解】由，可设， 为等差数列，为等差数列， 即成等差数列， ， 即. 故选：D. 6．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【题型四：两个等差数列的前n项和之比】 一、单选题 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解即可. 【详解】解：因为，即， 所以． 故选：A. 2．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的前n项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质把代数式等价变形，即可得到，结合条件即可得到结果. 【详解】由等差数列性质得，， 由得，. 故选：C. 3．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】分别设出为和的形式，由此求得，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意； 所以，等比数列为常数列，所以可设，，， 所以可得，故C正确. 故选：C. 5．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C 【题型五：等差、等比数列前n项和的函数特性】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式以及通项的性质，即可得出结果. 【详解】由题知，设等差数列公差为， 因为，所以， 则由，得， 又，得， 所以， 则当取得最小值时，. 故选：C 4．（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【答案】C 【分析】应用等差数列和的公式计算得出，再结合基本量运算得出通项，根据数列正负值及得出和的最大值. 【详解】，则， 由于，所以， 则等差数列是首项为正的单调递减数列， 令，解得， 所以当或6时，取得最大值． 故选：C. 【题型六：等差、等比数列奇偶项的和】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 2．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 【题型七：等差、等比数列中an与Sn的关系】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，且，则数列（　　） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】利用的关系可判定数列为等差数列，求出首项，公差再根据数列的函数特性判定选项即可. 【详解】由知， 显然时，，所以， 易知， 即数列为等差数列，首项，公差， 所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项. 故选：C 2．（2023·甘肃金昌·模拟预测）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解. 【详解】由，，得,即，解得. 因为，所以， 两式相减得，即. 又，，所以， 所以是首项为2，公比为3的等比数列， ∴，． 故选:D. 二、填空题 3．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项公式= ． 【答案】 【分析】根据，可求出首项，继而利用时，，求出的表达式，验证后即可确定答案. 【详解】因为数列的前n项和， 故当时，， 当时， ， 由于不适合该式，故， 故答案为： 4．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，若，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用，关系求数列通项，注意验证是否满足. 【详解】当时，，因为，所以， 当时，， 则，即，， 所以是从以首项公比为3的等比数列， 则， 此时，令，， 所以， 故答案为：. 过关检测 一、单选题 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式求. 【详解】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：B 2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】因为数列均为等差数列， 所以. 故选：A 3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值. 【详解】由，得， 因为数列为等比数列，所以成等比数列， 所以， 所以，整理得，, 解得或， 因为等比数列的各项为正数，所以， 所以， 故选：D 4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，判断数列的有关项的符号，再结合等差数列的求和公式求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以数列为递减数列，，且，. 所以即，所以， . 所以使的最小的的值为19. 故选：C 5．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（    ） A．10 B．13 C．11 D．22 【答案】A 【分析】结合等差数列前项和公式求得正确答案. 【详解】等差数列 共2n+1个项， 其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和 ①， 偶数项和 ②， ①-②得， 则. 故选：A 二、多选题 6．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 【答案】CD 【分析】根据作差得到，结合等比数列的定义及通项公式计算可得. 【详解】因为，当时，，解得； 当时，，则，即， 所以，则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，故A错误，C、D正确； 又，所以数列是递减数列，故B错误； 故选：CD 7．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 【答案】BCD 【分析】当时，，可得选项A错误；代入通项公式可得选项B正确；由可得选项C正确；根据等差数列的性质求和可得选项D正确. 【详解】A.当时，， 当时，， 故，选项A错误. B.由得，，故，选项B正确. C. ∵， ∴是单调递增数列，选项C正确. D. 由得，, 故，选项D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高三上·辽宁·期中）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(    ). A． B．为等差数列 C．不可能为常数列 D．若为递增数列，则 【答案】ABD 【分析】根据与的关系求出通项，然后根据公差和即可判断结果. 【详解】对于A选项：当时，，A正确； 对于B选项：当时，， 显然时，上式也成立，所以. 因为， 所以是以2k为公差的等差数列，B正确： 对于C 选项，由上可知，当时，为常数列，C错误； 对于D选项，若为递增数列，则公差，即，D正确. 故选：ABD . 9．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【分析】利用与关系，推得是等比数列，进而依次求得和，从而得解. 【详解】 ，即， 又， 是首项为1，公比为的等比数列， ，故A正确； 又当时， 当时，不符合上式， ，故BC错误； 当时，，故D正确. 故选：AD. 10．（2024高三·全国·专题练习）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据数列各项均为正，得到，；C选项，由等比数列的性质及，得，，C错误；D选项，在ABC基础上得到，得到D正确. 【详解】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比， 又，，，，B正确； 又，故，即，A正确； C选项，由得，所以， 而，，因此，C错误； D选项，由上知， 先增后减，与均为的最大值，D正确． 故选：ABD 11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 【答案】ABD 【分析】利用关系及等差数列通项公式得判断A；根据已知及A项分析得，进而确定的符号判断C；根据A、C项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n项和确定对应n的最小值判断B；根据以上分析确定各项符号判断D. 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得，当时，最大，故A正确； 由，可得，所以， 故， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当或时；当时； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．在前项和为的等差数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列前项和的公式，结合已知条件求即可. 【详解】由于，故，，两式相减得到. 而，故. 故答案为： 13．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 . 【答案】 【分析】先根据对数的运算得到等比数列，再结合等比中项可求得结果. 【详解】，可得， 所以，数列是公比为的等比数列， 因为，且，则，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得成等差数列，再结合等差数列的定义，即可求解. 【详解】由等差数列的性质，可得成等差数列， 所以， 因为，可得，解得， 所以构成首项为，公差为的等差数列， 则，故． 故答案为：. 15．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用基本量法可求与公比，故可求. 【详解】设公比为. 因为，故，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时， 故答案为：. 16．（2024高三·全国·专题练习）各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用等差数列基本量的关系列出方程，用基本不等式或二次函数性质求最值. 【详解】解法一：因为，所以， 所以，因为， 所以，当且仅当时取等号． 解法二：因为， 所以，所以， 则， 故当时，取得最大值64． 解法三：（基本量思想）：设数列的公差为， 因为，所以，即， 所以， 当时，取得最大值64． 故答案为： 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 18．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， . 【答案】6 【分析】先求出的通项公式，当时，其前n项积最大，得解. 【详解】由题意可得，， ，且， 当时，最大，即，解得. 故答案为：6. 19．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 【答案】 【分析】根据已知比例关系结合等差数列求和公式可设，再结合求和公式及等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为，则设， 所以； ． 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$