训练九 直线与平面的夹角-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练九 直线与平面的夹角 基碑练 /固应围 8.如图,在三梭锥 PABC中,PA1平 1.已知向量m,n分别是直线/与平面a的方 面ABC,AB 1BC 向向量、法向量,若cos(m,n)=-3 (1)求证:平面PAB 2,则 1平面PBC; I与g所成的角为 ( (2)若PA=AC= A.30* B.60* C.150* D. 120。 2AB,D是PC的中点,求直线AD与平 2.已知平面a的一个法向量为n一(1,一1,0),则 面PBC所成角的正弦值 x轴与平面a所成角的大小为 C ) #A B.} C. D. 3.在正方体ABCD-A.B.C.D. 中,楼AB, A. D. 的中点分别为E,F,则直线EF与 平面AA.D.D所成角的正弦值为( 4.某正四梭锥的侧校与底面所成的角为45^*, 则该正四校锥的一个侧面与底面的面积之 9.如图,在四校锥 比为 ( E-ABCD中,平 B. D## 面ADE平面 ABCD,O,M分 5.已知三梭锥底面是边长为1的等边三角 别为线段AD 形,侧梭长均为2,则侧梭与底面所成角的 余弦值为 ( DE的中点,四边形BCDO是边长为1的 过 ) B 正方形,AE-DE,AE| DE. (1)求证:CM//平面ABE; D# (2)求直线DE与平面ABE所成角的正 弦值. 6.有一块直角三角板ABC,/A=30{,/C 90{,BC边贴于桌面上,当三角板和桌面成 45^{*}角时,AB边与桌面所成角的正弦值是 7.如图,正三校柱ABC- A.B.C的所有校长都相等 E.F,G分别为AB,AA A.C的中点,则BF与平 面GEF所成角的正弦值为 17 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) (1)证明:OB/平面PAC 能力练 /避移运 (2)求直线PB与平面PAC所成角的正 10.(多选)(2022·临沂高二检测)正方形 弦值. ABCD沿对角线BD折成直二面角,下列 结论正确的有 _~_ A.AD与BC所成的角为30。 B.AC与BD所成的角为90 C.AC与平面BCD所成角的正弦值 为45* 11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD 创新练 /健 1,E是CD的中点,沿AE将△DAE向 上折起,使D为D',且平面AED上平面 14.如图所示,在直三校柱ABCA.B.C 中, ABCE.则直线AD与平面ABC所成角 CA-4,CB-4,CC-2/2,ACB-90* 的正弦值为 点M在线段A.B. 上. C 12. 如图,菱形ABCD中, /ABC=60*,AC与BE 相交于点O,AE1平面 (1)若A.M-3MB.,求异面直线AM和 ABCD.CF/AE,AB-2 A.C所成角的余弦值; CF-3.若直线FO与平面 (2)若直线AM与平面ABC。所成角为 BED所成的角为45*,则AE= 30{*,试确定点M的位置. 13.如图,四边形PABC中,PAC=/ABC -90*,PA=AB-2/3,AC=4,现把 入PAC沿AC折起,使PA与平面ABC 成60*}角,点P在平面ABC上的投影为 点O(O与B在CA同侧) 18p(2)E(o1受) 要使平面PDN⊥平面PMN,有m,·n=O, 2.31-3=0 Ai-(停名号)a正-(.1号)月 化简得，12-9x+2=0,由于△=-15<0， 设平面ADE的法向量n=(x,y名)， 该一元二次方程无实数解，所以不存在入，使平面 .1 PDN⊥平面PMN. 训练九直线与平面的夹角 则 -++号=0 花n=%+号=0， 1.解析设1与a所成的角为0，则sin0=|cog《m,n〉|= 令=2，则4=（复，2） 分心0=60，故选B. 答案B 因为平面ADE⊥平面PBC, 2.解析易知x轴的方向向量为m=（1,0,0),设x轴与 所以m·n=0,申-了0-。+4=0，解得a=5 平面a所成的为0，则sin0=c0s(n,m)1=,】。=, 1X22 所以PA=3, 14.解(1)折叠前，直角△ABC中，AB⊥BC,∠BAC= 0=至，故选C 60°，D是AC的中点， 答案C 所以AD=AB=DB=2,∠DBC=30°，BC=23. 3.解析以D为原，点，DA 折叠后，由DB⊥平面PMN, 为x轴，DC为y轴，DD D 所以DB⊥MN,△PDB为等边三角形， 为：轴，建立空间直角坐 PD-PB=DB=2. 标系， 又点M为BD的中，点，所以DM=BM=1. 设正方体ABCD Rt△BMN中，∠DBC=30°， A,B,C,D,的棱长为2， 所以BN=部-2等所以=-司 则E(2,1,0),F(1,0,2),EF C0s30° (2)由平面PBD⊥平面DBC,PMLDB, =(-1,-1,2). 固为y轴与平面 所以PM⊥平面DBC AADD垂直，则平面 由(1)知，当BN=BC_2yE时，DB⊥MN,记此时 AADD的一个法向量n=(0,1,0). 3 3 设直线EF与平面AM,D,D所成角为0， 点N的位置为N, 以MN所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，MP所在 则sin0=cos(EF,n)= 1EF·n16 直线为~轴，M为坐标原，点建立直角坐标系，如图所示， |EF|·|n66 则M(0,0,0),P(0,03),B(0,1,0),D(0,-10), ∴直线EF与平面AA,D,D所成角的正弦值为6. N(3,1-3,0). 答案C 4.解析如图，PO是正四棱锥 P-ABCD的高， 设底面边长为《，则底面积为 S,=a,因为正四棱锥的侧棱 与底面所成的角为45°， 所以∠PA0=45.又A0= 乞a,所以PA=2X 故PM=(0,0,-3) a,所以△PAB是正三角形，面积为S,= a.所以 PD=(0,-1,-).PN=(5A,1-3x,-3) 设平而PDN的一个法向量n=(x1为)， 则·P=0所以 --3，=0， a =区，故选D 4 答案D n·PW=0, V3λx,+(1-3x)y,-3名=0， 5.解析由已知易得该三棱锥 令=1制a=(.-) 为正三棱锥，则顶，点在底而上 的射影正好落在底面的中心 设平面PMN的一个法向量n:=(x2yz), 上，如图所示。在三棱锥 Jm·PM=o, S-ABC中，O为底面中心，别 C m,·PV=0. 易得S01A0.A0-号SA -) -5=0, 2,则∠SAO即为侧棱与底面 所以 W3x+(1-3x)y:-√3：=0， 令头=，则m=(0) 所成的角别∠SA0-织誓故选D 答案D 62 6.解析过A作AO垂直桌面于O,连接OC,OB(图略)，： 又四边形BCDO是边长为1的正方形， 三角板所在平而与桌面成45°角，即∠ACO=45,设 ∴.BC∥DO,BC=DO, A0=1,则AC=2,AB=26.:AB边与桌面所成 ∴，BC∥MP,BC=MP,,,四边形BCMP为平行四边 31 形，，CM∥BP 角￥于∠AB0,∴.sin∠ABO=A9-E ",CM￠平面ABE,BPC平面ABE AB 4 .CM∥平面ABE. (2)连接EO,AE=DE,O为AD中，点，，.EO⊥AD. 答案6 4 “,"OC平而ADE,平面ADE⊥平面AD,平面ADE∩ 7.解析设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D,连接 平面AECD=AD,∴.EO⊥平面ABCD. DG,DB,分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴、y轴、 又OBC平面ABCD,ODC平面ABCD. .EOLBO.EO⊥OD :轴建立空间直角坐标系·如 图所示， 如图建立空间直角坐标系，A(0,一1,0)，B(1,0,0), 则B(0,2),F1,0,1), C11,0,D01,0,E0,0.M0,号号）设年面 39.0）.G0.02. ABE的法向量为m=(x,y,),AB=(1,1,0),AE =(0,1,1). BF=(1,-3,-1D. 成-（合）=.0 -1). 设平面GEF的法向量为n=(x,y,) n=0…-受+=0： 1 3 则 GF·n=0, x一g=0, 取x=1,则=1，y=3,故n=(1,W3,1)为平面GEF 的一个法向量， 由 AB·m=x十y=0可取m=1,-1,1), 所以cos(n,B,F) 1-3-1 3 AE·m=y十=0， √5×5 所以B,F与平面GEF所成角的正孩值为 DE=(0,-1,D,∴eosm.DE1=DE·ml=6 IDElIm 3. 答案是 直钱DE与平面ABE所成角的大小为写 8.解(1)证明，'PA⊥平面ABC,且BCC平面ABC, 10.解析取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥BD, “·正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，故平而 ..PA⊥BC.又AB⊥BC,且PA∩AB=A, ABD⊥平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD, ,.BC⊥平面PAB,BCC平面PBC, AO二平面ABD,故AO⊥平面BCD,由线面角的定义 ,平而PABL平面PBC 可知，∠ACO就是AC与平面BCD所成角.因为AO (2)过点A作AE⊥PB,连接DE, C0,∠A0C=90°，所以∠AC0=45°，故C正确： ,平面PAB⊥平面PBC, 以O为原点，(OC所在直线为x轴，OD所在直线为 且平面PAB∩平面PBC y轴，(OA所在直线为：轴，建立如图所示的空间直角 PB,AE⊥PB, 坐标系， .AE⊥平面PBC. ,.∠ADE是直线AD与平 面PBC所成角， 且<ADE-怨 设PA=AC=2AB=2a, 则根据等面积可知PA·AB=PB·AE 0 AE=25 . AD=号pA=Ea,sin∠ADE-5-Y. AD 5 设OC-1,则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0), 所以直线AD与平面PBC所成角的正弦值为√ D(0,1,0),∴BA=(0,1,1),AD=(01,-1), 5 BC=(1,1.0).AC=(1.0.-1).BD=(0.2,0) 9.解(1)证明如图取线段AE中点P,连接BP,MP, AD.BC .cos(AD,BC)= 1 1 :M为DE中点.∴MP∥AD,MP=2AD, |AD1IBC2×22 63 又周为(AD,BC)∈[0，J,放AD,BC=号， (2)以OB,OA,OP所在直 线分别为x轴、y轴、：轴建 ∴异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误： 立坐标系， ,AC·BD=0,AC⊥BD,故B正确： 则P(0,0,3),A(0,3,0) 设平而ACD的法向量为1=(x,y,), B(3,0,0),C(4.3.0), 则~A一=0取=1，得工=1y=1, .AC=(4,0.0),PA= 0 t·AD=y-z=0, (05,-3),PB=(3,0, ∴1=(1,1,1)， -3). 设BC与平面ACD所成角为0，别sin0=|cos(BC,t) 设平面PAC的法向量n=(r,y,z), 后停Da 则nAC=4r=0. 得n=(0,3,1). 答案BCD n·PA=5y-3x=0, 11.解析由题意，△ADE为等腰直角三角形，：平面 设直线PB与平面PAC所成的角为a, AED'⊥平面ABCE.∴AD'在底面的射影为AE, n·PB 3 .∠DAE为直线AD'与平面ABC所成角，且 .'.sin a=cos(n.PB) nl·PB 2×324' ∠DAE=5,其正癸位为号 答案号 即直线PB与平面PAC所成角的正孩值为吧 14.解(1)分别以CA,CB, 12.解析如图，以O为原点，以OA,OB所在直线分别为 CC,为x轴、y轴、x轴，建 x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为：轴建立 立空间直角坐标系，如图 空间直角坐标系， 所示。 设AE=a(a>0),则B(0.w3,0). 则C(0,0,0),A(4,0.0), D(0,-3,0),F(-1,0, A(4,0,22),B(0,4,2/2) 3),E(1,0,a), :A M=3MB 所以OF=(-1,0,3), .M1,3,22),可得A,C=(-4,0,-22), DB=(0,23,0), AM=(-3,3,22), EB=(-1w3,-a). 设平面BED的法向量为 ..cos(A.C.AM)=- A.C.AM 4 39 n-(r.y.). A,C·AM②·v2丽 391 则/n·DB=0, 2V3y=0. 即 n·EB=0, -x+5y-ae=0, 所以异面直线AM与A,C所成角的余弦值为 39 则y=0,令x=1,得x=一4，所以n=(一a,0,1), (2)由(1)得B(0,4,0),B(0,4,2√2)，C,(0,0,2√2) 所以cas(n,OF)=n·0F a+3 AB=(-4,4.0),AC=(-4.0,22), |nl1OFVa+1×10 设n=(a,b,c)是平面ABC的一个法向量， 因为直线FO与平面BED所成角的大小为45”，所以 a+3=2 可得n·AB-4a+4h=0. n·AC=-4a十2w2c=0, a+1×√10 2 取a=1,得b=1,e=2, 解得u=2或a=一 （会去)，所以AE=2 ∴n=(1,1,2),而直线AM与平面ABC,所成角为 答案2 13.解(1)证明连接AO,图为PO⊥平而ABC,CAC 30°，可得AM与n所成角为60°或120° 平面ABC得PO⊥CA. cos(A.m=名，设点M的被坐标为 又周为CA⊥PA.POOPA=P,P POC平面PAO, 则AM=(x-44-x,2√2). PAC平面PAO, 所以CA⊥平面PAO,A(OC平 AM·n=1…(r-40+1·4-)+2:22 面PAO,所以CA⊥AO. AM·n 2,(.x-4)+(4-x)+8 因为∠PAO是PA与平面ABC 2 1 的角，∠PAO=60°. ,2(x-4)+82 因为PA=23,得OA=3. 解得r=2或x=6,由于M在A,B,上可得x<6,故 在△OAB中，∠OAB=90°-30°=60°，故有OB⊥0A 从而有OB∥AC,OB丈平面PAC,ACC平面PAC, x=2, 所以OB∥平面PAC. 即点M为线段A,B的中点时，满足直线AM与平面 ABC所成角为30°： 64