训练六 空间中的点、直线与空间向量-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

空间中的点、直线与空间向量 训练六 V-v AB-(2,4,6)-2(1,2,3)--2(-1.-2,-3. 1.解析 a(2,0.-/②) 一 故直线/的一个方向向量为(1,2,3)或(-1,一2,-3). (2,0.-2),其 答案 AC 2.解析 因为a·b-(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0-0, 中0<1.BV-(0. a· =(4,-1,0)·(-3,12,-9)--12-12+0- 一2②). -240.b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)--3+48- +V 45-0. 所以a|b,a与c不垂直,blc. (V2.-2v2(1-): 即L.,但1与1不垂直 ##(一##)#得 答案A lcos v- l-3{ 故选D. BF .VEI 2-+1x3 答案 D -2 4.解析 因为/./,所以alb.因为a-(1,2,-2),b 6 (-2,3,m).所以1×(-2)+2×3+(-2)×n-0,解 将来 整理可得6^-a-2-0.因为0x<1,解得 - 得m-2,故选B. 答案 B 5. 解析 以D为原点, DA.DC,DD.分别为3 _ 答案 轴,y轴,:轴建立空间 直角坐标系, 8.证明 设DA-a.DC-b,DD-c. 因为AB-AD-1,AA _2. 则CB-a+c.DC-b+c. -DD+D0-c+(a+b). 所以A(1,0,2). B(1.1.0).o(.o), 设存在实数x,y,使得CB.-xDC+yDO成立, D.(0.0,2). 则ate-r(bte) o+(a+1 -(--2).D-(-1.-1.2). -a+(+号)b+(+y)c. #1-14# 4③ 则cosAO.BD 2-1. 'a,bc不共线... -2: 答案 D 6.解析设M(x,y,z). 十y-1. .CB--DC+2DO.即向量CB.DC.DO共面. 又AB=(-1.1.0),AM-(r,y:-1). __ CM-(r-1,-2.-+3). ·向量CB不在DC,DO所确定的平面OC.D内. -. .BC/平面OCD. [1-1+y-2-0. 9.证明 设AB中点为O,作OO./AA,连接OC,以O为 -. 由题意得 #_ .: 坐标原点,OB,OC,O0所在直线分别为工轴、y轴、 -1-0. :轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 -1. A(-.o,1).c.(o.). .点M的坐标为(一-.1). A(-.0,0),B.(.0.1), 答案(-1) ##(0##).# 7.解析 连接AC,BD交于点O,则AC|BD. 因为四梳锥V-ABCD为正四梳锥,故VO1底面AB- ##-#)# CD. 以点O为坐标原点,OA,OB,OV所在直线分别为x轴、 AB-(1.0.1). y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(v2 0.0),(-). -_→ V(o.0.②).B(o.②,o). .ADAB,即AB 1AD. 57 10.解析 法一 如图,在平 CE-CD(0y-2)-(0.-,). 面ABFE中,过F作FG /AE交AB于G,连接 CG,则 CFG或其补角 #(1一)# 为异面直线AE与CF所 A 成的角,设EF=1,则AB-3,AD-2.因为EF/AB, ..c-(-1.-)·(0,-2.1)-0. AE/FG,所以四边形AEFG为平行四边形,所以FG =AF=AD-2,AG=1:BG2× AB BC.所以 G$C .AEICD.. = BG+BC-2V②.又$CF-BC=2.所以CG= FG+CF",所以CFG-. (2)AB-(0.2,1),BD.-(-1,-2,1). AB·BD .cos-lcos(AB,BD)- 0 法二 如图,以矩形ABCD AB·BD 10 的中心O为原点,CB的 14.解 方向为工轴正方向建立 以D为原点,DA.DC,DD.的方向分别为工轴、 空间直角坐标系,因为四 y轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(图略), 边形ABCD为矩形,EF 设DA-2,则F(1.0.0),E(0.0.1).B(2.2.0).C(0.2.0) /AB,△ADE和△BCF A(2.0.2),所以EF-(1.0.-1),BC-(-2.0,0). 都是正三角形,所以EFC平面yO,且O:是线段EF 的垂直平分线,设AB-3,则EF=1,AD-2, CA.-(2,-2,2). A(1.-.o)F (o.-v2).c(-1..o) 设CM-CA(0<1),则CM-(2,-2,2). BM-BC+CM-(2-2.-2.2). F(o.v2).所以AE=(-1,1.v②),CF 则coso=Icos(BM,EF)1. (1.-1.v2),所以AE·CF--1X1+1X(-1)+② 2 即cos一 ,1 X②-0.所以AEICF,所以异面直线AE与CF所成 V2·(2-2)+8v2·3x-2+1 的角为. 、3#(-)+ (0<1). 答案 D 11.解析 如图,建立空间直角坐 ( 当-时:co80取到最大值 标系, 到最小值又0 设正方体的极长为3,则E(1, B (0.],所以0的取值范因 0.1).F(2.1.0).A.(3.0.3). A(3.0.0),C(0.3.0),D(0.0. #为 ,_ 0).B(3,3.0).D(0.0.3). .F-(1.1.-1)AC-(-3.3. 训练七 平面的法向量及线面位置关系 0.AD-(-3.0.-3). 1.解析 设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,z),则 (2r+2y十-0. 若y-R,则m-(-,1,-1). $.FF·AC=0.FF·AD-0.'.EF 1AC,FF1A D. 4+5y+3-0. BBD =(-3.-3.3)BD--3EF .BD/EF. 答案 BD ##)#(). 12.解析 量,因为ACD分 由题意,知AB,CD分别为直线a,b的方向向 答案 AB 2.解析 所以AB·CD-AC·CD+CD+DB·CD. 由a-(-1,0,-2),n-(4,0,8),则n--4a,所 以u/a,则La. 即2X1Xcos(AB,CD)-1,所以cos(AB,CD)= 答案 B 即(AB,CD)-60{},得a与6所成的角是60”。 3.解析 要判断点P是否在平面a内,只需判断向量PA 答案 60{ 与平面。的法向量n是否垂直,即PA·n是否为0,因 13.解(1)证明 如图建立 此,要对各个选项进行检脸. 空间直角坐标系, D 对于选项A.PA=(1,0.1),则PA·n=(1,0.1)·(3. 依题意得A(1,0,0),A B(1.2.0).B(1.2.1). 1.2)-5-0,故排除A;对于选项B,PA-(1.-4.). p.(0.0.1).C(0.2.0). 则PA·n-(1,-4.)·(3.1,2)-0,故B正确;同理 设E(0.y.),则CD (0.-2.1).CE-(0.y-2.). 可排除C,D. 答案 B 58训练六 空间中的点、直线与空间向量 基础练 /观固应围 7. 如图,在正四楼锥 V-ABCD中,E为BC 1.(2022·烟台高二月考)(多选)若A(-1, 的中点,AB=AV-2. 0.1),B(1,4,7)在直线/上,则直线/的一 已知F为直线VA上 个方向向量为 ( ) 一点,且F与A不重合,若异面直线BF与 A A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(-1,-2,-3) D.(-1,-3,-2) #6 2.已知a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c= (一3,12,-9)分别为直线4,,的方向 8.如图,在平行六面体 向量,则 ) C ABCD-A.BC.D. 中,O A.,但/与/不垂直 是B.D 的中点,求证; B.乙 ,但与/不垂直 B.C//平面OC.D C.1,但。与么不垂直 D.7.,/。,/。两两互相垂直 3.已知向量a=(2,4.5),b-(3,x,y)分别是 直线1,1。的方向向量,若//么,则 C A.x-6,v-15 B.x-3,-15 D.-6,y2 5 10 3 4.设直线/的方向向量a=(1,2,一2),直线 .的方向向量b=(-2,3,m),若4 则实数的值为 ( C}## A.1 B.2 D.3 5.(2022·徐州高二期中)在长方体ABCD- A BC D 中,AB=AD=1,AA =2,设$$$ AC交BD于点O,则异面直线A.O与 BD.所成角的余弦值为 ( ) A.-4v15 B.415 15 15 D# 9 6.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1.1), C(1.2,-3),若直线AB上一点M满足 CM AB,则点M的坐标为 11 高中数学·选择性必修 第一册(RJB 9.已知正三校柱ABCA.BC 的各梭长都 13.在长方体ABCD-A.B.CD. 中,AB=2.BB 为1,若侧梭C.C的中点为D,求证:AB -BC-1,E是面对角线CD 上一点,且CE 1A.D. -CD. D (1)求证,AE]CD; (2)设异面直线 {B AB 与 BD 所成 角的大小为g,求cos;的值 能力练 /圈 10.《九章算术》是古 代中国乃至东方 的第一部自成体 系的数学专著,书 中记载了一种名为“刍蔓”的五面体(如 图),其中四边形ABCD为矩形,EF/ 创新练 /密 AB,若AB-3EF,△ADE和△BCF都 是正三角形,且AD一2EF,则异面直线 14.在正方体ABCD-A.B.C.D. 中,动点M AF与CF所成角的大小为 ( ) 在线段A.C上(包括A.,C两端点),E,F C.} #A. 分别为DD.,AD的中点:若异面直线EF 与,BM所成的角为2,求6的取值范围 11.(多选)如图所示,正方 体 ABCD -A.B.C.D 中,E,F分别在A.D A. EF至多与A.D,AC之一垂直 B. EF A.D.EF AC C.EF与BD,相交 D.EF与BD 平行 12.已知a,b是异面直线,A,BEa,C.DEb. AC b.BD |b.且 AB=2,CD=1.则 与6所成的角为 12