训练十 二面角-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练十二面角 基储练/现固应用 底面ABCD,则下列结论正确的是() A.PA⊥BD 1.(2022·浙江高二期末)如图，三棱台ABC- ABC的下底面是正三角形，AB⊥BB, B,PB与平面ABCD所成的角为 B,C⊥BB,则二面角A-BB,C的大小是 C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为 ( ) 25 5 D.二面角A-PB-C的余弦值为2， 7 6.《九章算术》是我国古代数 学名著，它在几何学中的研 究比西方早一千多年，书中 A.30°B.45° D.90° 将四个面均为直角三角形 C.60° 的四面体称为鳖儒.如图， 2.过正方体ABCD-A,B,CD,的顶点A作平 四面体P-ABC为鳖蠕，PA⊥平面ABC, 面a,使正方形ABCD,正方形ABB,A,,正 方形ADDA,所在平面与平面a所成锐二 AB⊥BC,且PA=AB=1,BC=2,则二 面角相等，则这样的平面α可以作() 面角A-PC-B的正弦值为 A.1个B.2个C.3个 D.4个 7.如图，在正方体ABCD 3.(2022·天津高二期 中，棱长为1，过AB作 末)如图，正方体AB 平面a交棱CC1,DD CD-A1B,CD,的棱长 分别于E,F,若平面a 为1，E,F分别为棱 与底面ABCD所成的角 AD,BC的中点，则平 为30°，则截面ABEF的面积为 面C,D,EF与底面ABCD所成的二面角 8.已知直四棱柱ABCD 的余弦值为 ( -A,B,CD的所有棱 B号 C26 长均为2，且∠ABC 5 =60. 4.如图，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC (1)求证：CD∥平 的面积与正四棱锥的侧面 面AB,C: (2)求二面角B,-AC-D1的余弦值. 面积之和的比为√6：8，则 侧面与底面所成的二面角 为 A造 B. c D. 5.(多选)在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为平行四边 形，∠DAB=5,AB=2AD=2PD,PDL 19 ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) 9.如图，四棱锥P-ABCD的 13.已知正方体ABCD-A,B,CD,点E为AD 底面是矩形，PD⊥底面 中点，直线BC交平面CDE于点F. ABCD,PD=DC=1,M 为BC的中点，且PB ⊥AM. (1)求BC; (2)求二面角A-PM-B的正弦值. (1)证明：点F为B,C中点； (2)若点M为棱A,B,上一点，且二面角 MCFE筒余弦值为号求会的直 能力练了进移运用 10.E,F是正三角形ABC的边AB,AC的中 点，沿EF把正三角形折成60°的二面角 (如图)，则∠ABC的正切值为() 创新练了索能培优 F 14.已知直三棱柱ABC- A,BC中，侧面AABB 为正方形，AB=BC=2, E,F分别为AC和CC A号 的中点，D为棱AB,上 的点，BF⊥AB. C.23 (1)证明：BF⊥DE: D.以上答案均不对 3 (2)当B,D为何值时，平面BBCC与平 11.(多选)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C 面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 中，AB⊥BC,AB=2,BC=4,BB,=5,D 是A,C的中点，点E在棱AA1上且靠 近A,当CE⊥BE时，则 A.BE=2/2 9 B.DE=√6 C.SAACE =3/5 D.二面角A,-B,ED的余 弦值为织 12.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则 二面角A-BDC的余弦值为 20训练十二面角 PB=(0,5,-1) 1.解析三枚台ABC-A,B,C,中，B,C,∥BC,且B,C⊥ PC=(-1,W3.-1) BB,则BC⊥BB.又AB⊥BB,且AB∩BC=B,所以 设平而APB的一个法向 BB⊥平面ABC,所以∠ABC为A-BB,C的二而角. 量m=(工y): 因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=60°. 由 答案C 2.解析在正方体ABCD-A,B,CD,中，三棱锥AA,BD是 m·PA=x1-21=0, 正三枚维，则平面ABD,平面ABA,平面ADA,与平面 m·PB=3y-￥=0， A,BD所成锐二面角相等：过顶，点A作平面a与平面 令x1=5,则x1=√5，y1=1,所以m=(W5,1w3) A,BD平行，则平面ABD,平面ABA,平面ADA与平面 设平面CPB的一个法向量n=(x,y之，)， a所成锐二面角相等；同理，过顶，点A作平面α与平面 CBD,平面DAC,平面BAC平行，则正方形ACD,正 由n·PC4+5g=0所以5=0，令5= n·PB=3y-=0, 方形ABBA,正方形ADD,A所在平面与平面a所成锐 3,y,=1,所以n=(0,1,3), 二面角相等，所以这样的平面a可以作4个. m·n 1+√3×3 答案D 所以Cos(m,n》 3.解析在正方体ABCD-A,BCD中，AB⊥平而BBCC, m×n|√3+1+3×√1+3 E,F分别为棱AD,BC的中点，所以EF∥AB,所以EF 427 277 ⊥平面B,BCC,所以EF⊥FC,EF⊥FC,所以∠CFC就 由图知二而角A-PBC的平而角为钝角， 是平面CDEF与底面ABCD所成的二面角的平面角，Os FC FC 所以二面角APB-C的余孩值为-2，故选项D不正 7 √FC+(2FC) 51 确，故选AC 答案B 答案AC 4.解析设正四棱雏的底面边长为(，侧面与底面所成的 6,解析依据题意建立如图所示的空间直角坐标系： A(00,0),B(1,0,0),P(0,0,1), 4 二面角为0，高为h,斜高为h', C(1,w2,0),设平面APC的法向量为 即之2ah6心：-号·m连 号，即0= n1=（x1). 8“7 m·AC=03=0 答案D n,·AP=0,x十2y,=0, 5.解析设PD=AD=1,则AB=2,对于选项A:在 不妨设y=1,则无，=一反， △ABD中，由余弦定理可得： n1=(-2,1.0). BD=AD+AB-2ADXABXcos/DAB=1+4-2X1X 设平面PBC的法向量为n-(x·y3), 2X号-3所以BD-5. m,·BC=0.:2y=0,不妨设=1，则名=1y 所以AB=AD十BD,所以BD⊥AD.因为PDL底面 n2·PB=0,x-2=0, ABCD,BDC面ABCD, =0,n=(1,0,1). 所以BD⊥PD.因为PD∩AD=D,所以BD⊥面PAD 设二面角APC-B的平面角为a,则cosa= 因为PAC面PAD,所以PA⊥BD,故选项A正确； cos(m n= 对于选项B:因为PD⊥底面ABCD,所以∠PBD即为 后停ag PB与平面ABCD所成的角， 答案 3 在△PD,m∠PBD=品-言-停所以 7,解析截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD, .c0s30 ∠PBD=音，故选项B不正确： Sa电非相E 2 Sa支书F 对于选项C:因为ABCD为平行四边形，所以CD∥AB, 答案 23 所以∠PCD为异面直线AB与PC所成角。 8.解(1)证明由直四棱柱， 在R△PCD中，PD=1.CD=2,所以PC=、T+2=√5， 得CD∥AB,,CD平面 ABC,ABC平面ABC, 所以∠PCD是是-共选须C医 ∴.CD∥平面ABC. (2)取AC中点O,连接OB, 对于选项D:如图建立空间直角坐标系：则A(1,0,0), OD P(0,0,1),B(0,3,0),C(-13,0), 则OB⊥AC,OD,⊥AC 可得PA=(1.0,-1), 又OB∩OD1=O. 65 .AC⊥平面OBD, 由二面角定义，∠B,OD,即为二面角B,-AC-D,的平面 的边长为2，期AM=AN=号M= 2a,所以 角。 3 tan∠ABC= AM 2 BM 答案B 11.解析依题意可知BA⊥BC,BB,⊥BA,BB,⊥BC,以 B为原点，BA,BC,BB,分别为x轴、y轴，z轴建立如 图所示的空间直角坐标系： 由BD,=23.OB,=OD,=7,即cos∠BOD.= 设AE=,< OB+OD-BD B(0,0,0),B(0,0,5) 2OB,·OD, 7 C(0,4,0),A(2,0,0), 9.解(1)，PDL平面ABCD,四边形ABCD为矩形，不 E(2,0,1),A(2,0,5), 坊以，点D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为 C(0,4,5),D(1,2,5) 工轴、y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxy 所以CE=(2,-4,1), 设BC=2a,则D(0.0,0),P(0.0. BE=(2,0,t-5). 1),B(2a,1,0),.M(a,1.0),A(2a,0. 0). 因为CE1B,E,所以CE.BE =2×2-4×0+1(1-5)=0,即1-51+4=0， 则PB=(2a,1,-1). 解得t=4或t=1(会)， AM=(-a,1,0). 所以E(2,0,4),DE=√(1-2)+(2-0)+(5-4) PB⊥AM,∴PB·AM=-2a =√6，故B正确： 十1=0，解释。-号 BE=、(2-0)+(0-0)+(4-0)=25,故A错误： 因为AC=√/AB十BC=、2+=25, 故BC=2a=2. (2)设平面PAM的法向量为m=(x1y,·) 所以5m=号ACXAE=专X25X4=4v5,故C错 则a=(-号.10）A=(-20. 误：取平面A,BE的一个法向量为B,C,=(0,4,0), 设平面DBE的法向量为n=(x,y,),BD=(1,2, 由 m·AM=-E 2x,+y=0. 0),DE=(1,-2,-1). m·AP=-2x,+=0, 由55n=0脚任十2y0: 取x=2,可得m=(2,1,2). DE·n=0, r-2y-=0, 设平面PBM的法向量为n=(x4,y4名)， 取y=1,则x=一2，=一4，所以n=(-2,1,-4) Bi=(要0.0小B=(-,-1 显然二面角A,B,ED为锐角， B,C·nl 由 n·BM=-2 =0, 所以二面角A,B,ED的余弦值为 BClnl n·BP=-2x:-y十：=0， 4 21 21 ,故D正确 取y=1,可得n=(0,1,1), 4×/4+1+16 m·n 答案BD 33/14 Cos(m,n |m·n7x214' 12.解析由于正△ABC与正 △BCD所在平面垂直，设O是 所以，sin(m,n)=√1-eos《m,n)= 70 BC的中点，根据面面垂直的 14 性质定理可知AO⊥平面 因光，二面角APMB的正孩值为 BCD,DOL平面ABC,所以 14· OA,OC,OD两两垂直.以O为 10.解析如图所示，取BC的中点 原，点建立如图所示空间直角坐 M,连接A'M,交EF于，点N,连 标系，设两个正三角形的边长 接AN,AM,AB,AC.因为三商 为2，则A(0,0,3),B=(0, 形ABC为正三角形，则A'M⊥ -1,0),D(3,0.0).所以AB=(0,-1,-3),AD BC,文，点E,F是三角形ABC的边AB,AC的中，点，则 MN⊥EF,A'N⊥EF,所以AN⊥EF,可证得EF⊥平 (3,0,一3).设平而ABD的法向量为n=(x,y ）,则 面AMN,则EF⊥AM,所以AM⊥BC.所以二面角 AEF-B的平面角为∠ANM=60°，而A'V=MN= AN,所以△AMN为等边三角形.设等边三角形AB(C n…AB=-y-3=0故可取n=(L,-5,1D.平 n·AD=5x-3:=0, 66 面BCD的法向量是m=(0,0,1).由图可知二面角 以B为坐标原，点，分别以BA,BC,BB所在直线为 m·n 1 轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，如图. ABD-C为锐角，设为6，则cos0 m·|n√5 所以B(0,0.0),A(2,0,0).C(0,2,0),B(0,0,2). 汽，即二西角ABD-C的徐弦值为 A,(2,0,2),C(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1). 设B,D=a. 答案唱 由题设D(a,0,2)(0≤a≤2). (1)证明因为BF=(0,2,1),DE=(1-a,1,-2), 13.解(1)证明如图所示， 取B,C,的中点F,连接 所以BF·DE=0×(1-a)+2×1+1X(-2)=0, DE,EF,FC,由于AB 所以BF⊥DE. CD-A,BC,D为正方体 (2)设平面DFE的法向量为m=(xy,), E,F为中点，故EF 因为EF=(-1,1,1),DE=(1-a,1,-2), ∥CD. D: 从而E,F,C,D四点共 一x十y十=0， 面，即平面CDE即平面 所以m·EF=0即 (1一a)x+y-2x=0. CDEF'. m·DE=0, 据此可得：直线B,C,交平面CDE于点F', 令=2-a,则m=(3,1十a,2-a. 当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F 因为平而BCCB,的法向量为BA=(2,0,0), 重合，即点F为BC中点. 设平面BCC,B,与平面DEF的二面角的平面角为O, (2)以点D为坐标原点， DA,DC,DD,方向分别 m·BA 则|cos01= 6 为x轴、y轴、g轴正方 |m·BA 2×√2a-2a+14 形，建立空间直角坐标系 3 Dxyz √2a-2a+14 不妨设正方体的棱长为2， -03c 当0=号时，2a-2a十4取最小值为号， 则M(2,2,2),C(0,2 此时c0s0取最大值为3=6 0),F(1,2,2),E(1,0,2) 27 3 12 从而MC=(-2,2-2a,-2).CF=(1,0,2).FE (0,-2.0) 所以(sin)n= √(T-时D= 设平面MF的法向量为m=(工y),则 训练十一两点间的距离、点到直线的距离 m·MC=-2x+(2-2x)y,-2:=0. m·CF=x,+21=0, 1.解析IAB=√/(x-2)十(0-3)+(2一4)= /(x一2)+13=√22，解得x=5或-1. 令=-1可得m=(2,-1: 答案A 设平而C下FE的法向量为n=(y),则 2.解析由对称性M(0,2,1)关于平面x)y的对称，点 n·FE=-2y=0, P(0,2,一1)，则光线所走过的路程为PN|= 令8，=一1可得n=(2,0,一1)， n·CF=x+22=0, /(0-2)+(2-0)+(-1-2)产=17，故选C. 答案C 从而m=5,m=15+(已)，=5， 3.解析A(0.0,2),B(1,0,2),C(0.2,0), m·n 则cos(m,n》 5 .AB=(1,0,0),BC=(-1,2.-2) m×|n 3 V5+()x后 点A到直线BC的距离为： d=|AB·V-axAB.B0y=AB· 整理可得以-1)=}故X=2(=是合去)小 14.解因为三棱柱ABC AB·BC A,B,C,是直三枚柱， 1 AB·BC 所以BB,⊥底面ABC,所以 答案A BB⊥AB. 4.解析过点B作BE垂直A,C,垂足为E,设，点E的坐 因为AB∥AB,BF⊥ 标为(xy,z),则A(0,0,3),B(1,0.0),C(1,2,0),AC A,B,所以BF⊥AB. 义BB∩BF=B,所以AB =(1.2,-3),AE=(x,y,-3),BE=(x-1y,). ⊥平面BCCB. AE∥A,C, 所以BA,BC,BB,两两 因为 所以片=- 垂直. BE.A.C=0 x-1+2y-3z=0, 67