训练五 空间直角坐标系及其应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练五空间直角坐标系及其应用 7.已知空间三点的坐标为A(1,5,一2)，B 基确练了 巩固应用 (2,4,1),C(p,3,9+2),若A,B,C三点共 1.已知O(0,0,0).V(5,-1,2),A(4,2,-1), 线，则p十g= 若ON=AB,则点B的坐标为 8.已知向量a=(x,4,1),b=(一2，y,一1)， A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求： C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1) (1)向量a,b,c的坐标； (2)a十c与b+c夹角的余弦值， 2.已知空间向量A(1,一2,2)，B(一2,1,2)， C(-1,-1,0),则2AB-AC等于 A.3/5 c n罗 3.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4, 1),则AC与AB的夹角为 () A.30°B.45° C.60° D.90° 4.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3), B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则 直线AB与CD A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 5.已知O为坐标原点，OA=(1,2,3),OB 9.正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是棱D,D 的中点，P,Q分别为线段B,D,BD上的 (2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP 点，且3B,P=PD,若PQ⊥AE,BD= 上运动，则当QA·QB取得最小值时，点Q 的坐标为 ( 入DQ,求入的值. A(合》 合号》 c(侍》 n(信青) 6.如图，以长方体 ABCD-A BC D 的顶点D为坐标 原点，过D的三 条棱所在的直线 为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB,的 坐标为(4,3,2)，则BD的坐标为 9 ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) 能力练了进移运用 (3)求AB,与BC夹角的余弦值. 10.已知点A(-1,2,0),B(-3,4,2),点P 在直线AB上，且AP=AB,则点 P的坐标为 A.(-2.3,1) B.(-2,3,1)或(2,3，-1) C.(0,1,-1) D.(-2,3,1)或(0,1，-1) 11.如图，在直三棱柱ABC AB,C中，∠BAC=F AB=AC=AA=1,已知 G与E分别为AB和 创新练了素能骑优 CC的中点，D和F分别 为线段AC和AB上的动点（不包括端点）， 14.如图，在棱长为1的正方 若GD⊥EF,则线段DF长度的平方的取值 体ABCD-A,B,C,D中， E,F分别为AB和BC 范围为 的中点，在棱BB上是 A.(1,2) B[居2) 否存在一点M,使得D,M c n[哈 ⊥EF,DM⊥B,E同时成立？若存在，求 出点M的坐标：若不存在，请说明理由. 12.(2022·昆明高二检测)已知空间四点 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x, 一1,3)共面，则x的值为 () A.4 B.1 C.10 D.11 13.已知正三棱柱ABC-A1B,C1,底面边长 AB=2,AB1⊥BC1,点O,O分别是边 AC,AC,的中点.建立如图所示的空间 直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； (2)M为BC1的中点， 试用基向量AA1,AB, AC表示向量AM; 102.解析 2 AB-AC=(-4,5,2),所以|2AB-A|= 3v5. 故1的取值范围是(-,-)(-,5). 答案 A 答案(-,-)(-,5) 3.解析 设AC与AB的夹角为6.由题意,得AC一(一1,1,0), AB-(0.3,3). 12.解析 '空间向量a-(1,0,0),b-(,,o),设空 .cos-AcAB 又0180.'6-60。 答案 C 4.解析 因为A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0), .空间向量c-(2,3,). 所以AB-(-3,-3.3),CD=(1,1,-1),可得AB= 又由对任意x,yR, -3CD,所以AB/CD. lc-(a+yb)l>lc-(xa+yb|=1, 答案 B 则 ==1,故el=2+3)+1=2② 5.解析 法- 设O-OP,则A=0A-0-A- 答案 22 $ $=(1-a.2-3-2).QB-0B-0-0B-aoP 13.解(1)设b一(x,y,z),则由题可知 =(2-,1-,2-2),所以QA·QB-(1-,2-),3- [2x+y-2--1. r*+y+2-9, $)·(2- ,1- ,2-2)=2(3x-8+5)= #[3()-#-时,# 取得小 1-十z-0. (r-2, (=-2, 解得{=-1,或{--1, 值,此时点Q的坐标为(,4,). -2. 1-2. 法二 设OQ-OP-(,2),其中x-0, 所以b-(2,-1,2)或b-(-2,-1,-2). (2)因为向量b与向量a-(1,-,1)共线, 因为x·x·2-1·1·2,观察选项只有C符合 答案C 所以b-(2.-1,2). 6.解析 因为DB的坐标为(4,3,2),D(0,0,0). 又a-(2,1,-2),c-(-1,0,1). 则B.(4,3,2),所以B(4,3,0),D(0,0,2). 所以a-b-(0,2,-4),2b+3c-(1,-2,7), 因此BD-(-4,-3,2). 所以(a-b)·(2b+3c)--32. 答案(-4,-3,2) 且 a-b-2$,2b+3cl-3. 所以a-b与2b十3c夹角的余弦值为 7.解析 由题意可得AB-(1,-1,3),AC-(-1,-2, cos(a-b,2b+3c)-(a-b)·(2b+3e)8/30 q+4),'A,B,C三点共线,则AB/AC,则存在实数k, (-1-, a-bl12b+3cl 45 (-2, 14.解析 由向量u-(a,b,0),v-(c,d,1),其中a}+b^} 使得 -2-一,解得 -3,因此,力十a=5. la+4-3%, q-2, c*+d=1,知:在A中,ll= +d+1= 1+1= 答案5 2,是定值,故A正确;在B中,a v-ac十bd<}C 8.解(1):a/b,',存在入,使得b-a,即(-2,y,-1) +6&+da+6+c+a -1,且仅当a-c,6-d时, -(x,4,1)-(x,4,). (-2-x. 2 2 (2-2, 取等号,因此·"的最大值为1,故B错误;在C中, 则y-4,解得y--4,又blc, (-1=: 由B可得:u·vl<1..-1<a·1, =-1 ac+bd '.b·c--2x3-2y-z-0,可得 -2 '.cosu,v)- u.v , = a+6·+d+1 所以a-(2,4,1),b-(-2,-4,-1),c-(3,-2,2) (2)可得a+e-(5,2,3),b+c-(1,-6,1). 1 设a十c与b十c的夹角为日, 1X2 则cos-. (a十c)·(b十c) atc bc 'u与v的夹角的最大值为3,故C正确;在D中, 5×1+2×(-6)+3×1 5+2+3·V1+(-6)*+1{ 9.解 如图所示,以D为坐标原点, '.ad-bc的最大值为1,故D正确. DA,DC,DD. 所在直线分别为x 答案 ACD 轴、y轴、轴,建立空间直角坐标 训练五 空间直角坐标系及其应用 系Dxy:设正方体橡长为1,则 1.解析 因为ON=AB,AB-OB-OA,所以OB=ON+ A(1,0,0),E(o,o.),B(1,1. OA-(5,-1,2)+(4,2,-1)-(9,1,1. 答案 B 0),B.(1,1,1),D(0.0,1). 15 由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),因为3B.P-PD, 即线段DF长度的平方的取值范围为[,1),故选D. 所以3(a-1,a-1,0)-(-a,-a,0), 答案 D 12.解析 AB-(-2,2,-2),AC-(-1,6,-8),AD 所以点P的坐标为(#3,1). (x-4.-2.0),因为A,B.C.D共面,所以AB,AC,AD 共面,所以存在入,v,使AD-AB+oAC, 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),因为PQ·AE-0. 即(x-4.-2,0)-(-2-v,2+6v,-2-8),所以 所以(6-寻,6-寻,-1)·(-1.0)-0, x-4--2-v. [--4, 即-(6-)-1#-# -2-2+6v,所以v-1, 0--2-8. -11. 解得b-},所以点Q的坐标为(士,1,0). 答案 D 13.解 (1)设侧校长为b,则A(0,-1,0),B(3,0,b), 因为BD-D,所以(-1,-1,0)-a(,,o), B(/3,0,0).C(0,1,b). 所以--1,故--4. 所以AB-(③,1,b),BC =(-③,1,b). 因为AB 1BC,所以AB ·BC =(3.1.6)· 10.解析 设P(x,y,z),:AP-(c+1,y-2,z),AB- (③,1,b=-(③)}+1+b=0,解得b= ② (-2,2,2),又':P-AB (2)因为M为BC,的中点, 所以AM-(AC+AB)- A-AB线Ap--AB. -2(AA+AC+AB). (3)由(1)知AB=(③,1/2),BC=(-③,1,0) 因为 AB|-③)+1*+2)-, [x+1=-1, [x=-2, -2-1,解得 -3, |B$-(-3)*+1'+0{-2, 1-1. z=1. AB·BC=(③,1②).(-③,1,0)=-③)+1$ '.点P(-2.3,1); 1--2. 1AB时,(x+1,y-2,z)-- 当A-- 1(-2,2,2), 所以cos(AB,BC-AB·BC 1AB 11BCI 6X2 (x+1-1, (1-0. .-2--1,解得 -1, 1--1, 1_--1, .点P(0,1.-1). 14.解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 答案 D 则A(1,0.0),B.(1,1,1).C(0,1,0). 11.解析 建立如图所示的空间直 D.(0,0.1),E(1,,。),F(,1,o) 角坐标系,则A(0,0,0). F-(-.). E(o.1.)G(.o.1),设AF :D -r,AD-y. C F(x,0,0).D(0,y,0). GD--v-1), _ D... E-(c-1,-). M :GD1FF,..x+2y-1-0. B $.=1-2y,DF-+y-(1-2y)+= #y-4-一#(#-)}+# 设M(1,1,m),所以B.E-(o,-,-1), D.M-(1,1,m-1). “:o<y<1..当y- 因为D.M1FF,D. MIB.E. 所以DM·EF-0,且DM·BE-0. 又y一0时,线段DF长度的最大值是1, 所以 而不包括端点,故y一1不能取; 解得m-,即M为B.BB的中点. 56