训练二 空间向量的数量积-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

11.解析集合P是由长度为3a的元素组成的，所以本题：4.解析法一BB=CC,.(AC,BB)=(AC,CC) 转化为求棱长为a的正方体ABCD-A,B,CD中的长度 =∠ACC. 为3a的对角线的条数.正方体对角线的长度为√3，每 又Rt△ACC,中，AC=,3+4=5,CC,=5, 条体对角线对应2个向量，正方体共有4条体对角线， 答案8 ∴.AC,=√5+5=52，∠ACC=45, 12.解析根据空间向量的加减法运算，对于①：AB+BC ∴.AC·BB,=|AC1·1BB,1·cos∠AC,C=5/2×5 =AC位成立：对于③：当AB,BC,AC方向相同时，有 ★ 2 =25. IAB十|BCI=|AC:对于①：当BC,AB,AC共线且 BC与AB,AC方向相反时，有1AB一|AC1=|BCL.只 法二AC在CC上的投影为CC, 有②一定不成立， ∴AC,·BB=AC·CC=CC1·CC,1=25. 答案② 答案B 13,证明，平行六面体的六个面均为平行四边形， 5.解析如图，由AB⊥面 ..AC=AB+AD. D BBCC得AB⊥BC,所以 AB'=AB+AA', 四边形ABCD,的而积为 AD'=AD+AA', |AB||BCI,故A正确： ∴.AC+AB+AD=(AB+ ,△ACD,是等边三角形， .∠AD,C=60 AD)+(AB+AA')+(AD 又AB∥DC, +AA')=2(AB+AD+AA'). 所以向量AD,与A,B的夹角 文：AA'=CC,AD=BC. 为120°，故B错误： AB+AD+AA-AB+BC+CC-AC+CC- 由向量加法的运算法则可以得到AA,十A,D,十A,B, AC,∴AC+AB+AD=2AC AC.AC.=3A,B.. 14.(1)A F-EF-BA+FF,+CD+F A .(AM,+A,D,十A,B,)=3(A,B,),故C正确： =AF+FE+AB+BB+CD+DC=AE+AB+0 -AE+ED,=AD 向量运算可得A,B,-A,D,=D,B, :在正方体ABCD-A,B,CD中，D,B,⊥面AA,CC AD,在图中表示如图所示 ∴DB⊥AC.∴AC·D,B,=0,故D正确. 答案ACD 、B1 D 6.解析 号ab- 答案3如 (2)DE+E,F,+FD+BB,+A,E 7,解析：F=EF产=(EC+CD+DF -DE+EF+FD+BB,+B.D,-DF+FD+BD =心+C市+DF+2d.CD+元.DF+CD. =0十BD,=BD,BD在图中表示如图所示。 DF) =12+22+12+2×(1×2×c05120°+0+2×1× c08120°)=2， ∴EF|=2,.EF的长为√2. 答案√② 8.解(1)如图所示，AC=2a, 训练二空间向量的数量积 AO在AC上的投影为AO, L.解析因为BD'∥BD,所以A'B,BD'的夹角脚为 A'B,BD的夹角，因为△A'BD为正三角形，所以 0=号. ∠A'BD=60°，由向量夹角的定义可知(A'B,BD)= 120°，即(A'B,B'D'>=120 Ad·aC=a0.AG-号a 答案D X2a=a. 2.解析由a-2b+3cF=|aF+4b1+9|c-4a· (2)取AB的中点E,.ELAB. b+6a·c-12b·c=14,得a-2b+3c=14. .AO在AB上的投影为AE 答案B 3.解析n⊥(m十n),∴.n·(m十n)=0,即1·m·n+ 又1AE=2Ai=a… n=0,∴.1 mn cos(m,n》十n=0. 由已知得1X是m×号十n=0,解得1=-4 :AO..AB-IAEI.IABI-xa-2 答案C (3):(A,B.B,C)=(AB.A,D)=60°， 51 又A,B1=|B,C=2a, 所以5·SB=2×2× :.A,B.B.C=A,BIB,Clcos(A,B.B,C)=/Zax/a os∠ASB.S元.SD=2×2× ×cos60°=a2. cos∠CSD. 9.BA,-BA+AA,-BA+BB,.AC-BC-BA, 而∠ASB=∠CSD., 且BA·BC=BB·BA=BB,·BC=0, 于是SA·SB=SC·SD,因此④ 正确， BA·AC=-BA=-1. Si=2.SC1=2,AC=2,所 又AC=√2，IBA,I=√I+2=3 以SA·SC≠0，所以⑤不正确。 BA,·AC .cos(BA,AC)= _-1-6 答案④ IBA,I1ACI 6 6 13.解设AB=aAD=b.A=c. 所以向曼BA,AC美角的余弦值为-⑤ 则a·b=b·c=c·a=0,a=a=1,b2=b=1, 6 lc'=e=1. 10.解析0i=O成+B成=0成+号8C=0i+ a成-i+亦=-+u0=u-60 0-0i)=2oi+0d,. c店-元+=--a o-oi+E-oi+号A0-Oi+号0i-oi i.EF.cG-(o-b-(-- -2oi+o0,-2oi+2o+0) =2(+)- =(20i+oi+00). =a-6-o)=a+6+)=是 由题意可知，OA1=|O1=OC1=1, =(-)=+- ∠AOB=∠BOC=∠AOC=, 由空间向量数量积的定义可得 ∴-，cG=平 oi.0i=0i.0-0d.0i=1r×cms吾-号， cos(EFCG) EF.CG EFLICG 17 所以.0正=6(20i+0i+0元)'=40i+0丽 +0元+4oi.oi+2oi.0+40.0i= EF.CG片成商的余孩位为哥 （2):Fi=Fi+BC+CC+Ci 因地.o=年 a-0+b++d 答案B 3 I1.解析设∠ABD=a,可得∠ABC=受-a,则a为锐 c. 角，在四面体ABCD中，AB=6,BC=3,BD=4, -（层++=d++ 则BA·(BC+BD)=BA·BC+BA·BD=|BA· 64 BC1cos(受-a）+1BA·BD1cosa=18sina+ 24osa=30sina十92，其中9为锐角，且tang=亭 H的长为 14.解如图，因为CC⊥平面A,BC,D,所以∠CB,C= :0<a<受，则ga十<受十g: 60°，∠DCD,=45,设DD =I: 所以，当a十g=受时，BA·(BC+BD)取得最大值30. 则CD=x,CC=x,CB 答案B 12.解析SA+SB+5元+sD=(S+50+(SB+sD =,nA-9 因为AC=2,所以A,C=2,所 =2S0+2S0=4S0≠0，①不正确： 以D,C+DA=AC,即x SA+SB-SC-SD-SA-SC+SB-SD-CA+DB +(停)=2解释一8， ≠0，②不正确： 由题意可得SA-SB+SC-SD=BA+DC=0,所以③ 所以CC,=√3，C,B=1,B,C=2, 正确； 所以CP.D,P=CP.(D,C+CP)=CP.D,C+ 又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB= CP-CP. SC=SD-2. 52 当CPLB,C时，CP取最小值，最小值为CC:CB 7.解析 如图，AG=AB+BG= -×1= AB+- BC-A店+(+4 2 2 BB) 所以C产的最小值为是，即C户.DP的兼小植为是 -AB+2AD+2M4. 训练三空间向量基本定理 1.解析2a-b=2·a+(-1)·b,2a-b与a,b 由条件知=1y=名=安 1 共面 +y+=1+号+=2 答案A 答案2 2.解析 图为AD=AB+BC+CD=3a十6b=3a十2b) 8证明国为M在BD上，且BM=号BD, 3AB,故AD∥AB.又AD与AB有公共点A,所以A,B, D三，点共线 所以M成-号成-i+号a诚 31 答案A 网星A成=号+号D成 3.解析对于A,由结论OM=xOA+yOB+xOC(x十y 所以M=M店+BA+A成=(DA+3A)+Bi+ 十2=1)→M,A,B,C四点共面知，MA,MB.MC共面. 对于B.D,易知MA,MB,MC共面，故只有C中MA, (3Ai+号D)=号i+D=号i+号D MB,MC不共面，只要MA,MB,MC共面，就不能作为- 又(CD与DE不共线，根据共面向量定理可知MN,CD, 组基底，故选ABD, DE共面. 答案ABD 9.解令AB=a,BC=b,AA,=c, 4.解析如图所示，取PC的中点 .la=1,b=2,cl=3,a·b=a·c=b·c=0, E,连接NE,则MN=EN-EM .a,b,c}能作为一组基底. CD-(PM-PE)-TCD :A=a+e.B正=C+cE=b+号e (得P元-P心)=c ∴AB,·B成=(a+c)·(b+）=a·b+ae+ - b.e+ge-3. 合元--Ai-名(-泸+ 又AB,=10,BE=5, A+)=-号店-君花+君正，比较知 '.cos(AB,BE)=- 3 3√② 10×510 导y=一g=名，故选n 2. 1 10.解析如图所示，设AB=a,AC 答案D =b.AD-c. CB.CD=(a-b)·(e-b)= 5.解析 oN=oi+0.0M=号oi, a·c-b·c-a·b+b=b>0. 假设G,M,N三点共线，则存在实数A使得 同理BC·BD>0,DB·DC>0. 0G=x0N+1-x0M=(0B+0+21,-0A ·∠CBD,∠BCD,∠BDC均为 3 锐角. -21号心oi+含0+含0元-号oi+普0成+ 答案B 3 11.解析P元-PA+AB+BC. 花 .PC-PA+AB+BC+2 AB.BC+2PA.AB +2PA·BC=36+36+36+2×6×6×cos60°+2×6 3 ×6×c0s90°+2×6×6×c0s90°=144，.1PC=12. 得 解得x=1入=2 答案C 12.解析(1)AC.DB=(a+b+c)·(a-b+c)=a+ 入 =4 c+2ae-b=1, 答案A 1AC1F=(a+b+c)°=a+b+e+2a·b+2a·c+ 6.解析由于(a,b,c}是空间的一个基底，所以当阳十3b 2b·c=3.AC1=3, 十e=0时，x=y=g=0. 1DB1P=(a-b+c)°=a+b+c2-2a·b+2a·c- 答案x=y=之=0 2b·e=3,.DB'1=5 53训练二空间向量的数量积 7.已知正四面体ABCD的棱长为2，E,F分 基础练现固应用 别为BC,AD的中点，则EF的长为 1.正方体ABCD-AB'CD'中，(A'B,BD)= 8.已知棱长为a的正方体ABCD-A1BC,D A.30° B.60° 中，O为上底面ABCD的中心.求： C.90° D.120° (1)AO·AC 2.已知a,b,c是两两垂直的单位向量，则 (2)AO·AB: a-2b+3c|等于 () (3)AB·BC A.14 B.√14 C.4 D.2 3.已知非零向量m,n满足4m=3|n|, cos(m.n)= 3,若n⊥(m十n),则实数t 的值为 A.4 B.-2 C.-4 D.1 4.如图，在长方体ABCD A1BC,D1中，AD=3, AB=4,AA1=5,则AC 9.如图，在直三棱柱ABC-A ·BB,的值为 ( A,BC1中，∠ABC=90°， A.52 B.25 AB=BC=1,AA1=√2， C.252 D.55 求向量BA,,AC夹角的余 5.(多选)(2022·潍坊高二期中)在正方体 弦值。 ABCD-A1BC,D,中，下列结论正确的是 () A.四边形ABCD,的面积为|AB1|BC B.AD,与A,B的夹角为60 C.(AA1+AD,+A,B)=3(A,B,) D.AC·(AB,-AD)=0 6.已知a,b为两个非零空间向量，若|a 22,b1=2 ,a·b=-2,则(a,b) 3 ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) (1)求EF,C'G所成角的余弦值： 能力练/进移运用 (2)求FH的长. 10.如图所示，正四面体 OABC,棱长为1，D 为BC的中点，E为 D AD的中点，则OE的 B 长度为 A.5 B四 c n号 11.在四面体ABCD中，AB=6,BC=3,BD =4,若∠ABD与∠ABC互余，则BA· (BC十BD)的最大值为 () A.20 B.30 C.40 D.50 12.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S到A,B,C,D的 创新练索能将优 距离都等于2.给出以下结论： 14.如图，长方体ABCD -AB,CD中，BC CD与底面所成的 角分别为60°和45°， AC=2,点P为线段 BC上一点，求CP·DP的最小值. ①SA+58+sC+sD=0: ②SA+SB-sC-SD=0: ③SA-SB+SC-SD=0: ④SA·SB=SC·SD: ⑤SA·SC=0. 其中正确结论的序号是 13.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB'C'D 中，E,F分别是D'D,BD的中点，G在棱 CD上，且CG=CD,H为C'G的中点. A D