训练十二 点到平面、直线到平面、平面到平面的距离-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练十二点到平面、直线到平面、平面到平面的距离 8.如图，在多面体ABC 基础练了现固应周 A1BC1中，四边形ABB1A 1.已知平面a的一个法向量为n=(一2，一2， 是正方形，CA⊥平面 1),点A(x,3,0)在平面a内，且P(-一2,1,4) ABB A,AC=AB 1, 到平面a的距离为，则x的值为 () BC1∥BC,BC=2B1C (1)求证：AB⊥BC; A.1 B.11 (2)求A到平面BCC1的距离. C.-1或-11 D.-21 2.已知向量n=(2,0,1)为平面a的法向量， 点A(-1,2,1)在a内，点P(1,2,-2)在 a外，则点P到平面a的距离为() A. :B.5 C.2/5 n得 3.四棱锥P-ABCD中，AB=(4,-2,3),AD =(-4,1,0),AP=(-3,1,-4),则这个 四棱锥的高h为 () A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，已知直三棱柱ABO 0 9.如图，在四棱锥O-ABCD D A1B,O中，∠AOB= 2 中，底面ABCD是边长 AO=2,BO=6,D为A1B1 为2的正方形，OA⊥底面 的中点，且异面直线OD与A,B垂直，则 ABCD,OA=2,M,N,R 直线AB,到平面ABO的距离为() 分别为OA,BC,AD的中点，求直线MN A.2 B.3 C.4 D.6 与平面OCD的距离及平面MNR与平面 5.两平行平面a,3分别经过坐标原点O和点 OCD的距离， A(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(一1,0,1)，则两平面间的距离是() A B号 C.√3 D.32 6.已知A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,2,0),则 原点O到平面ABC的距离为 7.如图所示，在长方体 D ABCD-ABCD1中，AD =AA=1,AB=3,点E是 棱AB的中点，则点E到平面ACD的距离 为 23 高中数学·选择性必修第一册(RJB) :13.边长为2的正三角形ABC中，点D,E,G 能力练了赶移运周 分别是边AB,AC,BC的中点，连接DE, 10.如图，正方体ABCD-A1B1CD的棱 连接AG交DE于点F.现将△ADE沿 长为1，中心为0，BF=BC,AE= DE折叠至△ADE的位置，使得平面 ADE⊥平面BCED,连接AG,EG }A,A,则四面体OEBF的体积为 ( (1)证明：DE∥平面A1BC; (2)求点B到平面A1EG的距离. D A立 c D品 11.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的 棱长为1，点E,O分别是A1B,A1C1的 中点，P在正方体内部且满足A户=子A店 十AD+号AA,则下列说法正确的是 ( ) A点A到直线BE的距离是⑤ B点O到平面ABC,D,的距离为吗 C.平面A1BD与平面B,CD1间的距离为 3 D点P到直线AB的距离为器 12.在我国古代数学名著《九P 章算术》中，将四个面都为 M 创新练了素能培优 直角三角形的三棱锥称之 为鳖牖.已知在鳖臑P 14.棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的 ABC中，PA⊥平面ABC, 顶点A在平面a内，平面ABCD与平面a PA=AB=BC=2,M为 所成的二面角为30°，则顶点C1到平面a PC的中点，则三棱锥P-MAB的体积为 的距离的最大值是 24=V(-)+, 即a=(,-号) 当1=号时.号当1=0我1=1时， 设异面直线AC,PB之间的距离为d,则 AP·n ,所以<证1≤2 d= _2/57 n V1+3+ 19 答案D (2)设在侧面PAB内存在一点N(a,0,c),使NE⊥平 12.解析点B在平面xOy内的直线x十y=1上，故设点 面PAC, B(a,1-a.0),.AB=(a+1,2-a,-2). 由a)知E(o,2l…NE=(-a,2l-c ∴.1AB2=(a+1)°+(2-a)2+(-2)=2a-2a+9 =2a-）+号>号i= NE.AP=21-G)=0, 2 答案B NE.AC--/5a+-0 13解如图，以D为原点，DA, DC,DD,所在直线分别为r轴、A y轴，￥物建立空间直角坐标系 年。-号N悟a小 c=1, .A(a,0,0,D(0,0,a). 设M(0,m,m)(0≤m≤a), :N到AB的距离为1，N到AP的距离为得 .AD,=(-4,0,a), 训练十二点到平面、直线到平面、平面到平面的距离 MA=(a,-m,一m). :MA·AD,=一a-am,.MA在AD,上的投影的长 1.解析PA=(x+2,2,-4),而d=PA:n_10 3 度为 MA.AD.la+am(a+m), 两22》-号解得-1我- √+4+ IAD,I Va Fa 2 答案C ∴点M到直线AD,的距离为 2.解析因为A(一1,2,1).P(1,2,-2),所以PA=(-2, 0,3).因为平面a的法向量为n=(2,0,1),所以点P到 d=MAI [a+ /a+2m2-1 (a+m) 3 手面a的距离d一PAn”二十到-气，敌选A. n √m-am+2a 答案A 根式内的二次函数当m=一 3 2× 号时取最小值 3.解析在四棱维P-ABCD中，AB=(4,一2,3)，AD (-4.1.0),AP=(-3,1.-4). ()广-x号+= 设平面ABCD的法向量为n=(x,yz), 故山的藏小值为号。 则 A5n=0可得-2+3=0 AD·n=0, -4x+y=0, 所以点M到直线AD,距离的最小值为。 不妨令x=3,则y=12,之=4， 3 14,解(1)由题意得AB⊥AD, 可得n=(3,12,4).AP=(-3,1,-4)在平面ABCD上 PA⊥AD,PA⊥AB.以A为原 的射影就是这个四棱锥的高， 点，AB所在直线为x轴，AD -9+12-161=1. 所在直线为y轴，AP所在直 h=IAPIIcOS(AP.m=AP: 13 线为：轴，建立空间真角坐标 答案A 系，如图， 》 4,解析由直棱柱的性质，知直线A,B到平面ABO的 则A(0,0,0),C(√3,1.0). 距离为棱柱的高，不妨设为1(t>0). P(0,0,2),B(3,0.0) 以OA,OB,O所在的直线分别 为x轴、y轴、之轴，建立如图所示 AC=(/5,1,0),PB=(3,0,-2),AP=(00,2). 的空间直角坐标系，则O(0,0, D 设异面直线AC,PB的公垂线的方向向量为 0),A(2,0,0),B(0.6,0),A(2, n=(x,y,z),则n⊥AC,nLPB, 0.t),B(0,6,1), n·AC-3x+y=0, 则D(1,3,t),所以AB=(一2,6， n·PB=√5x-2x=0, -t).0D=(1.3,), 令x=1,则y=一尽=号 所以A,B·OD=-2+18-t产=0. 所以t=4. 答案C 69 5.解析：两平行平面a,3分别经过坐标原点O和点：9.解因为M,R分别为AO, A(2,1.1),OA=(2,1.1),且两平面的一个法向量n= AD的中点，所以MR∥OD. 在正方形ABCD中，N,R分 (-1,0,1),·两平面间的距离=n:0A 别为BC,AD的中，点， n 所以NR∥CD.又MR∩NR 二20+1-受故选B =R,OD∩CD=D, 2 所以平面MNR∥平面OCD. 答案B 又MNC平面MNR,所以 MN∥平面OCD. 6.解析由已知可得AB=(-1,2,2),AC=(-2,0,0), 所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面 设平面ABC的法向量为n=(x,y,:), OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离，以点A 南n·AB=-x+2y+22=0. 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),N(2,1,0), n·AC=-2x=0, 所以NC=(0,1,0),OD=(0,2.-2),CD=(-2,0,0). 取y=1,可得n=(0,1,-1). 设平面OCD的法向量为n=(x,y,:), 而OA=(2,2,0),所以，原点O到平面ABC的距离 则n·0D=2y-2=0, 4=ln:0i-是-2 n·CD=-2.x=0, n v2 令2=1，得n=(0,1,1)为平面OCD的一个法向量. 答案√② 所以点N到幸面0CD的距离4-记·日-要。 7.解析以D为原点，DA为 所以直线MN与平面OCD的距斋，平面MNR与平面 x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系， OCD的距离都等于号 E(1,号0A1,00.C(0, 10.解析以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD,所在靠 线为工轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 3,0),D,(0,0,1),AC=(-1, 30.AD=(-1,0.E-(0,20） 设平面ACD的法向量n=(x,y,z),则 n·AC=-x+3y=0, 取y=1,得n=(3,1,3), n·AD,=-x十2=0， 六点E到平面ACD,的距离d=AE:m=3四 n 38 期d2号）Blo.1o）f合1d. 答案需 -(分日).0-(2) 8.解(1)证明连接AB,,因为CA⊥平面ABBA,,A,B C平而ABB,A,所以A,B⊥CA. 附10成-，0=，-。 因为四边形ABBA,是正方形，所以AB:⊥A,B OB.OE 因为CA∩AB,=A,所以A,B⊥平面ABC ∴.cos∠BOE= 因为B,CC平而AB,C,所以A,B⊥B,C OBI OE (2)四边形ABB,A,是正方形，则AA⊥AB.又CA⊥平 面ABB,A以A为坐标原点，AC,AB,AA,分别为x 轴y轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 是 由AC=AB=1,得A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,0,0),A(0,0,1) ∠BOEe(受小sin∠BoE=Y 9 B(0,1,1),则AC=(1.0,0), 六Sam=OB·OE·sin∠BOE=Y2E 16 由B,C1∥BC.BC=2B,C,得BC 设平面OEB的一个法向量为n=(xy): =BB+B,C=BB+号BC 由 (2-21Bc=1-1,0 所以平面BCC的一个法向量n=(1,1,0), 取=1得a=(侯是 所以A到平面BCC,的距离4=n:AC=1=巨 又Br-(←200） 70 F到平面OEB的距离方=n·BF时 =②6 12.解析以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为 n 521 x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图， 则B(0,0,0),A(2,0,0),P(2, .四而体OEBF的体积V= L×2×2= 0,2),C(0,2,0),由M为PC的 3 16 52961 中点可得M(1,1,1), 答案D 11.解析如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), BM=(1,1.1D,BA=(2,0.0) M B(1,0,0),D(0,1,0), BP=(2,0,2). A(0,0,1).C(1.1.1). 设n=(x,y,)为平面ABM的 D01E(20,l 一个法向量， 则 所以B=（-1,0.0. 酝=(-0 n·BA=0,即 2x=0, n·BM=0, x十y十x=0, 设∠ABE=0. D 令=一1，可得n=(0,1,-1),点P到平面MAB的 IBA·BE 距离为4=1n:BP1=2 则cos0= IBAIIBEI 又osB,Bi)-,所以n∠ABM=写 5 对Saw=号B1Bsn∠ABM=E. sim0=V个-cos9=25 5 所以三赦维PMAB的体积为号×，2×E=号 故A到直线BE的距离 d=BAsm0=1×25=25,故A错. 答案号 5 5 13.解(1)证明：边长为2的正三角形ABC中，点D E,G分别是边AB,AC,BC的中点， 连接DE,连接AG交DE于点F, 平面ABC,D.的一个法向量DA,=(0,-1,1), .DE∥BC ,DE正平而A,BC,BCC平面 则，点O到平面ABC,D,的距离 A,BC,.DE∥平而ABC, d, DA.co1立 (2)以F为原点，FG为x抽，F正 ,故B对. 为y轴，FA,为：轴，建立空间直 IDA,I √2 4 角坐标系， AB=(1,0,-1),A,D=(0,1,-1),AD,=(0,1,0). B(-1.0小A(o.o号) 设平面A,BD的法向量为n=(x,y,z), 则n·A月0·所以任=0 E(o,70 n·AD=0 ly-z=0 c停. 令x=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1). 所以点D,到平面A,BD的距离 B=(-是0小=(0.-2受) d=AD·m=1_5 m3 3 =(停-0 因为平面ABD∥平面B,CD, 设平面AEG的法向量n=(x,y,), 所以平面ABD与平面B,CD,间的距离等于点D,到 平面ABD的距离，所以平面A,BD与平面B,CD间 …=-y+=0 则 的距高为号，故C对。 因为AP-8AB+AD+号AA 取x=3,得n=(5,3v5) 所以护-（保安·号） 点B到平面A,EG的距离d=EB:n=3 n 15 又AB=(1,0,0),则AP:AB3 =v5 AB 14.解析以A为坐标原，点 AB,AD,AA所在的直线 AP·AB 所以点P到AB的距离d,=|AP 分别为x轴，y轴，之轴建 立空间直角坐标系， AB 则平面ABCD的一个法 1819 ≥4416=6，故D错， 向量为m=(0,0,1),AC =(4,4.4). 答案BC 71 设平面a的法向量为n=(xy,1),国为平面ABCD与7.解析因为AB列=√3-0)+(2-1D=2,AC= 平面a成30°角，cos(m,n)|= 1 、x+y+12 √/(W5-0)+(2-3)=2,1BC1= 3 √/(0-0)+(1-3)=2，所以1AB=|AC1=|BC1.所 r= 可得产+y=名设 3cos 0, 以△ABC为等边三角形. 答案等边三角形 (y-3sin 0. 8.证明由两点间的距离公式得 AB1=√/(a+a)+(0-0)=2al, C到平面a的距离d= |AC·n=4x+4y+4 n /x+y+1 BC|=/(0-a)+(W5a-0)=2la. 21x+y+1=22m(什平）+v3≤22+3. CA=√/(0+a)+(w3a-0)=2la. ∴.|AB引=|BC=|CA|,故△ABC是等边三角形. 所以顶点C,到平面a的距离的最大值是2（十√瓦）. 9.证明如图所示，以B点为坐 答案2(5+2) 标原，点，取AC所在直线为 训练十三坐标法 x轴，建立平面直角坐标系 1.解析依题意知点C为AB的中点.2=8,2且3 Oy,设△ABD和△BCE的 2 边长分别为a和c, 6时中，解得a=6,b=0心a+b=6。 2 则A-a.0.cc,o.E(5,）D(-号） 答案A 由距离公式，得 2.解析设B(工，)，C(x),AB|=|x1-(-1)|= |x+1=6,x1=5或x,=-7, IAEI= 又Cx)为A.B中点x,=+(-D-1 (+a)+(-o) a +ac+c, 2 2 飞n=2或-4. CDI= √+)广+(- ）=√a+ac+c, 答案D ∴.lAEl=|CD. 3.解析因为点P(a,2).Q(-2,-3),M(1.1D,且1PQ 10.解析若点C在x轴上，设C(x,0),由∠ACB=90°， =|PM,所以√a-(-2)]+[2-(-3)] 得AB=AC+|BC, =@-1)+2-1,解得a=-号 .(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+3+(x-3)+1,解 得x=0或x=2. 答案C 若点C在y轴上，设C(0,y),由|ABF=|AC2+ 4.解析将直角三角形的直角项，点C与原点重合，设 1BC,可得y=0或y=4.所得点C共有3个. Ba,0A(0,b).那么D(受，台）P(任名)那么 答案C .b PA+PB666”T6=10,故选D 11.解析BD1=2BC=2.AD1=√G-3)+4-0 PCP =25,在Rt△ADB中，由勾股定理，得腰长|AB= 1616 √2+(25)2=2、6. 答案D 答案2v6 5.解析设第四个顶点为C,当点C的坐标为（一3,1）时， 12.解析如图所示，作A关于 |OC1=10,AB=√5,1AC=4,1OB=3.:1OC x轴的对称点A'(1,一1)， ≠|AB1,|AC≠OB1,.四边形ABOC不是平行四边 则|PA'1=PA. 形.A不正确：当C点坐标为(4,1)时，因为OA=BC= :.PAI+PBI=IPA'+ (1,1D,即OA∥BC且OA=BC,故OBCA是平行四边 IPB≥|A'B. 形，B正确：当C点坐标为（一2,1）时，因为OC=BA TABI= (-2,1),即OC∥BA且OC=BA.故OBAC是平行四 √(1-4)+(-1-3) 边形，C正确：当C点坐标为(2，一1)时，因为OC=AB 5,.|PA+|PB≥5.故|PA|+1PB|的最小值为5. =(2,一1)，即OC∥AB且OC=AB,故OCBA是平行 答案5 四边形，D正确：故选A. 13.解(1)由已知，|AB|=√(-1-1)+(3+1)= 答案A √20=25， 6,解析设点P的坐标为(xy,由PA=PC, IPA=PB. |AC=√(3-1)+(0+1)=5， 可得r-4)+y-3=(-5+6y-2. 1BC1=√(3+1)+(0-3)=w25=5. AB+ACI=BC. {(.x-4)+(y-3)=(x-1)+y2, ∴△ABC是以顶，点A为直角顶点的直角三角形 解得二3国此，点P的坐标为(3,1. (2)由角A为直角，得 y=1, 答案(3,1) Sm=21AB·1AC=2×25X5=5, 72