1.1.1 空间向量及其线性运算【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高二数学暑假预习人教B版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 圃知识清单 知识点1空间向量的概念 1.空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的模（或长度）.空间向量可用有向线段表 示，有向线段的长度表示向量的大小，向量a的始点是A,终点是B,则向量a也可记作AB,其模记为d或AB . 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，记为0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a大小相等、方向相反的向量，称为a的相反向量，记为一a 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行（也称为 平行（共线）向量 两个向量共线) 相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量 3共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称 这些向量共面；否则，称这些向量不共面 【注意】(1)平面向量是一种特殊的空间向量 (2)任意两个空间向量可以相等，但不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 (3)零向量的方向是任意的. (4)共线向量不一定具有传递性，比如其中一向量为0时，不具有传递性 (⑤)已知非零向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c. 知识点2空间向量的加减法运算 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭，和为0 加法 三角形法则 图形叙述 运算 平行 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 1116 四边形法则 B 图形叙述 atb b a 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 减法 三角形法则 运算 图形叙述 0 加法 交换律 a+b=b+a 运算 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 【注意】()求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点 (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， AA2+A2As+AgA+.+An-1An=AAn (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， A 42+As+A+..+An4=0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点，a,b,c为邻边作平行六面体，则，b,c 的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量 知识点3空间向量的数乘运算 定义 实数与空间向量α相乘的运算简称为数乘向量 >0且a40 a与向量a的方向相同 几何意义 2<0且a≠0 a与向量a的方向相反 MAal =A-lal 1=0或a=0 a=0,其方向是任意的 结合律 (ua)=(0u)a 运算律 分配律 (a+)a=a+a,(a+b)=1a+b 【注意】(1)当λ=0或a=0时，a=0. (2)1的正负影响着向量a的方向，1的绝对值的大小影响着a的长度， (3)向量入a与向量a一定共线， (④)空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算 2/16 知识点4两个空间向量的夹角 (I)定义：给定两个非零向量a,b,在空间中任选一点O,作OA=a,O克=b,则大小在[0，内的∠AOB称为 a与b的夹角，记作(a,b). (2)如果(，b)=受，则称向量a与向量b垂直，记作a⊥b (3)约定零向量与任意向量都垂直. 知识点5空间向量的数量积 1.空间向量的数量积 定义：己知两个非零向量a,b,则ablcos〈a,b〉称为a,b的数量积（或内积），记作ab.即ab=albcos〈a, b〉 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.数量积的几何意义 (1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线（或平面a),过a的始点和终点分别作直线1（或平面a )的垂线，假设垂足为A,B,则向量AB称为a在直线（或平面a)上的投影.如图所示. (2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积特别地，a与单位向量 e的数量积等于a在e上的投影a'的数量， 3.空间向量的数量积的性质 垂直 若a,b是非零向量，则a⊥b=ab=0 同向：ab=lalb 共线 反向：ab=-labl (1aa=lallalcos (a,a)=la2; 向量数量 模 2lal=va.a: 积的性质 (3)lab≤adb 夹角 ab 若0为a,b的夹角，则cos0= (1)数乘结合律：(a)b=ab): 运算律 (2)交换律：ab=ba (3)分配律：(a十b)c=ac十bc 【注意】(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量. (2)投影的数量为alcos(θ为a与b的夹角) 3/16 (3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a,b,c,等式(ab)c=a(bc)一般不成立 考点汇总S 考点一空间向量的有关概念 考点二 空间向量的加减运算 考点三空间向量加减运算的几何表示 考点四利用空间向量判断共线 考点五利用共线求参数或值 考点六空间向量的数乘运算及其几何表示 考点七求空间向量的数量积 考点八空间向量数量积的应用 考点突破 考点一空间向量的有关概念 1.(25-26高二下·江苏淮安阶段检测)（多选）下列四个命题中，说法不正确的是() A.空间任意两个单位向量必相等 B.la-=a+是a,6共线的充分不必要条件 C.对于非零向量c,由ac=b.c,则a=b D.若向量AB,CD满足AB>CD,则AB>CD 2.(25-26高二上·贵州毕节阶段检测)下列说法错误的是() A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.园=同是向量ā=五的必要不充分条件 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 3.(25-26高二上·重庆期中)关于空间向量，下列四个结论正确的是() A.共线的单位向量都相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.相反向量指方向相反的两个向量 4/16 D.任意两个空间向量一定共面 4.(25-26高二上·全国期末)下列关于空间向量的命题中，正确的是() A.将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B.若空间向量a,B满足=，则a=6或a=b; C.若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c: D.若空间向量m,,p满足m∥元，万∥p,则m∥p. 考点二空间向量的加减运算 5.(25-26高二·全国·暑假作业)在正方体ABCD-A,B,CD,中，下列各式的运算结果不为向量AC的是() A.AB+BC+CC B.A4+4 D+DC C.BA-BC)-CC D.A4 +A B+B C 6.(25-26高二下·江苏徐州阶段检测)在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则DA-】BA+4C=() 2 A.AE B.AB C.EC D.DE 7.(25-26高二下江苏准安阶段检测)已知四面体ABCD,G是BD的中点，连接4G,则AC+CB+CD)=() A.CG B.AG C.BC D.BC 8.(25-26高二上天津和平期末)长方体ABCD-A,B,CD中，A=a,AD=i,AA=c,则c-a+() A.CA B.CA C.CA D.CA 考点三空间向量加减运算的几何表示 9.(25-26高二·全国暑假作业)如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C中，M为AC的中点，若AB=d,BC=b,AA=c, 则BM可表示为() B M B A.- +6+B.++ 1 C.-3a-16+8 D.1a-36+d 2 2 10.(25-26高二下·江苏苏州阶段检测)如图，M,P分别是四面体OABC的棱BC,BA的中点，且OM=3ON,记 5116 04=a,0B=b,0C=c,NP=() M A.1 a+6-1c 2 B.I 1×1 -ā+-b+-c 36 236 C.-38+36412 1 1 +6-2c 36 D.-2+3b-69 11.(25-26高二上内蒙古包头期中)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AC与BD的交点为点M,设 AB=a,AD=b,AA=c,下列向量中与C,M相等的向量是() D D E -+.5-c++c A.- 2 20-28 1-1i+c 2 D.2-29 12.(25-26高二上·江西南昌·期末)如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，O是底面圆的圆心，AC=BC,D 为SC的中点，则BD=() C A.+0 B.oi-oc-0s C.04+l0c+los 2. D.0A+0C+0S 2 13.(25-26高二上广东惠州期末)如图，在三棱锥0-ABC中，设0A=a,OB=b,0C=c,若AN=NB, BM=2MC,则MN=() 6/16 -》B A. 6 6 6 14.(25-26高二上河南濮阳期末)如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，AB=2A,B,A8=a,AC=b,AA,=c,E ,F分别为CC,A,B的中点，则EF=() A F B B A. -6+B-c+D.+ 44 44 4 2 A 42 15.(25-26高二上湖北黄冈期末)在四面体0-ABC中，设0A=a，OB=b,0C=c,M为AB的中点，则 MC=() 2 2 C.a+b+c D.a-b-c 16.(25-26高二上·安微阶段检测)在三棱柱ABC-A,B,C,中，M，N分别是线段BB,AC上靠近B,A的三等 分点，则A4=() +亚c 2 c. w+而-}c D.3m-花+C 2 考点四利用空间向量判断共线 17.(25-26高二上·广东广州期中)（多选)给出下列命题，其中正确的命题是() A.若d=月，则a=b或a=b B.若向量a是向量的相反向量，则同=同 C.在正方体ABCD-4B,C,D,中，AC=AC 7116 D.若空间向量m、、p满足mln,n∥p,则m∥p 18.(25-26高三·全国.一轮复习)在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，则EF和AD+BC的关系 是·（填“平行”“相等”或“相反”) 19.(25-26高二全国·暑假作业)（多选)下列命题为真命题的是() A.若空间向量a,满足=，则a=b B.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，必有AC=A,C C.若空间向量m,元，p满足m=i,元=p,则m= D.空间中任意两个单位向量必相等 20.(25-26高二上·新疆伊犁期末)（多选）若三个空间向量ā，五，c,下列命题为假命题的是() A.若a,五，c满足ab=b·c,则a=cB.若a川b,b∥，则a∥c C.若a=b,b=c,则a=c D.(a.b).c=a.(b.c) 考点五利用共线求参数或值 21.(25-26高二全国：暑假作业)设e,e,是不共线的向量，己知AB=2e+ke2,CB=e,+3e,CD=2e-e,若A,B, D三点共线，则实数k为： 22.(25-26高二下·全国·课后作业)已知A,B,C三点共线，O为空间任一点，则①0A=20B+u0C;②存在三 个不为0的实数2，m,n,使1OA+m0B+n0C=0,那么使①②成立的μ与1+m+n的值分别为() A.1,-1B.-1,0 C.0,1 D.0,0 23.(25-26高二下·福建龙岩期中)设向量e,,e2,e不共面，己知AB=,+e,+e,BC=e+入e2+e, CD=4e+8e+4e,若A,C,，D三点共线，则1=() A.1 B.2 C.3 D.4 24.(25-26高二上新疆喀什期中)设e,e,是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e+ke2,BC=e+3,, DC=2e-e,且A、B、D三点共线，则实数k的值为() A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 25.(25-26高二下福建龙岩期中)已知g,6,6不共面，若AB=+28,-6,BC=2g+ue,+e,且4，B,C三 点共线，则+4=() A.-3 B.1 C.2 D.3 26.(25-26高二上·全国.单元测试)设向量e,e2,e不共面，己知AB=-3e,-e2+2e,,BC=g+e,-6e, 8/16 CD=4e,+2e,+8e,若A,C,D三点共线，则1= 考点六空间向量的数乘运算及其几何表示 27.(25-26高二下河南新乡期中)如图，在三棱锥C-0AB中，G为AB的中点，AM=4C,则MG=（) A.-04+108+0C B.104+108-10c 3 3 3 2 6 C.-104+108-10c 1 6 D.104+108-10C 2 3 6 3 6 28.(25-26高二上云南昆明期末)平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，BE=3ED,设向量a=AB,b=AD,c=AA, 则() A.花=3a++ 1- 4a+46+4 B. 4a+b 4 1-3÷3- C.M征=4a+4五+4 5-33- D.=4a-46-49 29.(2026高二上全国.专题练习)如图，空间四边形0ABC中，0A=a,OB=b,0C=c,点M在OA上，且满 足OM=2MA,点N为BC的中点，则MN=() B a-26+ A. 2a-3 B.a+b+ -3a+2b+2 Ca+61 2-,21 2a+26-29 D. 3a+3h-20 30.(25-26高二上·山东淄博期中)在斜三棱柱ABC-A,B,C中，M为BC的中点，N为AC靠近C的三等分点， 设AB=a,AC=b,AA=c,则用a,b,c表示NM为() 9/16 +5- 1 A· 1 6 C. D.- 1 6 31.(25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测)如图，在斜棱柱ABCD-A,B,CD,中，AC与BD的交点为点M, AB-a,AD=b,AA=c,MC=() D C B D -C B.-18-8 C. A. 2 n.-+8 32.(25-26高二上·重庆阶段检测)如图，在四面体OABC中，M为棱BC的中点，点N,P分别满足ON=2NM, NA=3NP,则OP=() O A==:=- M B A.10+20B+20c 3 9 B 9 20+3B+oc 9 C. D. 9 3 考点七求空间向量的数量积 33.(25-26高二上陕西汉中期中)已知正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为1，若AB=a,AD=b,AA=c,则 (a+b(B-c)=() A.0 B.2 C.1 D.4 34.（25-26高二上辽宁大连期中)已知正四面体P-ABC,棱长2√3，Q为空间中一点，PQ=1,求QA·QB的最 大值是() A.10 B.11 C.12 D.13 35.(25-26高二下·江苏准安阶段检测)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2,BB,=3,则AB,·AC=() 10/16 A.2 B.3 C.4 D.6 36.(25-26高二全国·暑假作业)（多选）在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列结论正确的是() A.四边形ABC,D,的面积为ABBC B.AD与AB的夹角为60° C.+D+B=34B D.4C(4B-4D=0 考点八空间向量数量积的应用 37.(25-26高二上海南期末)已知空间向量a,五，c的长度均为2，且ab=0,ca=cb=2,则c与a+b的夹 角为() A君 C. 3 D. 38.（25-26高二上山东济南阶段检测)已知空间向量a:销夹角为行且=2，风-1，则ā+26与元的夹角 39.2526商二上广东东莞阶段检测)已知向量a、满足-35-3，且a+26在。-方上的投影向量为a-例 ，则ab=一· 40.(25-26高二上·重庆九龙坡·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD,∠PDC=120°， AB11DC,PD=AD=AB=DC,若点M为棱PC上靠近点C的三等分点，则AM在B上的投影向量为() 2 M B 4 B.5B c D.74B 6 41.(25-26高二上·湖南常德阶段检测)已知空间向量a,五，c两两夹角均为60°，其模均为1，则1ā+b-2= 42.(25-26高三·全国一轮复习)如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E,F,G,H分别是正四 面体ABCD中各棱的中点，设AB=a,AC=b,AD=c试采用向量法解决下列问题：则E的模长为 11/16 课后精练 1.(25-26高二上·广东江门阶段检测)空间向量中，下列结论错误的是() A.AB+BA=0 B.AB+BC=AC C.单位向量的长度为1 D.零向量的方向任意 2.(25-26高二上·天津阶段检测)下列关于空间向量的命题中，正确的是() A.空间中所有的单位向量都相等 B,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C.若a,b满足|a>b1,且a,b同向，则a>bD.两个向量相等，则它们的起点与终点相同 3.(2026高二·全国专题练习)如图，己知空间四边形ABCD的对角线为AC,BD,设G是CD的中点，则 AB+BD+BC)等于() D G C A.AG B.CG C.BC D.IBC 2 4.(25-26高二全国暑假作业)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，下列各式运算结果不为BD的是() D B D B A.A D-A A-AB B.BC+BB-D C C.DD,-AB+AD D.BD-4 4+DD, 5.(25-26高二上·广东深圳阶段检测)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列各式运算结果为BD的是() 12/16 D B A A.4 D-4 4+4B B.BC+BB +C D C.AD-AB-DD D.B D-4 4+D D 6.(25-26高三上·河南濮阳·阶段检测)己知P、A、B、C为空间中的四点且PB,C三点不共线，且 PA=aPB+BPC,则“a+B=1”是“A、B、C三点共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(25-26高二下·江苏淮安阶段检测)已知A,B,C三点共线，0为空间任一点，则①0A=20B+μ0C;②存在三 个不为0的实数入，m,n,使20A+m0B+nOC=0,那么使①②成立的μ与1+m+n的值分别为() A.1,-1 B.1,0 C.0,1 D.-1,0 8.(25-26高二上·广东广州期中)如图所示，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，以顶点A为端点的三条棱的长度 都为1，且两两夹角为60°，则BD的模长为() D A B A.√2 B.5 C.6 D.2W2 9.(25-26高二上·北京期中)三棱锥0-ABC中，0A,OB,0C两两垂直，0A=0B=0C则OA+0B)和CA的 夹角为() A.30 B.45 C.60 D.90° 10.(25-26高二上四川阶段检测)在正方体ABCD-A,B,CD,中，向量AB在AC上的投影向量为() A.AC B. c. D. 11.(25-26高二上·安微期中)如图，在正四棱锥0-ABCD中，点M是棱AB的中点，点N在线段OM上，点P在 线段CN上，点0在平面4CD内，且MN=30N,CP-弓CvO0=AOm,则的值为() 13/16 O D M B 5 A. 3 B.10 C.2 D. 12.(25-26高二下·山西长治阶段检测)（多选）如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，P为空间一动点，若 BP=2BC+uBB(2,4∈[0,1)，则() B B A.若元=u,则点P的轨迹为线段BC B.若入+u=1,则点P的轨迹为线段B,C C.存在2，u∈0,1，使得AP⊥BC D.存在，μe(0,1，,使得AP∥平面AB,C 13.(25-26高二上·江西·期中)（多选）（多选题）如图，已知平行六面体ABCD-A'B'CD',点E是CC'的中点，下 列结论中正确的是(). D B E D B A.AB+AD=AC B.AB-AA=BA' C.AB+AD+AA=AC D.AB+BC+CC=AE 14.(25-26高二上·广西桂林期末)（多选）如图，己知四面体ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点，下列等式正 确的是() 14/16 A.AB+BC+CD=AD B.AB+BC-CD=DA C.丽+8C+D列= D.AB-AE+EF=FB 15.(25-26高二上·上海·期中)如图，在四面体D-ABC中，点G是ABC的重心，设DA=a,DB=b,DC=c, 则DG=·(用a,石，c表示) D G 16.(25-26高二上·安徽马鞍山阶段检测)平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，A,M=1MC, -号孤+}D+},则实数的雀为 3 31 17.(25-26高二上·广东揭阳·阶段检测)已知a,b,c是空间的个基底，向量m=a+xb-c,n=-2a-36+yc, x,y∈R,若m/n,则x+y的值 18.(25-26高二上·安徽池州期中)在四面体ABCD中，已知E为线段BC上的点，O为线段DE上的点，且 BE=8C,D0=DE,若A0=xB+yAC+:AD,则9z的值为 19.(25-26高二全国·课后作业)已知A,B,C三点共线，则对空间任一点O,若0A=20B+u0C,则u= ;存在三个不为0的实数2，m,n,使OA+mOB+nOC=0,那么1十m十n的值为_， 20.(25-26高二全国·暑假作业)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，0为AC与BD的交点，G为 CC,的中点，则AO在AC上的投影向量的模为 ;DG在平面ABCD内的投影向量的模为· 15/16 D C A B - G D B 16/16 1.1.1 空间向量及其线性运算 知识点1空间向量的概念 1.空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的模(或长度).空间向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，记为0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a大小相等、方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线) 相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量 3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 【注意】(1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)任意两个空间向量可以相等，但不能比较大小，空间向量的模可以比较大小. (3)零向量的方向是任意的. (4)共线向量不一定具有传递性，比如其中一向量为0时，不具有传递性. (5)已知非零向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c. 知识点2空间向量的加减法运算 加法 运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭，和为0 图形叙述 平行 四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【注意】(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋…＋. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋…＋＝0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 知识点3空间向量的数乘运算 定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量 几何意义 λ>0且a≠0 λa与向量a的方向相同 |λa|＝|λ|·|a| λ<0且a≠0 λa与向量a的方向相反 λ＝0或a＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定共线. (4)空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算. 知识点4两个空间向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉. (2)如果〈a，b〉＝，则称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. (3)约定零向量与任意向量都垂直. 知识点5空间向量的数量积 1.空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.数量积的几何意义 (1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影.如图所示. (2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积.特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量. 3.空间向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 (1)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2； (2)|a|＝； (3)|a·b|≤|a|·|b| 夹角 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 运算律 (1)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 【注意】(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量. (2)投影的数量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角). (3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立. 考点一　空间向量的有关概念 考点二　空间向量的加减运算 考点三　空间向量加减运算的几何表示 考点四　利用空间向量判断共线 考点五　利用共线求参数或值 考点六　空间向量的数乘运算及其几何表示 考点七　求空间向量的数量积 考点八　空间向量数量积的应用 考点一　空间向量的有关概念 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 3．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 4．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 考点二　空间向量的加减运算 5．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 6．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 8．（25-26高二上·天津和平·期末）长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法、减法运算化简. 【详解】. 故选：C 考点三　空间向量加减运算的几何表示 9．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 10．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 11．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 12．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 13．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 14．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 15．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 16．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 考点四　利用空间向量判断共线 17．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 18．（25-26高三·全国·一轮复习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 19．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 20．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 考点五　利用共线求参数或值 21．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 22．（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 23．（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 24．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 25．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 26．（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 考点六　空间向量的数乘运算及其几何表示 27．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 28．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 29．（2026高二上·全国·专题练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以. 所以 . 故选：B. 30．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 31．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 32．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 考点七　求空间向量的数量积 33．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 34．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 35．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 36．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 考点八　空间向量数量积的应用 37．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 38．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 39．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 40．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    41．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_________. 【答案】 【分析】根据已知，应用空间向量数量积的运算律求模长. 【详解】 . 故答案为： 42．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设.试采用向量法解决下列问题：则的模长为________.    【答案】/ 【分析】首先连接，根据题意得到，再平方即可. 【详解】如图所示：    连接，如图所示： . 因为， 所以， 所以. 故答案为： 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 6．（25-26高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 8．（25-26高二上·广东广州·期中）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法将转化为与已知向量相关的形式，再根据向量的模长公式进行计算. 【详解】在平行六面体中，. 因为以顶点为端点的三条棱的长度都为，则. 又因为两两夹角为，根据向量点积公式（这里），可得： ； ； . 将上述值代入的表达式中： . 因为，根据向量的模长公式，所以. 故选：C. 9．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 10．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 11．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 12．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    13．（25-26高二上·江西·期中）（多选）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 14．（25-26高二上·广西桂林·期末）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 15．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 16．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）平行六面体中，，，则实数的值为______ 【答案】2 【分析】将，都用基底，，表示出来，得到，即可得到. 【详解】， 所以， 故答案为：2. 17．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 18．（25-26高二上·安徽池州·期中）在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据空间的加法法则、减法法则和共线定理，即可求，进而求出，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知， ， 所以，所以. 故答案为：. 19．（25-26高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________． 【答案】 －1 0 【分析】根据A、B、C三点共线，，得2＋μ＝1，即可求得，由得，可得，即可得λ＋m＋n. 【详解】解：由A、B、C三点共线，，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 又由，得， 由A，B，C三点共线知：，则λ＋m＋n＝0． 故答案为：-1；0. 20．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $