专题08 数列通项公式的求法（思维导图+知识串讲+五大题型+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题08 数列通项公式的求法 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）掌握求数列通项的几种常见方法. 知识点01：公式递推法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 知识点02：累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 知识点03：累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识点04：构造数列法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 知识点05：倒数变换法 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 知识点06：形如型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 考点剖析 【题型一：公式递推法】 一、单选题 1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（   ） A．3 B．18 C．54 D．152 2．（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型二：累加法】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）已知数列首项为，且，则（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型三：累乘法】 一、填空题 1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足，，则 ． 二、单选题 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ） A． B． C． D． 【题型四：加减、作商构造】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【题型五：倒数构造】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 2．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 7．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 8．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，若，则的通项公式为 . 9．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 10．（24-25高三上·安徽·期中）记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ． 11．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 12．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）在数列中，，则的通项公式为 . 13．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列，满足，则 ；若数列的前项和为，且，则 . 14．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 数列通项公式的求法 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）掌握求数列通项的几种常见方法. 知识点01：公式递推法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 知识点02：累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 知识点03：累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识点04：构造数列法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 知识点05：倒数变换法 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 知识点06：形如型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 考点剖析 【题型一：公式递推法】 一、单选题 1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（   ） A．3 B．18 C．54 D．152 【答案】C 【分析】根据题设有且，即可得公比为3，首项为2，利用通项公式求对应项. 【详解】由题设得，作差可得，即， 又为等比数列，故其公比为3，且，即， 所以. 故选：C 2．（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，故可求，或者利用结论可求. 【详解】方法一：已知，则当时，， 两式作差，得， 即，也即数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列， 从而． 由于，则于是． 方法二：因为，所以， 根据左栏结论我们可以知道数列从第二项开始是以为公比的等比数列， 则． 故选：A. 3．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以，所以. 故选：B. 5．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②，由①②得， 又，满足，所以， 由，得到， 所以， 故选：C. 【题型二：累加法】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【详解】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 2．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）已知数列首项为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合，利用等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列首项为，且， 则. 故选：C. 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推公式累加即可. 【详解】因为所以 累加得： 即. 故选：D. 4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知数列的前n项和为，做差法计算数列的通项公式，代入，累加法求出数列的通项公式，裂项相消即可求出数列的前2024项和. 【详解】解：，， 当时，，符合， 所以数列的通项公式为. ，， 即， ， …… ，又，累加法可得：， 即， 设数列的前项和为，则. 故选：D 5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 【题型三：累乘法】 一、填空题 1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 2．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 二、单选题 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 4．（23-24高二下·四川·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，为等比数列，求得，利用累乘法可求得，进而求得答案． 【详解】设数列为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比， ， 则，， . 故选：D. 5．（23-24高二下·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由累乘法求出，再由错位相减法求出数列的前项和为，即可求出. 【详解】因为任意有， 所以，，，……，， 上式累乘可得：， 因为，所以， 设数列的前项和为， ， ， ， 两式相减可得：， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 【题型四：加减、作商构造】 一、单选题 1．（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求. 【详解】由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 2．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 3．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，采用构造数列的方法，，则可以确定数列为等比数列，然后进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，然后令，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式，从而得到结果. 【详解】因为，，则， 且数列是公比为2的等比数列， 则，两边同除可得， 令，则，即， 即，且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，则， 即，所以. 故选：C 【题型五：倒数构造】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：B 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 【答案】C 【分析】先根据题中规律，并采用累加法结合等差数列前n项和公式求出拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是， 第11个“拐角数”是， 第12个“拐角数”是.故C对； 故选：C 2．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案． 【详解】由题意,易知，由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以． 故选：C 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）数列满足，且对于任意的都满足 则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，由，得，故数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，则， 所以数列的前n项和为. 故选：B 4．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 5．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意整理可得，可知数列为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得，即可得结果. 【详解】因为，可得，可知数列为等差数列， 又因为，即，即， 可知是2为公差的等差数列， 且，则， 可得，即，所有. 故选：B. 二、填空题 6．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用和的关系式求解即可. 【详解】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：. 故答案为：. 7．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 【答案】 【分析】利用构造法构造数列，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 8．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，若，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用，关系求数列通项，注意验证是否满足. 【详解】当时，，因为，所以， 当时，， 则，即，， 所以是从以首项公比为3的等比数列， 则， 此时，令，， 所以， 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：8 10．（24-25高三上·安徽·期中）记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】对原式化简得，再降下标作差即可得，结合等差数列定义即可得到其通项. 【详解】，①， 当时，②， ①-②得，， ，，， 是等差数列， 又， 故答案为： 11．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用构造常数列法求，利用累加法求，然后可求得结果. 【详解】当时，有，即， 再由可得：， 所以是常数数列，首项，则，即， 再由可得：，， 由累加法得， 所以，， 当时，，满足， 所以， 则， 故答案为：. 12．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用退一相减法可得，进而可得的通项公式. 【详解】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 13．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列，满足，则 ；若数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【分析】利用累加法求解即可得出；先求出，进而得到，分组求和得到. 【详解】因为 ， 所以 ，所以 ， 又因为， 所以，，， 当时也适合上式， 所以. 由， 因为，所以，解得 当时， 当时， 当时， 所以 所以 故答案为：；. 14．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解通项公式，再利用裂项相消求和即可得解. 【详解】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$