训练四 空间向量的坐标及运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练四 空间向量的坐标及运算 7.空间向量a=(2,3,-2),b=(2,-m, 基础练了巩固应周 -1),如果a⊥b,那么b= 1.已知向量a=(1,-2,3),b=(2,一1， 8.已知向量a=(2,-1,一2)，b=(1,1,-4). 一4)，则a·b= () (1)计算2a-3b和2a-3b: (2)求(a,b). A.-8 B.-7 C.-6 D.-5 2.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0), a+b=√29，且A>0,则入等于() A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知向量a=(1,2,1),b=(2,1,一1)，则 a与b的夹角为 () A.30 B.45° C.60 D.120 4.(2022·武汉高二期末)（多选）已知向量 a=(1,一1，m),b=(-2,m一1,2)，则下列 结论中正确的是 A.若|a=2,则m=士√2 B.若a⊥b,则m=一1 C.不存在实数A,使得a=b D.若a·b=一1，则a+b=(一1，一2， -2) 5.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c =(3,-6,3),且a⊥c,b∥c,则a十b= A.√10 B.3 C.4 D.22 6.设向量a=(1,3,4),b=(2,5,1),则 (a-b)·(a+b)= 7 ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) 9.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2). 13.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1), (1)若(a+b)∥(2a+b),求实数k: 若向量b同时满足下列三个条件： (2)若向量a十b与2a十b所成角为锐角， ①a·b=-1:②1b=3:③b与c垂直. 求实数k的取值范围. (1)求向量b的坐标： (2)若向量b与向量d=(1,-2山共 线，求向量a一b与2b+3c夹角的余 弦值. 能力练瑟移运用 10.已知向量a=(2,一1,2)，b=(2,2,1),则以 a,b为邻边的平行四边形的面积为() A.65 C.4 D.8 2 B.√/65 创新练素能培优 1.已知向量a=(5,3,10,b=(-2,-号)， 14.(多选)设向量=(a,b,0),v=(c,d,1),其中 若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值 a2+=c十=1，则下列判断正确的是 范围为 、 () 12.已知空间向量a=10,0).6=(号受.o。 A.v为定值 B.u·v的最大值为√② 若空间向量c满是c…a-2c·b-号且对 Cu与夹角的最大值为买 任意x,y∈R,c-(xa+yb)|≥c-(xa十 D.ad-bc的最大值为1 b)川=1(x%∈R),则|c= 8cos(Ac,DB)=AC.D正 4.解析对于A中，由a=2,可得√个+（一1）十m= 2,解得m=土2，故A选项正确：对于B中，由a⊥b,可 (2BD.AD=(b叶c-a)·b=b1+b·c-b:a=l. 得一2一m十1十2m=0,解得=1，故B选项错误：对于 1=-2λ， 答案(1)1 3(21 1 C中，若存在实数A,使得a=b,则一1=A(m一1)，显 m=2入， 13.解令CA=a,CB=b,CC.=c, 然入无解，即不存在实数入，使得a=b,故C选项正确： 则a=1b=1,lcl=2且a·b=a·c=b·c=0. 对于D中，若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解 (DBN-CN-CB-CA+AN-CB-a+ze-b. 得m=0,于是a十b=(一1，一2,2)，故D选项错误 答案AC B=√(a+c-b】 5,解析因为a⊥c,所以3x一6十3=0，解得x=1,所以 -Va+ie+bta.c-2a.b-b.c a=111.周为6/c,所以号-产=子，解释y -2,所以b=(1,-2,1),所以a+b=(2,-1,2),所以 =V1+×4+1=. a+b=√/2+(-1)+2=3. (2)BA:-CA,-CB-CA+CC.-CB-a+e-b. 答案B 6.解析(a一b)·(a十b)=(一1，-2,3)·(3,8,5)= CB,=CB+CC=b+e, -3-16+15=-4. 所以BA,I=√(a+c-b) 答案一4 7.解析，向量a=(2,3,一2)，b=(2,一m,一1)，且 =、a+c+b+2a·c-2a·b-2b·c=6. a⊥b, CB,|=√5，BA·CB,=(a+e-b)·(b+e) .a·b=0,.2×2一3m十2=0，解得m=2,,b= =a·b+a·c+b·c+c2-b-b·c=4-1=3. (2,-2,-1),.1b=√2+(-2)+(-1)=3. →BA·CB 答案3 所以cOs〈BA,CB,)= 3/30 IBA1ICB√6×510 8.解(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,一4)= (1,-5,8),|2a-3b|=√/+(-5)+8=3v10. I4.证明设A,B,=a,A,D,=b,A,A=e, a·b 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,a=b=cl. :A0-Ai+0-=Ai+号+M)=e+0+ 2sab-1a:oX3E号.：0<a.b ≤，周光，a:b=草 号b.BD=AD-AB=b-a, 9.解(1)由已知可得，十b=(1一k,1,2k), G云-+元-+a+=+ 2a十b=(1,2,2),图为(a十b)∥(2a十b), 2 b (2)由(1)知，a+b=(1一k,1,2k),2a十b=(1,2,2), A0.Bi-(e+a+b）b-a 1. 因为向量a十b与2a+b所成角为锐角， 所以(a+kb)·(2a+b》=(1一k,1,2k)·(1,2,2)=1 =e…b-e…a+aba+-b 十2+>0，解得>-1又当k=2时，(a+)∥(2a十 =2w-a)=2br-a19=0 b,可得实数表的取值范国为1>一1且k学号》 于是OLBD.同理可证AO1O店 10.解析依题意得a=b1=3,别cos(a,b)=。: 训练四空间向量的坐标及运算 lalb= 1.解析由已知可得a·b=1×2一2×（一1）十3×（一4） 所以nab)=俪，则手行回边形的面款S=口 4 =-8. 答案A ·bsina,b)=√65. 2.解析由a=(0,一1,1)，b=(4,1,0), 答案B 则a十b=A(0,-1,1)十(4,1,0)=(4,1-入，A), 1.解析折由已知得a·b=5×(-2)+3+1X(-号) 所以|a+b|=+(1一1)+x=√29，且>0. 整理可得1一1一6=0，解得1=3(1=-2含). 3一是因为a与b的夫商为纯角所以a·b<0, 答案C 3.解析向量a=(1,2,1),b=(2,1,-1),则a=6, 中3-号<0，所以1得 b=6,设a与b的夹角为0，则cos0=a·b a·b 若a与b的夹角为180°，则存在入<0，使a=h(A<0), 5=-2λ 1×2+2×1+1×(-1D-1 √6XW6 ,则0=60，故选C 即68.D=(-2,号）所以3= 答案C 1=- 54 所以= 51 2.解折2AB-AC=(-4.5,2),所以2AB-AC1= 35. 故1的取值范周是(-©，一号)U(号，号) 答案A 答案（-，-)U(吕餐》 3.解析设AC与AB的夹角为A.由题意，得AC=(一1,1,0)， AB=(0,3,3) 12.解析：空间向量a=(1,0,0),b= AC·AB 3 1 .cos 0= 间向量c=m,,),又c·a=2,c…b=2: 5 ACIABI X32 又0≤0≤180°，，.0=60 m=2,安m+号-号m=2= 答案C 4.解析因为A(1,2,3),B(一2，-1,6)，C(3,2,1),D(4,3,0), .空间向量c=(2,w3,z). 所以AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1),可得AB 又由对任意T,y∈R, -3CD,所以AB∥CD |e-(a+3b)|≥|e-(xa+yb)l=1, 答案B 则=1，故c=√2+(5)+1=22. 5.解析法-设OQ=1OP,则QA=OA-OQ=OA 答案2√② 13.解(1)设b=(x,y,),则由题可知 AOP=(1-1,2-4.3-2).QB=0B-OQ=OB-10P 2.x+y-2x=-1, =(2-A.1-入，2-2a).所以QA·QB=(1-1,2-1,3 x+y2+=9, 2x)·(2-a,1-A.2-2a)=2(3x-8x+5)= 一x十x=0, 2[3(-)广-号]当A=音时，Qi·Q店取得最小 fx=2, 「x=-2, 解得y=一1，或y=一1， 值，此时点Q的坐标为（停专号）】 x=2, =一2， 所以b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2). 法二设OQ=AOP=(A,a,2A),其中1≠0， 因为入；λ：2入=1；1：2，规察选项只有C待合， (2)调为向量6与向量d=(1,-子1)共线， 答案C 所以b=(2,-1,2) 6.解析因为DB,的坐标为(4,3,2)，D(0,0,0), 又a=(2,1.-2).e=(-1,0,1), 则B(4,3,2),所以B(4,3,0),D1(0,0.2), 所以a-b=(0,2,-4).2b十3c=(1.-2,7), 因此BD=(一4，-3,2) 所以(a一b)·(2b+3c)=-32, 答案(-4，-3.2) 且a-b1=25,12b+3c|=3w6, 所以a一b与2b+3c夹角的余弦值为 7.解析由题意可得AB=(1,一1,3)，AC=(p-1,一2， cosa-b,2b+3c)=ab:2h+3e)=-8/30 g+4),A,B,C三点共线，则AB∥AC,则存在实数k, a-b2b+3c 45 (p-1=k, k=2, 14.解析由向量u=(a,b,0),v=(e,d,1),其中a2十b= 使得-2=一k,解得p=3,因此，p十=5. g十4=3k, c+d=1,知：在A中，v=++1=1+ q=2, 答案5 2是定值：故A正确：在B中M=ac十bd< 8.解(1)a∥b,,存在a,使得b=a,即（一2，y,一1） 2 ++d-a+6c+d=1,且仅当a=c,h=d时， =(x,4,1)=(Ax,4,入)， 2 2 -2=Ax, 「x=2, 取等号，因此“·？的最大值为1，故B错误：在C中， 则y=4玖.解得y=-4,又b⊥c, 一1=a, λ=-1. 由B可得：u·≤1，∴.一1≤u·≤1， ac+bd ∴.b·c=-2X3-2y-=0,可得=2， ∴cos(.)=w1·可-Va+6·、+d+T 所以a=(2,4,1),b=(一2，-4，一1)，c=(3,-2,2). (2)可得a+c=(5.2,3),b+e=(1,-6,1), 1 设a十e与b十e的夹角为8， 1×2 2 (a+c)·(b+c) u与r的夫商的最大值为，故C正确：在D中， 则cos01a+e·1b+d 5×1+2×(-6)+3×1 2 ad-bc≤+d+十e=。+c+d=1. √5+2+3·√/+(-6)+17 19 2 2 2 9,解如图所示，以D为坐标原点， .ad一的最大值为1，故D正确. DA,DC,DD,所在直线分别为x 答案ACD 轴y轴、之轴，建立空间直角坐标 训练五空间直角坐标系及其应用 系Dxy,设正方体棱长为1，则 E 1.解析因为ON=AB,AB=OB-OA,所以OB=ON+ A1,0.0,E(0,0,2）B(1,1 0A=(5.-1,2)+(4,2,-1)=(9,1,1). 0),B1(1,1.1),D(0,0,1), 答案B 55