1.2.4 二面角（教学课件）——2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

这是一份高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册“二面角”的同步教学课件，包含学习目标、概念解析、求角方法、例题及课堂练习等内容，以二面角的概念、平面角定义为基础，通过定义法、三垂线定理、向量法构建学习支架，帮助学生掌握二面角的求解。 资料注重核心素养培养，以大坝、屋顶等生活实例导入体现数学眼光，结合黄赤交角跨学科联系，通过例1定义法、例3向量法等多样化例题培养逻辑推理，课堂练习融入“鳖臑”等古代数学元素激发兴趣，能帮助高二学生强化空间想象与逻辑推理能力，为高考立体几何学习奠基，同时为教师提供系统的同步教学资源支持。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.2.4 二面角 第一章 空间向量与立体几何 1 学习目标 理解二面角及其平面角的概念，体现数学抽象能力（重点） 掌握作二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小，会用二面角解决实际问题，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象．例如，如图(1)所示，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图(2)所示，很多屋顶都是二面角的形象. 你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？ 3 新课学习 二面角的概念 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱， 这两个半平面称为二面角的面． l   二面角的棱 二面角的面 4 新课学习 二面角的表示方法 二面角－AB－   l 二面角－ l－  二面角C－AB－ D A B C D A B   5 新课学习 二面角的平面角的概念 如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 6 新课学习 二面角的角的大小 二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于 180°. 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中 ， 不小于0°且不大于90°的角的大小．这样约定后， 一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的． 7 新课学习 在地理学科中所学过的黄赤交角，指的就是黄道平面(即地球公转的轨道所在平面)与赤道平面之间的夹角，它的大小为23°26'，如图所示. 8 新课学习 例1：如图所示，已知二面角α−l−β的棱上有A，B两个点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AB=6，AC=3，BD=4，CD=7，求二面角α−l−β的大小. 如图所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE=BD，连接CE，ED. 因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α−l−β的一个平面角，且AB⊥ 平面AEC，所以ED⊥平面AEC，从而 在△AEC中，由余弦定理可知 E 9 新课学习 拓展：定义法求二面角的一般步骤： 1.作(找)出二平面的平面角； 2.写出(或证明)作(找)出平面角的过程； 3.计算：利用解三角形知识求解； 4.结论：根据题意给出结果. 10 新课学习 尝试与发现：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点. (1)判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件； 因为S′是S在平面β内的射影，所以S′O是SO在平面β内的射影. 根据三垂线定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S'O⊥AB的充要条件. 11 新课学习 尝试与发现：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点. (2)结合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？ 当二面角α-AB-β是一个锐角时，得到作出它的平面角的另一种方法： ①过其中一个半平面内一点S，作另一个半平面的垂线段SS'； ②过S(或S')作棱的垂线SO(或S'O)； ③连接S'O(或SO)即可. 如果二面角α-AB-β的大小为θ，在△SOS′中，则可以看出△S′AB与△SAB在AB边上的高之比为cos θ，因此这两个三角形的面积之比也为cos θ. 12 新课学习 例2： 如图所示三棱锥S−ABC中，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC= ，AB= BC=2，且AB⊥BC，求二面角S−AB−C的大小. 设O，E分别为AC，AB的中点，连接SO，OE，SE，如图所示. 因为SA=SC，所以SO⊥AC，又因为平面SAC⊥平面ABC，所以SO⊥平面ABC， 因此SE在平面ABC内的射影为OE. 又因为OE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥OE，从而由三垂线定理可知AB⊥SE，因此∠SEO为二面角S−AB−C的一个平面角. 由AB=BC=2 且AB⊥BC可知 而且EO= BC=1，从而可知∠SEO=45∘，即所求二面角大小为45∘. 13 新课学习 尝试与发现：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论与〈n1，n2〉的关系 如图所示，可以看出 θ＝〈n1，n2〉或 θ=π－〈n1，n2〉， 特别地， sin θ＝sin〈n1，n2〉． 14 新课学习 例3：如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90∘，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 依题意，AD，AB，AS两两互相垂直. 以 A为原点， 的方向分别为x轴、 y轴、 z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.则 A(0,0,0)，S(0,0,3)，C(3,3,0)，D(1,0,0)， 15 新课学习 例3：如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90∘，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 令x=3，可得y=−2，z=1，此时n=(3,−2,1). 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则 16 新课学习 例4：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，AA1 =2，且D是AA1的中点. 求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. 依题意，CA，CB，CC1两两互相垂直. 以C为原点， 的方向分别为x轴、 y轴、 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)， 设平面BDC的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则 17 新课学习 例4：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，AA1 =2，且D是AA1的中点. 求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. 令z1=1，则得x1=−1，y1=0，此时n=(−1,0,1). 设平面BDC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，则 令z2=1，则得x2=1，y2=2，此时m=(1,2,1). 因为n⋅m=(-1)×1+0×2+1×1=0， 所以<n，m>=90∘，从而可知平面BDC与平面BDC1所成角的大小为90∘，也就是说，这两个平面是互相垂直的. 18 课堂练习 C 19 课堂练习 20 课堂练习 D 21 课堂练习 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 D 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂总结 1.二面角的概念 2.二面角的平面角的概念 3.求二面角的步骤 29 谢 谢 观 看 30 因此 .即所求二面角的大小为 . ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又因为 ， ， 显然， 是平面SAB的一个法向量. ， ， 所以 ， ， . 所以可知所求角的正弦值为 . 因为 ， ， ， 所以 , , , . 1.我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在 中， ， ，CD是AB边上的高，将 沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥 恰好是一个“鳖臑”，则二面角 的余弦值为( ) A. B. C. D. 2.如图，在三棱锥 中， ， ，且 为△ABC中 边上的高．给出以下结论： ① ； ② 等于直线 与平面 所成的角； ③ 是二面角 的平面角． 其中，所有正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：对于①，因为 ， ， 平面 ， ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，①正确； 对于②，因为 平面 ，所以 等于直线 与平面 所成的角，②正确； 对于③，因为 ， ， 平面 ， ，所以 平面 ，由二面角的定义可知， 是二面角 的平面角，③正确． 3.已知正三棱台 的高为 ，则二面角 的大小为( ) A. B. C. D. 解析：设下底面 的中心为O，上底面 的中心为 ，以O为原点，以 为x轴， 为z轴，过O作 ，建立空间直角坐标系，由正三棱台 的高为 ，所以 ， ，所以 ， ，同理 ， ，所以 ， ，所以 ，设平面 的法向量为 ，所以 ，令 ，得 ，显然 为平面 的一个法向量，所以 ，所以 ，所以二面角 的大小为 . 4.在正方体 中，则二面角 的余弦值为( ) A. B. C. D. 解析：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示，则 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，因为 ， ，所以 ，即 ，取 ，则 ， ，故 . 平面 ，故平面 的一个法向量为 ，设二面角 为 ，则 ，因为 为锐角，所以 ，故二面角 的余弦值为 .故选：D. 5.如图，二面角 的棱上有两个点 ，线段 与 分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱l.若二面角 的平面角为 ，且 ， ， ，则 的长度为( ). A. B. C. D. 解析：由条件知 ， ， ，又二面角 的平面角为 ，则 ，所以 ，所以 .故选：C $