训练七 平面的法向量及线面位置关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练七 平面的法向量及线面位置关系 基础练 /固应周 8.如图,在真三楼柱ABC A. B.C 中,AB AC,AB 1.(多选)已知向量AB=(2,2,1),AC=(4,5. -AC=1,AA=2.以A 3),则平面ABC的一个单位法向量是( _ 为原点,建立如图所示空 A.#(-)一B. (-1}) 间直角坐标系 D.(-1,1,-1) C.(,-1.1) (1)求平面BCCB.的一个法向量; (2)求平面A.BC的一个法向量: 2.若直线/的方向向量为a=(-1,0,-2), 平面a的法向量为u-(4,0,8),则( ) A.l/a B./1a C./Ca D./与a斜交 3.已知平面g内有一个点A(2,-1,2),它的 一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P 中,在平面a内的是 。 B.(1.3.3) A.(1,-1,1) C.(1,-3.3) D.(-1,3.-3) 4.(多选)直线/的方向向量为a,平面a的法 _~ 向量为n,若la,能使l/a的是 ( 9.(2022·大连高二期中)如 A.a-(1,3,5),n-(1,0,1) 图,在多面体ABC-A.B.C B.a=(1,0,1),n-(0,-2,0) 中,四边形A.ABB 是正 C.a=(0,2,1),n-(-1,0,1 方形,AB=AC,BC D.a=(1,-1,3),n-(0,3,1) 2AB.B.C- 5.已知a为平面g的法向量,A,B是直线/ 上的两点,则a·AB-0是直线b/a的 角A.-ABC是直二面角,求证: 条件 ( ~ (1)A.B 1平面AAC; A.必要不充分 (2)AB/平面A.CC. B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要 6.已知n=(1,2,-1)为平面g的一个法向 量,n=(一2,t,1)为直线/的一个方向向 量,若//g,则(三 7.如图,在长方体ABCD-A.B.C.D. 中,AB -2,AA-③,AD- 2/②,P为C.D. 的中 C 点,M为BC的中点; 1% 则AM与PM的位置关系是 13 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) (1)求AE·D; 能力练 /疑运用 (2)若点M,N分别是线段A.E与线段 10.(多选)在正方体ABCD-A.B.C.D. 中, D.F上的点,问:是否存在直线MN,使 得MN1平面ABCD?若存在,求点M E.F.G,H分别为AB,CC,A.D,CD N的坐标;若不存在,请说明理由; 的中点,则下列结论中正确的是 ) A.A.EAC B.BF//平面ADD.A. C. BF | DG D.A.E/CH 11.在三楼柱ABC-ABC 中,BAC= $9 $0{*,AB=AC-AA. =2,D是BB 的中$$$ 点,若E是线段AC 上一点,且DE/平 面A.BC,则点E的坐标为 ( ) 创新练 能 B.(02) A.(0,1,2) 14.如图,在底面是正方形 C.(o.,2) 的四枝锥 P-ABCD D.(o,2) 中,PA 平面ABCD 12.在正方体ABCD-AB.CD 中,点E是 AP-AB-2,E,F.G G 分别是BC,PC,CD 梭BC的中点,点F是校CD上的动点; C #当## 的中点. 时,DE工平 (1)求证:BG 平面PAE (2)在线段BG上是否存在点H,使得 面ABF. BH的 FH/平面PAE?若存在,求出 13.设点E,F分别是校长为2的正方体 BG 值;若不存在,说明理由。 ABCD-A.B. C D. 的梭BC,BB 的中点 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD.为 x轴、y轴、:轴正方向,建立空间直角坐 标系。 2 C10.解析法一如图，在平 面ABFE中，过F作FG CE=CD0-2)=(0.-g) ∥AE交AB于G,连接 CG,则∠CFG或其补角 为异面直线AE与CF所A 正-(1号号) 成的角.设EF=1,则AB=3,AD=2.周为EF∥AB, AE∥FG,所以四边形AEFG为平行四边形，所以FG 花.cd-(1号，)小0-2=0 =AE=AD=2,AG=1,BG=2.义AB⊥BC,所以(GC .AE⊥CD =,BG+BC=2√瓦.又CF=BC=2,所以CG= (2)AB,=(0,2,1),BD,=(-1,-2,1) FG+CF,所以∠CFG=受 AB·BD 法二如图，以矩形ACD :'.cos a=lcos(AB BD>= 30 101 的中心O为原点，CB的 ABI·BD,I 方向为x轴正方向建立 14.解以D为原点，DA,DC,DD,的方向分别为x轴 空间直角坐标系，因为四 y轴、之轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）， 边形ABCD为矩形，EF 设DA=2,则F(1,0,0),E(0,0,1),B(2,2,0),C(0.2,0) ∥AB,△ADE和△BCF A(2,0,2),所以EF=(1,0,-1),BC=(-2,0,0), 都是正三角形，所以EFC平面O:,且O:是线段EF 的垂直平分线.设AB=3,则EF=1·AD=2, CA=(2,-2,2). A1.-o,E(o,-2),c(-1,2o)小 设CM=1CA,(0≤≤1)，则CM=(2a,-2a,21), F(0,2)所以AE=(-112,市 BM-BC+CM=(2x-2,-2a,2a), 则cos0=lcos(BM,EF)l, (1.-12),所以AE·CF=-1×1+1×(-1)+√2 即cos0= 2 X2=0,所以AE⊥CF,所以异面直线AE与CF所成 2·√(21-2)+8x√2·√/3a-2A+1 的角为受 (0A≤1)， 答案D 1山，解析如图，建立空间直角坐 D 标系， 当入=号时，00取到装大值.当入=1时，ms0取 设正方体的棱长为3，剥E(1, A 0,1),F(2,1,0),A1(3,0,3, 到最小位安又9∈(0，号]所以0的取维花国 A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0, 0),B3,3,0),D(0,0,3), 为[] A 训练七平面的法向量及线面位置关系 .EF=(1,1,-1),AC=(-3,3, 1,解析设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,之)，则 0),AD=(-3,0.-3), 2.x+2y十e=0, EF·AC=0,EF,A,D=0,EF⊥AC,EF⊥A,D. 4x+5y+3z=0 若y=A∈R,则m=x(←1，-1 BD=(-3,-3,3),.BD,=-3EF,∴BD,∥EF 由单位法向量有呀1，可得=士号故单位法向量 答案BD 12.解析由题意，知AB,CD分别为直线4，b的方向向 为（仔号）（号）月 量.图为AB=AC+CD+DB. 答案AB 所以AB·CD=AC·CD+CD+DB·CD 2.解析由a=(一1,0，一2)，1=(4,0,8)，则n=一4a,所 以u∥a,则l⊥a 即2X1 cs(.CD=l.所以cos(AB.CD)=, 答案B 即(AB.CD》=60°，得a与b所成的角是60. 3.解析要判断点P是否在平面a内，只需判新向量PA 答案60° 与平面a的法向量n是否垂直，即PA·n是否为0，因 13.解(1)证明如图建立 此，要对各个选项进行检脸 空间直角坐标系， 对于选项A,PA=(1,0,1),则PA·n=(1,0,1)·(3, 依题意得A(1,0,0), B(1.2,0),B(1,2,1) 1,2)=5≠0，故排除A:对于选项B,PA=(1,-4,）】 D(0,0,1),C(0,2,0), 设E(0,y,x),则CD= 则PA·n=(1,-4,号)·(31,2)=0，故B正确：同理 (0,-2,1),CE=(0y-2,z. 可排除C,D. 答案B 58 4.解析已知l工a,l∥a,则a·n=0.A选项中，a·n=1: 设AB=2,则A(0,0,0).B(0,2,2), ×1十3×0+5×1=6≠0，A选项不满足条件：B选项 A(0,0,2), 中，a·n=1×0+0×(一2)十1×0=0，B选项满足条 C(2,0,0).C(1,1,2) 件：C选项中，a·n=0×(-1)十2×0+1×1=1≠0， (1)A,B=(0,2,0),AA=(0,0, C选项不满足条件，D选项中，a·n=1×0十（一1）×3 十1×3=0，D选项满足条件： -2),AC=(2.0,0), 答案BD 设平面AA,C的一个法向量n=(x,￥ 3y,), 5.解析因为向量a是平面a的法向量，则a⊥a,若a· AB=0,则AB∥a,则向量AB所在直线b平行于平面 则：0中2208： n·AC=0, 12x=0. a或在平面a内，即充分性不成立，若向量AB所在直线 平行于平面a或在平面a内，则AB∥a,:向量a是平面 取y=1,则n=(0,1,0). a的法向量，a⊥a,则a⊥AB,肿a·AB=0,即必要性 所以AB,=2n,即A,B∥n.所以AB⊥平面AA,C 成立，则a·AB=0是向量AB所在直线b平行于平面 (2)易知AB=(0,2.2),A,CG=(1,1,0),A,C=(2,0,-2), a的必要条件，故选A 设平面A,CC的一个法向量m=(xy,), 答案A 6.解析1∥a,.m⊥n,∴.m·n=1×(-2)+21十(-1) 则 m·AC=0·脚+y=0: m·AC=0, 2x1-2x1=0 ×1=0,解得1=是 令x=1,则y1=-1,=1,即m=(1.-1,1). 答案号 所以AB,·m=0×1+2×(-1)+2×1=0, 7.解析以D点为原点，DA.DC,DD1为x轴，y轴、轴 所以AB,⊥m, 正方向，建立如图所示的空间 又AB,丈平面A,CC,所以AB∥平而A,C,C D 直角坐标系Dxyx,可得D(0 10.解析设正方体的棱长为1，以D为原，点，DA,DC, DD所在的直线分别为T轴、y轴、空轴，建立如图所 0,0),P(0,13),C(0,2.0) 示的空间直角坐标系， A(22,0,0),M(W2,2,0). 则A10D,E(170 4 .PM=(2,2,0)-(0,1, I )=(w2,1,-3). C0.1,0.F01,） AM=(w2,2,0)-(22,0,0)=(-2,2,0), C0.1,DH(o,21 由此可得PM.AM=(2,1,-√3)·(-√2,2.0) =一2×√2+1×2+(-3)×0=0. G(分0141.00 即PM LAM,可得AM⊥PM B(1.1.0), 答案AM⊥PM 尉A=(0,-1)AC 8.解易知B(1,0,0),C(0,1,0),B,(1,0,2),A,(0,0,2). (1)BC=(-1.1,0).BB,=(0.0,2),设平面BCCB,的 =(-11.0.BF=(-10,2）D=(20.1).c n·BC=0, =(0.-21） 法向量为n=(y5),别 n·BB=0, 所以A,E·AC=一2所以AE与AC不垂直，故A错 取1=4=1，名=0，别n=(1,1,0) 误：显然平面ADD,A的一个法向量v=(0,1,0). 所以平面BCCB,的一个法向量为n=(1,1,0), 所以BF·v=0,所以BF∥平面ADD,A,故B正确： (2)BC=(-1,1,0),BA,=(-1.0,2).设平面A,BC的 BF·DG=0,所以BF⊥DG,故C正确： AE=-CH,所以AE∥CH,故D正确. m·BC=0, 法向量为m=(无·为·).则 答案BCD m·BA1=0, 11.解析根据题意建立如图所 一x十=0. 示的空间直角坐标系，则 即{-x,+2==0 取x=为=2,8=1，则m=(2,2,1D, B(2,0,0),C(0,2,0), A(0,0,2),D(2,0.1) 所以平面ABC的一个法向量为m=(2,2,1). 9.证明因为二面角A,-ABC是直二面角， C(0,2,2),由AE=AAC 四边形A,ABB,为正方形，所以AA,⊥平面BAC =(0,2A,0),所以点E的坐 又因为AB=AC,BC=V2AB,所以∠CAB=90“, 标为(0,2a,2),则DE= 即CA⊥AB,所以AB,AC,AA,两两互相垂直. (-2,2λ，1). 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 设平面A,BC的法向量为 59 n=(z.y,z). 所以BG·AP=0,且BG·AE=0. BC·n=0, 所以BG⊥AP,BGLAE,且AE∩AP=A. 由 BA·n=0, 所以BG⊥平面PAE 可得名1士20令x=1,得y==1, (2)假设在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE -2x+2x=0, 设BH=ABG(0≤A≤1)，则FH=FB+BH=AB-AF 所以n=(1,1,1),所以n·DE=-2+21+1=0, +1BG=(1-A,2A-1,-1). 解得=号故点E的坐标为0,12》。 因为FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE, 所以FH·BG=(-1)X(1-λ)+2(2x-1)十0X(-1)= 答案A 12.解析如图，建立空间直 5议-3=0，所以X=号 角坐标系，设棱长为2，则 D 所以，在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE. A(2,0,0),F(0,1,0), B(2,2,2),D(0,0,2), A 共中腮号 =5 E(1,20) 训练八面面位置关系、三垂线定理及其逆定理 DE=(1.2,-2) D 1.解折因为a∥R、所以n∥m,则2-号=是，解 AF=(-21,0) 得k=4. AB=(0,2,2). 答案D 若D,E⊥平面AB,F, 2.解析：a⊥B,.平面a:3的法向量相互垂直，a·b =(-1,2,4)·(x,-1,-2)=-x一2-8=0，.x= 则DELA即1x0+2X2+（-2X2=0, -10. DE⊥AF, 11×(-2)+21+(-2)×0=0 答案B 解得=1，片以部-子 3.解析两个平面平行，其法向量也平行，所以选D 答案D 1 答案立 4.解析以D为原点，DA,DC,DD分别为x轴、y轴、 :轴建立空间直角坐标系，如图： 13解(1)在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标 为A(2,0,2),E(1,2,0).D(0,0,2).F(2,2,1), D AE=(-1,2,-2),DF=(2,2,-1), 所以AE·D,F=-2+4+2=4, (2)存在唯一直线MN,使MV⊥平面ABCD 设M(xy),N(x), ”” 且A,M=AA,E,D,N=tD,F, 则(x1-2,y8-2)=1(-1.2,-2) (xy-2)=1(2,2,-1), 设正方体ABCD-A,BC,D的棱长为1， 所以M(2-a,2A,2-2n),N(24,21,2-1), 故MN=(21-2+x,24-2x,2x-t). 则A1,0,0,D(0,0,0,E(1l,2)A(1,0,1) 若MN⊥平面ABCD, D,(0.0,1).F(0,号0）则DA=1,0.0, 则MN与平面ABCD的法向量n=(0,0,1)平行， DE=(11）D,A=1,00.DF-(o-1 所以212十入0：解得=号 21-21=0, 设平面AED的一个法向量为n,=(x1,y,,),平面 所以点MN的垒标分别足（待言号》（告·专》。 A,FD,的一个法向量为n:=(xy,名)， 14.解(1)证明因为四棱锥P-ABCD底面是正方形， 则nlDA, 以 n·DA=0, 且PA⊥平而ABCD, n,⊥DE, n,·DE=0. 以点A为坐标原点，AB, m=0, AD,AP,所在直线分别为t 所以 1 所以T1=0, 轴、y轴、二轴建立如图所示 工+y+2=0. 空间直角坐标系， 取y=1,则1=-2，所以n1=(0,1,一2)， 则A(0.0.0),B(2,0,0),P(0,0. 同理可得n=(0,2,1). 2),C(2,2,0),D0,2.0). 因为11·=(0,1，一2)·(0,2,1)=0十2-2=0， 因为E,F,G分别是BC,PC, 所以n⊥n,故平面AED⊥平面A,FD. CD的中点，所以E(2,1,0), 答案B F1.1.1).G(1,2.0), 5.解析对A,:…a=1×2+(-1D×1+2×(-)=0, 所以BG=(-1,2,0),AP=(0,0.2),AE=(2,1,0), .ya,即（与m垂直，故A正骑： 60