训练三 空间向量基本定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练三空间向量基本定理 5.在四面体OABC中，点M在OA上，且OM= 基础练了现固应用 2MA.N为BC的中点，若0元=号Oi+O6 1.对于空间的任意三个向量a,b,2a一b,它 们一定是 十元，则使G与M.N共线的x的值为 A.共面向量 ( B.共线向量 A.1 B.2 c号 n.号 C.不共面向量 6.若{a,b,c}是空间的一个基底，且存在实数 D.既不共线也不共面的向量 x,y,,使得0十b十℃=0，则x,y,≈满 2.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b, 足的条件是 CD=7a一2b,则-定共线的三点是（) 7.正方体ABCD-A,BC,D,中，取{AB, A.A.B,D B.A,B.C AD,AA}为基底，若G为面BCC1B的中 C.B.C.D D.A.C,D 心，且AG=xAB+yAD+AA,则x+ 3.(多选)若向量MA,MB,MC的始点M和 y+= 终点A,B,C互不重合且无三点共线，则不 8.如图所示，已知矩形 ABCD和矩形ADEF所 能使向量MA,MB,MC成为空间一组基底 在的平面互相垂直，点 的关系的是 M,N分别在对角线BD,AE上，且BM= A.0M-oi+号Oi+30d 号BD,AN=号AE.求证：向量M.CD, B.MA=MB+MC DE共面. C.OM=0A+0B+0C D.MA=2 MB-MC 4.点P是矩形ABCD所在平面外一点，且 PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上 的点，且PM=号P心，PN=N,则满足 MN=xAB+yAD+:AP的实数x,y,之 的值分别为 A-号后后 c-号日-日 n-景-合后 5 ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) 9.如图，在长方体ABCD- 13.如图，在直三棱柱ABC- A1BCD,中，AB=1,BC=2, ABC中，CA=CB=1, AA1=3,E为CC1上的点，且 ∠BCA=90°，棱AA1=2,点 CE=1,求AB,与BE夹角的余 N为AA,的中点. 弦值. (1)求BN的长： (2)求cOs(BA1,CB,)的值. 能力练疑移运周 创新练了索能袋优 10.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满 足AB·AC=0,AC·AD=0,AB.AD 14.如图所示，在正方体 D =0,则△BCD是 ABCD-A,B,CD中，O A.钝角三角形 B.锐角三角形 为AC与BD的交点，G C.直角三角形 D.不确定 为CC的中点，求证： 11.如图，已知PA⊥平面 A,O⊥BD,A,O⊥ ABC,∠ABC=120°，PA 0G. =AB=BC=6,则PC等 于 () A.62 B.6 C.12 D.144 12.已知正方体ABCD A'BC'D'的棱长为1， 设AB=a,AD=b,AA =c,则 (DAC.DB'- :cos(AC', DB'>= (2)BD·AD= 6当CPLB,C时，CP取最小值，最小值为CCCB 7.解析如图，AG=AB+BG= B C -3×1 Ai+号BG-A店+合(BC+ 2 21 BB,) 所以C产的最小值为是，即C户.D,P的最小值为是 =AB+2Ai+号AA 训练三空间向量基本定理 由条件知x=1y=合= 1 1.解析2a-b=2·a+(-1)·b,∴2a-b与a,b 共面 x+yt=1+号+号-2 答案A 答案2 2.解析因为AD=AB+BC+CD=3a十6b=3(a十2b)= 8证明因为M在BD上，且BM=专BD, 3AB,故AD∥AB.又AD与AB有公共点A,所以A,B, D三点共线。 所以M店-专丽-号Di+专A诚 3 答案A 同理A=号AD+D定 3.解析对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x十y 所以M=M店+BA+AN=(传DA+号A)+BA+ +z=1)→M,A,B,C四点共面知，MA,MB,MC共面. 对于B,D,易知MA,MB,MC共面，故只有C中MA, (得Ai+}D)-A+D=号C市+D成. MB,MC不共面，只要MA,MB,MC共面，就不能作为一 又CD与DE不共线，根据共面向量定理可知MN,CD, 组基底，故选ABD. DE共面. 答案ABD 9.解令AB=a,BC=b,AA,=c, 4.解析如图所示，取PC的中点 .|a=1,b1=2,lcl=3,a·b=a·c=b·c=0, E,连接NE,则MN=EN-EM {a,b,c}能作为一组基底. CD-(PM-PE)-CD AB,-a+e.BE-BC+CE+ -(号r心-Pc)=c ∴AB,BE=(a+c)·(b+3c)=a…b+号ac+ b.c+gem3. 6P心=-2A店-日(-AP+ 又AB,I=√IO,|BE=√5， 店+ò)=-号店-吉ò+号，比较知 .'.cos(AB,BE)=- 332 10×V510 -号y=一行=日故选D 10.解析如图所示，设AB=a,AC 答案D =b,AD=c, 5.解析 oN=oi+0C,0M=号oi, CB·CD=(a-b)·(c-b)= a·c-b·c-a·b+b=b>0. 假设G,M,N三点共线，则存在实数A使得 同理BC·BD>0,DB·DC>0. 0G=A0N+1-A)0M=(0B+0C)+21-20d ·∠CBD,∠BCD,∠BDC均为 锐角. =21心oi+合o丽+合0心=号oA+÷0成+ 答案B 3 11.解析PC-PA+AB+BC, F0c, 六PC=PA+AB+BC+2AB.BC+2PA·AB 210=3 +2PA·BC=36+36+36+2×6×6×cos60°+2×6 3 ×6×cos90°+2×6×6×cos90°=144，.1PC1=12. 得 解得x=1,入=2 答案C 12.解析(1)AC.DB=(a+b+c)·(a-b+c)=a'+ 含- c2+2ac-b=1, 答案A |ACT=(a+b+c)2=a+b+c+2a·b+2a·c+ 6.解析由于{a,b,c}是空间的一个基底，所以当xa十b 2b·c=3,|AC1=3, 十c=0时，x=y=z=0. 1DB1'=(a-b+c)2=a+b+c2-2a·b+2a·c- 答案x=y=x=0 2b·c=3,.1DB1=3, 53 .cOs(AC,DB)=AC.DB FAC·|DB/3. 4.解析对于A中，由a-2,可得√十(-1)十m- 2,解得m=士√2，故A选项正确：对于B中，由a⊥b,可 （2BD.AD=(b+c-m·b=b+bc-b·a=1 得一2-m十1十2m=0,解得m=1,故B选项错误；对于 (1=-21, 答案(11号(21 C中，若存在实数，使得a=b,则一1=1(m-1),显 13.解令CA=a,CB-=b,CC=c, m=2入， 然入无解，即不存在实数入，使得a=b,故C选项正确； 则la=|b1=1,lc=2且a·b=a·c=b·c=0. 对于D中，若a·b=-1,则-2-m+1+2m=一1，解 (1)BN-CN-CB-CA+AN-CB-a+7e-b, 得m=0,于是a十b=(一1，一2,2)，故D选项错误 答案AC Bi=√(a+zc-】 5.解析因为a⊥c,所以3x一6十3=0，解得x=1,所以 =V日+e+6+a…e-2a…b-b…e a=1,11.因为b∥6，所以号-6=号，解释y -2,所以b=(1,一2,1)，所以a十b=(2,一1,2)，所以 =V1+×4+1=5 1a+b|=√/2+(-1)+2=3. (2)BA,-CA;-CB-CA+CC,-CB-a+e-b, 答案B 6.解析(a-b)·(a十b)=(一1，一2,3)·(3,8,5)= CB,=CB+CC=b+c, -3-16+15=-4. 所以|BA,I=√(a+c-b) 答案一4 7.解析向量a=(2,3,一2)，b=(2,一m,一1)，且 =√a+c+b+2a·c-2a·b-2b·c=√6. a⊥b, 1CB,|-√5，BA1·CB1=(a十c-b)·(b+c) ∴.a·b=0,∴.2×2-3m+2=0,解得m=2,∴.b= =a·b+a·c+b·c+c2-b2-b·c=4-1=3. (2,-2,-1),∴.|b|-2+(-2)+(-1)-3. BA·CB 答案3 所以Os(BA1,CB)= 3=30 IBA ICB6X/5 10 8.解(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)= (1,-5,8),|2a-3b|=+(-5)+8=3/10. 14.证明设A1B=a,AD1=b,A,A=c, 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,la=lb=|cl. A0-AA+A0-AA++AD) (2om(-Ta ≤，因北，a,b)=子 26.BD-AD-AB-6-a, 9.解(1)由已知可得，a十b=(1-k,1,2k), 云-6心+-=号+0)+2=2a+ 6 2a+b=(1,2,2),因为(a+b)∥(2a+b), 所以卡-合-警，可得=是 (2)由(1)知，a+b=(1-k,1,2k),2a十b=(1,2,2), A0.Bi-(+2a+2b）b-@ 因为向量a十与2a十b所成角为锐角， 所以(a十b)·(2a十b)=(1-k,1,2k)·(1,2,2)=1 =cb-ea叶ab-+28-2b +2+4>0,解得>-1.又当=2时，(a+)∥(2a+ =2w-a)-21br-la9=0 b创，可得实数表的取值范周为{刻>-1且+号} 于是A,O1BD.同理可证AO1OG 训练四空间向量的坐标及运算 10.解析依题意得a=b1=3,剥cosa,b)=:女 1a11b 1.解析由已知可得a·b=1×2-2×(-1)十3X(一4) 音，所以na,6=,则手行回边形的面软S=a 4 =-8. 答案A ·blsin(a,b)=√65. 2.解析由a=(0,一1,1)，b=(4,1,0) 答案B 则a+b=λ(0，-1,1)十(4,1,0)=(4,1-λ，A), 1山.解析由巴知得a·6=5×(-2)+3+1×(-号） 所以a+b=√4+(1-)+x=√29，且A>0. 整理可得入2一入一6=0，解得1=3(=一2舍) 3一号，因为a与b的夹角为能角，所以a·b<0, 答案C 3.解析向量a=(1,2,1),b=(2,1,-1),则a=√6， 中3-号<0，所以1器 b1=6,设a与b的夹角为0，则cos0=Ta·万 a·b 若a与b的夹角为180°，则存在1<0，使a=b(入<0)， 5=一2, 1X2+2X1XD=立，则0=60，故选C 6 X6 即53,1)=(-2,-号），所以3=以， 答案C 54