1.2.5 空间中的距离&专题1 建立空间直角坐标系的方法技巧-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

【随堂巩固促应用】 【互动探究解疑难】 探究一 L解析周为c0sm,m)= m·n2 mnV2·22z,所以m,nm [例1门[解](1)建立如图所示的空间直角坐标系， =60心，因为二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹 则A(1,0,0),F(1,1,0), 4 角相等或者互补，所以两平面所成的二面角为0或120， C(0,0,1), 答案C 周为CM=BN=&(0<a D 2.解析DB⊥BB,BC⊥BB,由二面角的平面角的定 2),且四边形ABCD,ABEF 义知，∠DBC就是二面角CBB,-D1的平面角，又 均为正方形， ∠BCD=90,所以tan∠DBC=PC-A-4. BCBC 3' 所以M。o1- D 所以=(o号。 a-1: 所以1MN=√a-√2a+1. (2)由(1)知MN= √(a-）+号0<a<. 1 答案D 所以言a=号时MN=号 3.解析设AC∩BD=O,连接OF,以O为原，点，OB,OC, 即M,N分别移动到AC,BF的中点时，MN的长最小， OF所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示空 问直角坐标系， 设PA=AD=AC=1, 是小维为竖 跟踪训练 则BD=3, 1,解析 因为AE=AB+BC+CE,AB=IBC1=ICE B(停.ooro.o）》 =1,且AB·BC=AB·CE=BC·CE=D, co.(-9.o） 所以AE=(AB+BC+CE)=3,即AE的长为5. 答案B 探究二 0=0o [例2]〔解]以B为原点，建立如图所示的空间直角坐 “OC为平面BDF的一个法向量， 标系， 则A(4,0,1),C,(0,3,1), 由-（号号0小F成=（停-） 所以A,C=(-4,3,0).设 可得平面BCF的一个法向量为n=(1w3,w3), E满足A,E=入AC,且 BE⊥AC: 则BE=BA,十A,E -2 (4,0,1)+1(-43,0)=(4 3 4,3,1D.又BE⊥A,C 答案D 4.解析因为SA⊥平面ABC,所以SA⊥AD.又AB (4-4,31(-43.0)=0A-号 AD,所以AD⊥平面SAB,同理BC⊥平面SAB,则三角 形SCD在平面SAB内的射影是三角形SAB,设所求 成=(-4x碧3×尝小 2X1X1 :酝=V()+(尝)+- 的二面角为0，所以c0s0 2 B到直线AG的矩高为号 答案 6 变式训练 3 1.解建系如本例解法AC,=(-4,3,1) 1.2.5空间中的距离 设M满足AM=AAC1且BM·AC,=0, 第1课时两点间的距离，点到直线的距离 【自主学习探新知】 则BM=BA+AM-(4,0,0)+a(-4,3,1)-(4-4,3a,A). 知识点一 又BM·AC=0.∴(4-4,3x,a)·(-4,3,1)=0. 线段长 知识点二 =3 8 垂线段长最短 知识点三 B-(-)-(得器) 垂线段长最短 知识点四 “=()+()+()-属 1.距离距离3.垂直公垂线公垂线公垂线段 公垂线段 B到AC的距高为得。 13 2.解以B为原点，分别以BA,过B垂直于BA的直线，BB :平面ACD∩平 为x轴y轴：轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而ABC=AC,OD D 则B(0,0,0),A(2,0,2) ⊥AC,OD'C平面 C(13,2).BA,=(2,0,2), ACD,∴.OD⊥平 而ABC. 所以AC的方向向量AC= 以O为坐标原点 (-1v3,0),而BC=(1w3,2), 直线OC.OB.OD 设E满足A,E=入A,C且BE 分别为x轴、y轴、 :抽建立如图所示 ⊥A,C 的空间直角坐标系Oxy. BE=BA,+A,E=(2,0,2)+A(-1, 在原菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°， 3,0)=(2-λ312). .0A=OC=3.O0B=OD'=1. 又BE⊥A,C.(2-A3λ.2)·(-1W3,0)=0, .A(-5,0,0).B(0.-1.0),C(3,0,0),D(0,0,1) 以-2+以=0以=号…正=（层厚2）小 则AB=(3,-1.0)CD=(-3,0,1). 酝=√()+()+= 设n=(y,,令n·A5=0·则3xy=0, n·CD=0,-3x+x=0. B到A,C,的距离为7. 令x=1,别y=V3,=3,∴.n=(15,3). 跟踪训练 2.解法一以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD,所在直 又：AD=(5,0,1),因此，AB与CD'间的距离 线为x抽y轴、？轴建立空间直角坐标系Dy以，如图. n·AD/ d= _23_2/21 令DA=2,则A(2,0,0),E(0,2, n 7 D 1),F(1.0,2),EF=(1,-2,1) [答案] 22I 设，点M满足FM=AEF且AM 7 ⊥EF,令M(x,y,z), 跟踪训练 .(x-1y-2)=1(1,-2,1). 3,解析如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， .x=λ十1，y=一2，g=λ十2， 则A(2,0,0),C(0,1,0), .M(a十1，-2a,A+2),.AM B(2,1,0),C(0.1,3),则 D =(1-1,-2λ，1十2). AC=(-2,1,0),BC :AM⊥EF, (-2.0,3). “.AM·EF=入-1+4以十X+2=0,解得X= 设AC和BC,的公垂线的方 6 向向量n=(x,y,z), A=(-名3号) 则n·AC=0, D aM=V(-)广+（告）+（得） -174 n·BC,=0, 6 ∴点A到EF的矩高为 为仁2 令x=3,则n=(3,6,2) 法二以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD.所在直 线为x轴、y轴、x轴建立空间直角坐标系Dx,如图. AB=(0,1,0),d= |AB·n6 设DA=2,则A(2,0,0), n 7 E(0,2,1),F(1,0,2),EF D 答案D 【随堂巩固促应用】 (1,-2,1),FA=(1,0,-2). .解析由题意得O°-号OA+O)=(2号3)P元 |EF1=√+(-2)+1 =√6，FA·EF=1×1+0X 6-0求-(-2.--3 (一2)+(-2)×1=-1， ∴FA在EF上的投影长度为 PC==V++9= 21 FA·EFI1 答案D 2.解析设B点坐标为(x,y,),则AB=a(A>0),即 EF 6 (x-2,y+1,-7)=A(8,9,-12),由AB|=34,即 “点A到直线EF的距离d= FA-(后 /64+81+144=34,得A=2,所以x=18,y=17, x=-17.即B(18,17,-17). 9=17西 答案A V 6 3.解析因为PA=(一2,0，一1)，又n与/垂直.所以点 探究三 C例3][解析]设AC∩BD=O,在菱形ABCD中，AC⊥ P的距离为PA:n_一2+1巨 BD,折起后，OD⊥AC,OB⊥AC, n 2 2 由于二面角D-AC-B为直二面角，即平面ACD⊥平 面ABC 答案 2 14 4.解析取AC的中点D,建主如图所 示的空间直角坐标系， 所以平面ACD的法向量n=(.1号），截B到华面 则A(0.-1,0),B,(W3,0,22), AB·n C(0,1,0),所以AB=(5,1,22) ACD的距离为d 25 CA=(0,-2.0). 11+1+2 CA·AB=一2∴CA在AB上的投 答案D 探究二 影的长度为 1·AB2所 [例2][解]如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC, 2/3 DD1所在直线为x轴、y轴，2轴建立空间直角坐标系 IAB Dryz. 则A(1,0,2),A(1,0,0) 以点C到直线AB的距离d= E(0,3,1),C(0,5,0). 过点C作AB的垂线交AB A 3 于点F,易得BF=√3， 答案y3丽 .B(1,23,0). 3 第2课时点到平面、直线到平而，平面到平面的距离 .AB=(0,25.0), 【互动探究解疑难】 BE=(-1,-5,1). 探究一 设平面ABE的法向量为n=(x,y,), [例1门[解]如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(2.0.0),E(0,2,1),F(1.0,2), 42 则 n·AB=0.|23y=0, 即 G(2,1.0) D n·BE=0,-x-√3y+x=0, ∴.EF=(1,-2,1), .y=0,x=,不妨取n=(1,0,1) EG=(2,-1,-1) AA=(0,0,2) 直线A,B.与平面ABE的距离 GA=(0.-1,0). 设n=(x,y,z)是平面EFG的一 AA·n2 d =2 个法向量， n 则n·EF=0, 跟踪训练 ∫x一2y+g=0, 2.解析，BC∥BC,且BC文平面A,BCD,BCC平 ln·EG=0, 2x-y-x=0: 而ABCD,.BC,∥平面ABCD. 六x=y二，可取n=(1l, 从而点B,到平面ABCD,的距离为所求距离， .d= GA·n_1=3 法一以D为坐标原点，DA. n53 DC,DD的方向分别为x轴 即点A到平面EFG的距高为3. y轴，：抽的正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系， 跟踪训练 则C(0.12,0),D(0.0.5), 1.解析以B为原，点，BC,BD, 设B(x,12,0),B(x,12,5)(x BA分别为r轴、y轴、：轴建立 >0)平面A,BCD,的法向量为n=(a,b,c),由n⊥ 空间直角坐标系，如图所示： BC,n⊥CD, 设BA=t,1>0,B(0,0,0). C(2.0.0),D(02.0)A(0.0,1. 得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-a.x=0, AB=(0,0,-t),CA= n·CD.=(a,b.c)·(0,-12,5)=-12h+5c=0, i.a=0,6-12. 5 (-2,01).CD=(-2W2,0). 设平面ACD的法向量n=(r, 令c=12,则b=5, y,2), .n=(0,5,12)为平面A,BCD的一个法向量. 则n·CA=-2x+t=0. 又BB=(0,0,一5)， n·CD=-√2.x+√2y=0, 1BB·n60 ◆=1，得y=1=故a=11.) ∴点B到平面ABCD,的距离为d= n 13 法二过，点B,作B,E⊥A,B于点E(图略). 因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为？， BC⊥平面AABB·且B,EC平而AABB, .BC⊥BE. 所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 又BC∩A,B=B,.B,E⊥平面ABCD. |AB·n 在R△ABB中，BEAB·BB12X560 √5+12131 1A·m“√+1+ 写，解得1=2. :直线BC到平面A,BCD的距高为铝 答案C 15 探究三 :2.解析以D为坐标原点，以 C例3][解析]如图所示，建立空间直角坐标系Dy, DA,DC,DD,所在直线分别 则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0, 为x轴、y轴、轴建立空间 0. 0,0),B(4,4,0),E(0,2,4), C 直角坐标系， F(2,4,4),N(4,2,4) 则有D(0.0,1),D(0,0,0). ∴.EF=(2,2,0).MN=(2.2,0). A(1,0,0),B(1,1,0),A(1, 0,1),C(0,1,1). AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4), 因为O是A,C的中点， ∴EF=MN,BF-AM, .∴.EF∥MN,BF∥AM. 所以0（侵是）小.C0 EF∩BF=F,MN∩AM=M ,.平面AMN∥平面EFBD. (分-号0Adi=(-1.0D.=01.0 设n=(x,y,)是平面AMN的一个法向量， 设平面ABCD的一个法向量为n=(x,y,￥)， n·AD=0 n·MN=2x+2=0,解得=2 则 则有 0即{1+=0，取n=1,0,1). n·AB=0 y=0, n·AM=-2x+4=0, y=-2x 取x=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点A到平面 0到平而ABCD的矩离为d-C0n_三_2 n 2 EFBD的距离， 答案B :AB=(0,4,0).平面AMN与平面EFBD间的距离 3.解析由于直钱与平面平行，故直线AB到平面a的距 d=In:ABI8 离可转化为点A到平面a的距离. 3 [答案]号 又CA=0,20),所以点A到平面a的距离为4=CA,m n 跟踪训练 =1-2 3.解以D为坐标原点，分别以 22 DA,DC,DD所在直线为x轴 y轴，轴，建立如图所示的空间 答案罗 直角坐标系Dxy2,则D(0,0,0), 4.解析设m=(x,y,)为平面ABC的一个法向量，由 A(1,0,1),B1,1,0) 1AB·m=0, 得 D,(0,0,1),A,B=(0,1,-1). AC·m=0, 仁6◆=1得m A,D=(-1,0,-1),A,D= (1,一3,2).又因为AD=(一2，-1,3)，所以点D到平面 (-1,0,0). 设平面ABD的法向量为n=(X,y,g), ABC的距商d=Ai,m-厘 2 1n·AB=0, 则 即/y-=0, 答案 4 2 n·A,D=0. 1-x-g=0 令x=1,得y=1,x=一1，n=(-1,1,1). 专题1 建立空间直角坐标系的方法技巧 题型一 [例1门[解析]如图建系，则A(0, .,点D到平面ABD的距离d= AD·n1E n33 0,22),C(2.2,22).B(2,0,0) ,平面A,BD与平面B,CD,间的距离等于点D到平 D(0,2,0) 面ABD的距离， BM=λBD..M(2-2A.2a,0), ∴平面A,BD与平面B,CD,间的距离为得 MA,+MC=、(2-2A)+(2a)+8 【随堂巩固促应用】 +√/(-21)+(21-2)+8 I.解析法一以D为原点，分别以DA,DC,DD所在 =2/4-8x+4+4+8=2√82-8+12， 直线为x轴、y轴，2轴建立空间直角坐标系，易知AC= 当X=号时，MA,十MC最小，此时Sane周长最小，此 (一2,2,0)为平面B,D,DB的一个法向量. 时M为BD中点，A对. 又DA=(2,00),所以AA到平面B,DDB的距离为 BD∥BD,则BD∥平面B,DC,M到平面B,D,C的距 DA·AC 离为定值，又Sane为定值，所以V-g为定值，B对. =√2】 AC AC,·A,M=(2,2,2√2)(2-2x,2x,-2√2)=-4≠0， 法二由题意可知，AA∥平面B,DDB,A,A到平面 .不存在点M使得AC,⊥AM,C错. B,D,DB的距离就是点A,到平面的距高.连接A,C, MA·MC=(2x-2,-2x,0)(2x,2-2a,2√2)= 交BD,于O,A,O即为所求.由题意可得A:O,= 8(λ-1)， IAC-B. cos∠AMC= 8A(A-1) 答案A V8级-以+48以-8a+12一2， 16 (以-1)=2-13 -1-√30 6 30 30 -1+⑧-2=0,4<0，无解，D错，故选AB 又异面直线所成的角为锐角或直角，所以异而直线EM 6 [答案]AB 与AF所成角的余孩值为3 30 题型二 [例2][解](1)证明设BE交AC于点F, [答案]30 30 因为PE⊥底面ABCD,ACC底面ABCD,所以PE 题型四 ⊥AC. [例4][解](1)证明如图所示，以O为坐标原点， 周为BC/AD,所以等器-能- OA,OB,OA所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间 直角坐标系 所以CF=是AC=VAB+BC-3.BF=子BE 设0A=1,OA,=a, 则A(1,0,0),B(0,1,0), 是AB+AE=原， A(0,0,4),C(-1,0,0), 所以BF十CF=BC,所以BE⊥AC D(0,-1,0),0,(-1.0,a 又PE∩BE=E.PE,BEC平面PBE,所以AC⊥平 则0C=(0,0,-a),.OC 面PBE. ∥g轴，又g轴和平面AB 又PBC平面PBE,所以AC⊥PB. CD垂直， (2)这F作FG∥PE,则FG⊥平面ABCD,可得FG .O,C⊥平面ABCD.又OCC平面O,DC,平面 BF,FG⊥FC, O,DC⊥平面ABCD. 以F为原点FB,FC,FG的方向分别为x轴，y轴、g物的正 21可知.0正-（合0，号），A=(-1,0a. 方向建立如图所示的堂间真角坐标系，则P(一号0,2)， AD=BC=(-1,-1.0). C(0.3,0),D(一3,2.0)， 设BF=YBC,则BF=(-Y,一Y,0),故点F的坐标为 所以P元-（停3.-2元=(61.0 （-1-0FE-(信+y-1,号) 设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,), EFAD:FE.AD-0.FE AD--+1 m·PC=0, 则 即3r+3y-2:=0. m·DC, =0.解得Y一合 W3x+y=0, 故当F为BC的三等分点（靠近B)时，有EF⊥AD. 取x=√5，则y=-3,=一4，所以m=(W3,一3，一4). 章未优化提升 又平而PBE的一个法向量为n=(0,1,0). 考点聚焦 设平而PBE与平而PCD所成锐二面角为日， 跟踪训练 照s-m日 m·n 1-3×11 3w7 L,解析连接BD,则M为BD的中点， √(W3)+(-3)+(-4)×1 14 MN=MB+BN=1 DB+ D 所以平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值 2 为 成-合(Di+A)+ A 子c+)=号-a+ A+2(a市+A -号++ 1 3 答案 2.解析设QA=OB=(OC=a, 题型三 例3][解析]由题设易知，AB,AD,AQ两两垂直.以 由于OA,OB.OC两两垂直， 以，点)为坐标原点，OA, A为原点，AB,AD,AQ所在直线分别为x轴、y轴， OB,(℃所在直线分别为x 轴，建主空间直角坐标系， 设正方形边长为2，则A(0,0.0).Q3 轴y轴、：轴建立空间直角 坐标系，如图所示： E1,0,0),M(0,1,2),F(2,1,0), 则00,0,0)，A(a,0,0) 0....... EM=(-1,1,2),AF=(2,1,0), B(0,a,0),C(0,0,a). cos(EM.AF)=- EM·AF 对于①，OA+OB+OC= EMI·|AF (d,a,a）, 17第一章空间向量与立体几何 1.2.5空间中的距离 第1课时 两点间的距离、点到直线的距离 [学习任务] 1.理解点到平面的距离的概，念。 2.能灵活运用向量方法求各种空间距离， 3.体会向量法在求空间距离中的作用. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一空间中两点之间的距离 B是平面a内一点，n是平面a的一个法向量， 空间中两点之间的距离指的是这两个点 |BA·n 连线的 ,可借助向量构造三角形利用 则点A到平面a的距离d= n 三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标 知识点四相互平行的直线与平面之间、相 系求解， 互平行的平面与平面之间的距离 知识点二点到直线的距离 1.直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的 给定空间中一条直线1及1外一点A,过 称为直线与平面之间的 A可以作直线！的一条 ,这条垂线段 2.平面与平面平行时，一个平面内任意一点到 的称为点A到直线（的距离，点到直线的 另一个平面的距离称为这两个平行平面之 距离也是这个点与直线上点的 连线 间的距离。 的长度 3.与两个平行平面同时 的直线，称为 知识点三点到平面的距离 这两个平面的 给定空间中一个平面a 夹在平行平面之间的部分，称为这 及a外一点A,过A可以作 两个平面的 平面a的一条 ,这 的长即为两个平行平面之间的 条垂线段的称为点A到平面α的距离.点 距离 到平面的距离也是这个点与平面内点的 4.直线与平面的距离和平面与平面之间的距 连线的长度.如图，A是平面a外一点， 离都可以归结成点到平面的距离。 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 空间两点间的距离 (1)求MN的长； [例1]如图，正方形ABCD, (2)a为何值时，MN的长最小？ ABEF的边长都是1，而且 D 平面ABCD,ABEF互相 垂直，点M在AC上移动， 点N在BF上移动，若CM=BN=a(O<a <√2). 29 高中数学·选择性必修第一册(RJB) 川规律方法川 川规律方法川 计算两点间的距离的两种方法 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)利用aF=a·a,通过向量运算求|a,如求A.B 法一：利用空何向量找要线段，再求模即可， 两点网的距离，一极用AB=√AB一 法二：(1)建立空间直角坐标系 (2)求直线的方向向量。 1AB·AB求解 (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在 直线的方向向量上的投影： (2)用坐标法求向量的模（或两点何距高），此法适用于 (4)利用匀股定理求点到直线的距离 求解的图形适宜建立空间直角坐标系时 另外，要注意平行直线可的距离与点到直线的距 跟踪训练 离之问的转化。 1.如图，在三棱锥A-BCD中，AB 跟踪训练 ⊥平面BCD,BC⊥CD,有AB 2.在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是 =BC=1,CD=2,点E为CD CC,D,A,的中点，求点A到直线EF的距离. 的中点，则AE的长为( A.2 B.3 C.2 D.5 探究二点到直线的距离 [例2]已知直三棱柱ABC-A1B,C1中，AA =1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°，求点B 到直线A,C,的距离. 探究三异面直线间的距离 [例3]在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°， 将菱形沿对角线AC折成直二面角D-AC-B, 折起后直线AB与CD间的距离为 口变式训练 川规律方法小 求异面直线间的距离的方法 1.本例的条件不变，试求B到AC,的距离. (1)利用几何法，找两条异面直线的公垂线，通过解三 角形求公垂线段长， (2)在两异面直线（与12上各取一点P,Q,n为与直 线(，山，都垂直的直线的方向向量，得到异面直线 4,与4问的距离d= PQ·n 2.若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC ☑跟踪训练 ABC1且所有棱长均为2”，如何求B到 3.(2022·天津高二期末)定义：两条异面直线 A,C的距离. 之间的距离是指其中一条直线上任意一点 到另一条直线距离的最小值.在长方体 ABCD-A,B,C,D1中，AB=1,BC=2,AA =3,则异面直线AC与BC1之间的距离是 A.5 c n.9 30 第一章空间向量与立体几何。 随堂巩固促应用 验证反债迁移运用 1.若O为坐标原点，OA=(1,1,-2),OB 3.已知直线1经过点A(2,3,1),且向量n (1,0,一1)所在直线与1垂直，则点P(4,3,2) (3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点 到（的距离为 P到点C的距离为 4.如图，在正三棱柱ABC- A.165 B.2/14 C./53 D.3 B 2 2 A1BC,中，若BB=√2AB 2.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的 =22,则点C到直线AB 方向取线段长|AB引=34，则B点坐标为 的距离为 A.(18,17,-17) B.(-14,-19,17) c(6, n.(-2,-号，13) 提示请完成《素能提升训练》训练十一 第2课时点到平面、直线到平面、平面到平面的距离 互动探究解疑难 要点归纳单难突玻 探究一点到平面的距离 的正切值为2，则点B到平面ACD的距 [例I]正方体ABCD-A,BCD,的棱长为 2,E,F,G分别是CC,D1A1,AB的中点， 离为 () 求点A到平面EFG的距离. A号 B./3 3 C⑤ 5 D.2/5 5 探究二 直线到平面的距离 [例2]在直棱柱ABCD-A,B,CD中，底面 为直角梯形，AB∥CD且∠ADC=90°， AD=1,CD=√3，BC=2,AA1=2,E是 川规律方法川 CC的中点，求直线A,B,与平面ABE的 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 距离。 (1)建立空问直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量 (3)找出该点与平面内一点挂线形成的斜线段对应的 向景， (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的地对值再除 以法向量的模，即为点到平面的距离 ☑跟踪训练 1.已知四面体ABCD中，AB,BC,BD两两垂 直，BC=BD=√2，AB与平面ACD所成角 31 》高中数学·选择性必修第一册(RJB) 川规律方法川 川规律方法川 (1)求直线到平而的距离可以转化为求直线上任意一 (1)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面 点到平面的距离，利用求点到平面的距高的方法求 的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可. 解即可· (2)求空间的各种距离的关键点是合理转化和准确的 计算， (2)选择直线上任意一点时一极选取相关线？的端点 或已知的共他的点。 口跟踪训练 3.已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1， 口跟踪训练 求平面ABD与平面B,CD间的距离. 2.如图，已知长方体ABCD AB,CD中，AA=5,ABA =12,则直线BC到平面 A,BCD的距离是() A.5 号 c磐 D.8 探究三 平面到平面的距离 [例3]正方体ABCD A,B,CD,的棱长为4，M, N,E,F分别为AD, AB,CD,BC的中点， 则平面AMN与平面EF BD的距离为 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1,正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为2，则 AA到平面B,DDB的距离为 A司 取号 c号 n. A.√2 B.2 3.已知直线AB∥平面a,平面a的法向量为 c D32 n=(1,0,1),平面a内一点C的坐标为 2 (0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2， 2.如图，正方体ABCD- D 1),则直线AB到平面a的距离为 ABCD的棱长为1， 4.已知空间四边形ABCD的四点坐标分别为 O是底面AB,CD的中 A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1 心，则O到平面ABCD 0,4),则点D到平面ABC的距离为 的距离是 ( 提宗请完成《素能提升训练训练十二 专题1建立空间直角坐标系的方法技巧 利用空间向量的方法解决立体几何问题， 间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题 关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他 的探求，建立空间直角坐标系的方法技巧如下： 向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空 32 第一章空间向量与立体几何。 题型一利用共顶点的相互垂直的三条棱 题型三利用面面垂直关系 例1门（多选）在长方体ABCD-AB,C,D [例3如图，四边形ABCD和ADPQ均为 中，AB=BC=2,AA1=2√2，M为线段BD 正方形，它们所在的平面互相垂直，M,E,F 上的动点，则 分别为PQ,AB,BC的中点，则异面直线 EM与AF所成角的余弦值是 A.当M为BD的中点时，△AMC的周长 最小 B.三棱锥D,MCB,的体积为定值 C.在线段BD上存在点M,使得AC ⊥AM 川规律方法川 D.在线段BD上有且仅有一个点M,使得 本题求解关健是利用面面季直美系，先证在两竿 ∠AMC1=1209 面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系， 川规律方法川 题型四利用几何体底面的中心与高所在的 本例以长方体为背菜，求异面直线所成角，显然可 直线垂直关系 以是从长方体中的共点的三条棱互相垂直关系处着 [例4]如图所示，已知平行六面体ABCD 手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关肉 量的坐标，再求两异面应线的方向向量的夹角即可. A,BC,D,的底面为正方形，O,O分别为 上、下底面的中心，且A在底面ABCD上 题型二利用线面垂直关系 的射影是O. [例2]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 (1)求证：平面ODC平面ABCD: ABCD为矩形，点E在棱AD上，且DE (2)若点E,F分别在棱AA,BC上，且AE 2AE,PE⊥底面ABCD,BC=2V3,AB= =2EA1,问：点F在何处时，EF⊥AD PE=2. (1)证明：AC⊥PB: (2)求平面PBE与平面PCD所成锐二面 角的余弦值。 川规律方法川 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的 点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各 川规律方法川 点的坐标，又由干坐标轴上的点的坐标含有0，也为后 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的 续的运算带来了方便， 两对角线便可建立空间直角坐标系。 33