训练一 空间向量的概念及线性运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

训练一空间向量的概念及线性运算 基练了现固应周 c表示向量MN的结果是 1.下列四个命题中正确的是 ( A.方向相反的两个向量是相反向量 A.2a+b+c B.若a,b满足|a1>1b|且a,b同向， 则a>b B.a+b大4 C.不相等的两个空间向量的模必不相等 ca-bc 1 1 D.对于任何向量a,b,必有a十b≤a十b 1 2.在空间四边形ABCD中，连接AC,BD,若 △BCD是正三角形，且E为其重心，则AB 6.如图，在正方体ABCD D +BC-DE-AD的化简结果是() -ABCD中，M,N A 分别为AB,BC的中 A.AB B.2 BD 点.用AB,AD,AA1表 C.0 D.2 DE 示向量MN,则MN= 3.在平行六面体ABCD- 0 A1BCD1中，下列四对 7.如图，在正方体ABCD 向量：①AB与C1D:② D ABCD1中，点M,N AC与BD1；③AD与 分别是面对角线A,B与 C,B:④AD与B,C.其中互为相反向量的 B,D1的中点，若DA=a, 有n对，则n等于 ( ) DC=b,DD,=c,则MN A.1 B.2 C.3 D.4 4.(多选)已知正方体ABCD-A1B,C1D1的 8.如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'CD 中心为O,则下列各结论中的正确结论是 中，化简下列表达式. () (1)AB+BC; A.OA+OD与OB,+OC,是一对相反 (2)AB+AD+AA: 向量 (3)AC+D'B-DC. B.OB-OC与OA,一OA是一对相反向量 C.OA+OB+OC+ODOA +OB +OC +OD,是一对相反向量 D.OA,-OA与OC-OC,是一对相反向量 5.如图所示，在平行六面体ABCD-A,B,CD 中，AB=a,AD=b,A4=c,M是D,D的中 点，N是AC上的点且A=}AGC,用a,b ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) 9.如图，在空间四边形ABCD 13.已知平行六面体ABCD-A'B'CD'.求 中，AB的中点为E,DC的 证：AC+AB'+AD=2AC 中点为F,证明：-(A, +BC). 创新练了素能骑优 14.如图所示，在正六棱柱ABCDEF- ABC DEF中. 能力练/进移运用 10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，E为PD的中点，若PA=a,PB=b.P心 (1)化简A,F,-EF-BA+FF,+CD+ =c,则BE= F,A,并在图中标出表示化简结果的 A.tu-ge 向量： B.ga-gb-ge 1 (2)化简DE+EF,+FD+BB,+A,E, 并在图中标出表示化简结果的向量。 C.za-o+ge D.ga-2b+ze I1.设棱长为a的正方体ABCD-A,B,C1D 中的八个顶点所构成的集合为S,向量的 集合P={mm=P1P,P,P2∈S},则P 中长度为、3a的向量有 个 12.对于空间中的非零向量AB,BC,AC,有 下列各式：①AB+BC=AC:②AB-AC =BC:③1AB1+1BC1=|AC1:④|AB -AC1=IBCL.其中一定不成立的是 2素能提升训练 训练一空间向量的概念及线性运算 6.解析 MN=MB+BC+CN 1.解析对于A,长度相等且方向相反的两个向量是相反 向量，故A错误；对于B,向量是不能比较大小的，故 =之AB+Ai+号(CB+BB) B错误：对于C,不相等的两个空间向量的模也可以相 : 等，故C错误：只有D正确. =A店+a西+之(-A市+A 答案D 2.解析如图所示，取BC的中点F, -2A+2a+号M, 则号C-求 答案 2AB+2AD+号AM, 又E为正三角形BCD的重心， 7解析根据向量的线性运算， 即DF上靠近F的三等分点， 所以多DE=D求， M=MA+AN=号BA+2Ad 粥AB+BC-是D-A0=AB+B丽-D示-Ad -合(BM+)+号(A成+BG -AF+FD-AD-AD-AD-0. -2(-b叶e)+2b-a)-号c-a. 答案C 答案 e-a) 3.解析对于①AB与C,D,③AD,与C,B长度相等，方向 8.解(1)AB+BC=AC 相反，互为相反向量：对于②AC,与BD,长度不一定相 (2)AB+AD+AA-AC+AA-AC. 等，方向不相反：对于④A,D与B,C长度相等，方向相同， (3)AC'+D'B-DC-(AB+BC+CC)+(DA+DC+ 为相等向量，故互为相反向量的有2对. 答案B C'C)-DC=DC. 4.解析如国，在矩形ADCB 9.证明证法一设AC的中点为G,连接EG,FG D 中，E,F分别为AD,B,C的 F. E,F分别为AB,CD的中点， 中点，则由向量运算的平行四 A G成=A0,底=Bd 边形法则，知OA十OD=2OE, Di.. OB,+OC,=2OF,又OE= 黄EF-武+G=Ai+BG. E -OF, 证法二：E,F分别为AB,CD的 :伞题A正确.由于OB-OC=CB,OA,-OA=AA, 中点， ∴.EA+EB=0,DF+CF=0. “OB-OC与OA1-OA不是相反向量， ∴命题B不正确.同理可得命题CD是正确的. :EF=EA+AD+DF,E求 答案ACD =EB+BC+C求， 5.解析连接CM,:AN ..2EF-AD+BC, ∴E=2Ad+BG。 可得：CN=号CA 证法三：E,F分别为AB,CD的中点， AC,=AA +AC=AA GE-(GA+GB),GF-(GC+GD). +(AD+AB)=c十a+b, :成-G-G-2Gc+Gi-GA-G -[(GD-GA)+(GC-GB)]-(AD+BC). 20, 10,解析正=是(B驴+B)=-2P+号(BA+BO) ∴.MN=C,N-CM =-2PB+号+号C =-Pi+号(PA-P+2P心-P 答案D =-2P+PA+2P心-=0-b+2选C 答案C 50 11.解析集合P是由长度为√3a的元素组成的，所以本题 4.解析法-BB=CC,(AC,BB,)=(AC,CC》 转化为求棱长为a的正方体ABCD-A,B,CD中的长度 =∠ACC. 为√3a的对角线的条数.正方体对角线的长度为√3a,每 又Rt△ACC,中，AC=√3+4=5，CC,=5, 条体对角线对应2个向量，正方体共有4条体对角线 答案8 ∴.AC=√5+5=5√2，∠AC,C=45, 12.解析根据空间向量的加减法运算，对于①：AB+BC ∴.AC·BB,=|AC|·|BB1|·cos∠ACC-52X5 =AC恒成立：对于③：当AB,BC,AC方向相同时，有 =25. |AB1+|BCI=AC;对于④：当BC,AB,AC共线且 2 BC与AB,AC方向相反时，有|AB|-|AC=|BCI,只 法二AC在CC,上的投影为CC, 有②一定不成立. ∴AC·BB,=AC,·CC,=|CC1·ICC1=25. 答案② 答案B 13.证明：平行六面体的六个面均为平行四边形， 5.解析如图，由AB⊥面 ..AC=AB+AD, D BB,CC得AB⊥BC,所以 AB'=AB+AA', 四边形ABCD,的面积为 AD'=AD+AA', |AB|BC|,故A正确： ∴.AC+AB+AD=(AB+ :△ACD,是等边三角形， AD)+(AB+AA')+(AD ∴.∠ADC=60° 又AB∥D,C, +AA)=2(AB+AD+AA'). 所以向量AD,与A,B的夹角 又：AA'=CC,AD=BC, 为120°，故B错误： :.AB+AD+AA=AB+BC+CC=AC+CC= 由向量加法的运算法则可以得到AA十AD1十A,B,= AC',..AC+AB'+AD'=2 AC 14.(1)A F,-EF-BA+FF,+CD+F,A, AC,AC=3A B, .(AA1+AD,十AB)=3(A1B1),故C正确： =AF+FE+AB+BB +CD+DC=AE+AB +0 =AE+ED,=AD. 向量运算可得AB,-AD,=D,B1, 在正方体ABCD-A,BCD中，DB⊥面AACC, AD,在图中表示如图所示。 ∴DB⊥AC,∴AC·DB=0,故D正. F 答案ACD 6.解析 cosa,b=8治=-竖a,- 4 答案 (2)DE+E F,+FD+BB,+A.E 7.解析1EF=EF=(EC+CD+D: =DE+EF+FD+BB+BD,=DF+FD+BD =EC+CD+DF+2(EC.CD+EC.DF+CD. =0十BD,=BD,BD,在图中表示如图所示， DE =12+22+12+2×(1×2×c0s120°+0+2×1× c03120)=2, ∴|EF|=√2，∴.EF的长为2. 答案√② 8.解(1)如图所示，AC=2a, D 训练二空间向量的数量积 AO,在AC上的投影为AO, 1.解析因为BD'∥BD,所以A'B,BD'的夹角即为 A'B,BD的夹角.因为△A'BD为正三角形，所以 :a01-号， ∠A'BD=60°.由向量夹角的定义可知(A'B,BD)= 120°，即(AB,B'D')=120 ∴Ad,AC-1AOAC-号a 答案D X/2a=a'. 2.解析由|a-2b+3c=|a+41b12+91c-4a· (2)取AB的中点E,∴OE⊥AB, b+6a·c-12b·c=14,得|a-2b+3c|=√/14. .AO在AB上的投影为AE 答案B 3.解析'n⊥(m十n),,,n·(m十n)=0,即t·m·n十 又A忘=a,A=a n=0,..tlmlInlcos<m,n)+n:=0. 由巴知得×子n'×号+n2=0,解得1=-4 Ad,A店=A正·B=2a×a=. 答案C (3)(A,B,B,C)=(A,B,A,D)=60°， 51