训练十一 两点间的距离、点到直线的距离-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练十一两点间的距离、点到直线的距离 7.正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面边长 基础练/见固应周 为1，侧棱长为2，且MN是AB',BC的公 1.已知点A(x,0,2)和点B(2,3,4),且|AB 垂线，M在AB'上，N在BC'上，则线段 =√/22，则实数x的值是 ( MN的长度为 ) 8.已知四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD A.5或-1 B.5或1 为正方形，SD⊥平面ABCD,且SD=AD C.2或-6 D.-2或6 =1.求异面直线SB与AC间的距离. 2.从M(0,2,1)出发的光线，经平面xOy 反射后到达点N(2,0,2),则光线所行走 的路程为 ( ) A.3 B.4 C.√17 D.32 3.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则 点A到直线BC的距离为 () A. B.1 C.√2 D.22 4.如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A B C D,AB=1, D BC=2,AA1=3,则点B到直 9.设P为矩形ABCD 线AC的距离为 ( 所在平面外的一 B235 点，直线PA⊥平面 A号 7 ABCD,AB=3,BC p =4,PA=1.求点P c愿 D.1 到直线BD的距离. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD是边长为 4的正三角形，底面AB CD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD,M为平面 ABCD上的动点，且满足MP·MC=0,则 点M到直线AB的最远距离为 () A.2/5 B.3+√5 C.4+5 D.4+22 6.正方体ABCD-A,BC,D1中，棱长为a,则 直线AC,与B,C的距离为 21 高中数学·选择性必修第一册(RJB) 能力练了赶移掘周 创新练素能培优 10.在四棱柱ABCD-A1BCD1中，底面AB 14.如图，在四棱锥 CD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD.已 P-ABCD中，底面 知AB=1,AA1=√3，E为线段AB上一 ABCD为矩形，侧棱 个动点，则DE十CE的最小值为() PA⊥底面ABCD, A.2√2 B.√/10 AB=√3，BC=1,PA C.5+1 D.2+√2 =2,E为PD的中点. 11.正方体ABCD-A1BC1D (1)求异面直线AC与PB间的距离； 的棱长为1，动点M在线段 (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥ CC1上，动点P在平面 平面PAC,并求出N到AB和AP的 A1BC,D1上，且AP⊥平 距离. 面MBD.线段AP长度的取值范围为 () A.[1,√2] B.[1,W3] c[停w D[9 12.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点 A(-1,一1,2)，点B是xOy平面内的直 线x十y=1上的动点，则A,B两点间的 最短距离为 () A.√6 R C.3 号 13.已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为 a,点M是线段DC,上的动点，试求点 M到直线AD,距离的最小值. 22面BCD的法向量是m=(0,0,1).由图可知二面角 以B为坐标原，点，分别以BA,BC,BB所在直线为 m·n 1 轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，如图. ABD-C为锐角，设为6，则cos0 m·|n√5 所以B(0,0.0),A(2,0,0).C(0,2,0),B(0,0,2). 汽，即二西角ABD-C的徐弦值为 A,(2,0,2),C(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1). 设B,D=a. 答案唱 由题设D(a,0,2)(0≤a≤2). (1)证明因为BF=(0,2,1),DE=(1-a,1,-2), 13.解(1)证明如图所示， 取B,C,的中点F,连接 所以BF·DE=0×(1-a)+2×1+1X(-2)=0, DE,EF,FC,由于AB 所以BF⊥DE. CD-A,BC,D为正方体 (2)设平面DFE的法向量为m=(xy,), E,F为中点，故EF 因为EF=(-1,1,1),DE=(1-a,1,-2), ∥CD. D: 从而E,F,C,D四点共 一x十y十=0， 面，即平面CDE即平面 所以m·EF=0即 (1一a)x+y-2x=0. CDEF'. m·DE=0, 据此可得：直线B,C,交平面CDE于点F', 令=2-a,则m=(3,1十a,2-a. 当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F 因为平而BCCB,的法向量为BA=(2,0,0), 重合，即点F为BC中点. 设平面BCC,B,与平面DEF的二面角的平面角为O, (2)以点D为坐标原点， DA,DC,DD,方向分别 m·BA 则|cos01= 6 为x轴、y轴、g轴正方 |m·BA 2×√2a-2a+14 形，建立空间直角坐标系 3 Dxyz √2a-2a+14 不妨设正方体的棱长为2， -03c 当0=号时，2a-2a十4取最小值为号， 则M(2,2,2),C(0,2 此时c0s0取最大值为3=6 0),F(1,2,2),E(1,0,2) 27 3 12 从而MC=(-2,2-2a,-2).CF=(1,0,2).FE (0,-2.0) 所以(sin)n= √(T-时D= 设平面MF的法向量为m=(工y),则 训练十一两点间的距离、点到直线的距离 m·MC=-2x+(2-2x)y,-2:=0. m·CF=x,+21=0, 1.解析IAB=√/(x-2)十(0-3)+(2一4)= /(x一2)+13=√22，解得x=5或-1. 令=-1可得m=(2,-1: 答案A 设平而C下FE的法向量为n=(y),则 2.解析由对称性M(0,2,1)关于平面x)y的对称，点 n·FE=-2y=0, P(0,2,一1)，则光线所走过的路程为PN|= 令8，=一1可得n=(2,0,一1)， n·CF=x+22=0, /(0-2)+(2-0)+(-1-2)产=17，故选C. 答案C 从而m=5,m=15+(已)，=5， 3.解析A(0.0,2),B(1,0,2),C(0.2,0), m·n 则cos(m,n》 5 .AB=(1,0,0),BC=(-1,2.-2) m×|n 3 V5+()x后 点A到直线BC的距离为： d=|AB·V-axAB.B0y=AB· 整理可得以-1)=}故X=2(=是合去)小 14.解因为三棱柱ABC AB·BC A,B,C,是直三枚柱， 1 AB·BC 所以BB,⊥底面ABC,所以 答案A BB⊥AB. 4.解析过点B作BE垂直A,C,垂足为E,设，点E的坐 因为AB∥AB,BF⊥ 标为(xy,z),则A(0,0,3),B(1,0.0),C(1,2,0),AC A,B,所以BF⊥AB. 义BB∩BF=B,所以AB =(1.2,-3),AE=(x,y,-3),BE=(x-1y,). ⊥平面BCCB. AE∥A,C, 所以BA,BC,BB,两两 因为 所以片=- 垂直. BE.A.C=0 x-1+2y-3z=0, 67 在AC上取点A,在SB上取点B,AB=(0,1,0) 所以异面直线SB与AC间的距离为 AB·n6 n 6 =7 9.解因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB, 所以BP=√PA+AB=√1干9=10. 所以点B到直线A,C的距离B正=2Y丽 7 因为四边形ABCD为矩形，所以∠BAD=90°，AD=BC 答案B =4,所以BD=√AB+AD=3+4=5 5.解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平 因为BP·BD1=|(BA+AP)·(BC+BA)1=1AB 面ABCD的垂线为：轴，建立空间直角坐标系， 则P(2,0,23),C(0,4.0). =9,BD=5,所以BP在BD上的射影长为号 设M(a,b,0)(0a≤4,0≤b≤4) 又|BP|=Vo, ∴MP=(2-a,-b,23) C=(-a,4-b,0. 所以点P到直线BD的距离d=10-(号)-昌 10.解析建立如图所示的空间直角坐标系Axye, .MP.MC=0. .MP.MC=-2a+a-4b+6=0, 整理得(a-1)'+(b-2)-5. C ∴M为底面ABCD内以O(1,2)为圈心，以r=5为半 径的圆上的一个动点， 则，点M到直线AB的最远距离为4一1十5=3十5. 答案B 6.解析建立空间坐标系D(0,0.0),A(a,0.0),C(0,a,a), E B(a,a,a).C(0,a,0). 设AC,BC公垂线的向量m=ADA+DC+DD, 则A(0,0,0),D(0,1,W3),C(1,1,0).,E为线段AB n·AC,=0得X=-1=-2 上一个动点，.设E(1,0.0)(0≤1)， n·B,C=0, 则D,E-√？+1+3=√？+4，CE-√(t-1)+1, 故问题转化为求DE十CE .n=(-a,-2aa).AB,=(0,aa), =、十4+1-1)+1 .d= n…ABl&2=6 的最小值问题，即转化为求 N1,1) n 平面直角坐标系O:中的 PU.OY 答案6 一个动，点P(1,0)到两定点 M(0,一2)，N(1,1)的距离 0 7.解析以D为原点，建立空间直角坐标系Dxy空（图 之和的最小值的问题，如图 略)，则A(1,0,0),B(1,1,2),B(1,1.0),C(0,1,2), 所示， AB=(0.1,2).BC=(-1.0,2).AB=0,1.0. 由此可知，当M,P,N三点 共线时，(D,E+CE)m M0,-2) 设异面直线AB,BC的公共法向量n=(x,y,),则 [+4+√4-1)+1] n·AB=y+2x=0 n·BC=-x十2x=0 。取x=2,得n=(2,一2,1) =|MN|=√1+9=√10，故选B. 答案B ∴线段MN的长度d= -号故答案为号 11.解析以DA,DC,DD,分别为x轴、y轴、z轴建立空 n 间直角坐标系，设CM=1,0≤1≤1，别A(1,0,0), 答案号 B1,1,0),M(0,1,t),D(0,0,1),P(x,y,1). AP=(x-1,y,1),BD,=(-1,-1,1), 8.解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 标系Dryx, BM=(-1,0,1),1∈[0,1] A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1), 由AP⊥平面MBD,则 B(1,1,0),从而AC=(-1,1,0), BM·AP=0且BD,·AP sB=(1,1.-1). =0,所以1一x十1=0且1一 x一y+1=0得x=1+1,y 设向量n=(,y,)满足 ‘即厂x+y=0, 1-1.所以|AP|= 1n·AC=0, n·sB=0,lx+y-=0. √/(x-1)+y+1 所以可取n=(1,1,2). 68 =V(-)+, 即a=(,-号) 当1=号时.号当1=0我1=1时， 设异面直线AC,PB之间的距离为d,则 AP·n ,所以<证1≤2 d= _2/57 n V1+3+ 19 答案D (2)设在侧面PAB内存在一点N(a,0,c),使NE⊥平 12.解析点B在平面xOy内的直线x十y=1上，故设点 面PAC, B(a,1-a.0),.AB=(a+1,2-a,-2). 由a)知E(o,2l…NE=(-a,2l-c ∴.1AB2=(a+1)°+(2-a)2+(-2)=2a-2a+9 =2a-）+号>号i= NE.AP=21-G)=0, 2 答案B NE.AC--/5a+-0 13解如图，以D为原点，DA, DC,DD,所在直线分别为r轴、A y轴，￥物建立空间直角坐标系 年。-号N悟a小 c=1, .A(a,0,0,D(0,0,a). 设M(0,m,m)(0≤m≤a), :N到AB的距离为1，N到AP的距离为得 .AD,=(-4,0,a), 训练十二点到平面、直线到平面、平面到平面的距离 MA=(a,-m,一m). :MA·AD,=一a-am,.MA在AD,上的投影的长 1.解析PA=(x+2,2,-4),而d=PA:n_10 3 度为 MA.AD.la+am(a+m), 两22》-号解得-1我- √+4+ IAD,I Va Fa 2 答案C ∴点M到直线AD,的距离为 2.解析因为A(一1,2,1).P(1,2,-2),所以PA=(-2, 0,3).因为平面a的法向量为n=(2,0,1),所以点P到 d=MAI [a+ /a+2m2-1 (a+m) 3 手面a的距离d一PAn”二十到-气，敌选A. n √m-am+2a 答案A 根式内的二次函数当m=一 3 2× 号时取最小值 3.解析在四棱维P-ABCD中，AB=(4,一2,3)，AD (-4.1.0),AP=(-3,1.-4). ()广-x号+= 设平面ABCD的法向量为n=(x,yz), 故山的藏小值为号。 则 A5n=0可得-2+3=0 AD·n=0, -4x+y=0, 所以点M到直线AD,距离的最小值为。 不妨令x=3,则y=12,之=4， 3 14,解(1)由题意得AB⊥AD, 可得n=(3,12,4).AP=(-3,1,-4)在平面ABCD上 PA⊥AD,PA⊥AB.以A为原 的射影就是这个四棱锥的高， 点，AB所在直线为x轴，AD -9+12-161=1. 所在直线为y轴，AP所在直 h=IAPIIcOS(AP.m=AP: 13 线为：轴，建立空间真角坐标 答案A 系，如图， 》 4,解析由直棱柱的性质，知直线A,B到平面ABO的 则A(0,0,0),C(√3,1.0). 距离为棱柱的高，不妨设为1(t>0). P(0,0,2),B(3,0.0) 以OA,OB,O所在的直线分别 为x轴、y轴、之轴，建立如图所示 AC=(/5,1,0),PB=(3,0,-2),AP=(00,2). 的空间直角坐标系，则O(0,0, D 设异面直线AC,PB的公垂线的方向向量为 0),A(2,0,0),B(0.6,0),A(2, n=(x,y,z),则n⊥AC,nLPB, 0.t),B(0,6,1), n·AC-3x+y=0, 则D(1,3,t),所以AB=(一2,6， n·PB=√5x-2x=0, -t).0D=(1.3,), 令x=1,则y=一尽=号 所以A,B·OD=-2+18-t产=0. 所以t=4. 答案C 69