1.2.4 二面角-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

跟踪训练 3.解析 作AO底面BCD,垂足为 4.解 (1)证明 如图,取BC的中点O,连接AO.DO O.则O为△BCD的中心,连接BO. ..BD-CD-5. 则 ABO为核AB与底面BCD所 *.DO BC. 成的角,设正四面体的校长为a,则 且DO-CD-OC-2 D0就是点D到平面ABC 的距离,即 DO平 答案 ) 面ABC. 4.解析 :AF1平面ABC, 如图所示,过P作PO .AE/OD. 平面a于O,连接OO,则 又AE一DO,*.四边形 POO.为直线PO和平面a所 AODE是乎行四边形..,ED/AO 成的角, .△ABC是正三角形.,AOBC...BC1DE. 设为8,又设OOA-8,则 (2)由(1)得AO)平面BCD. 0.0B-90-0.,所以cos ocos 8.-cos 45*- 以OB为x轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐 标系Oryz. 则B(1.0.0).C(-1,0.0). D(0.0.2).E(o.3,2). 设乎面BED的法向量为 答案 30- 1.2.4 n-(r.yc),BD-(-1.0.2). 二面角 BE-(-1.v3.2).CE-(1.3,2). - 【自主学习探新知】 知识点一 BD·n-0得{ 1.两个半平面 校 面 2.平面角 平面角大小 直二 -7+2-0. 则由 B.n-0 -+3y+2x-0. 面角 【互动探究解疑难】 令x-2,得n-(2,0.1). 探究一 设直线CE与平面BED所成角为8, [例1](1)[解析] 由AC-CB A CE.nl /10 知,AC |CB,取AB中点M,连 则sinθ-cos(CE.n)|- 接C.M.CM,则CMC即为二 lCE|nl 2/2x5 面角C-ABC的平面角,设AC 故直线CE与平面BED所成角的正弦值为 T0. -CB-CC-a,则CM-_ 5 2. 【随堂巩固促应用】 . tan_C. MC-CC #.## 1.解析 设y轴与平面a所成角为θ,易知y轴的方向向 量为m=(o,1,0).'sinθ=lcosn,m = [答案]D (2)[解析] 设ACOBD=E,菱形ABCD满足AB 21 AC-2,BE-DE-3.因为AC | BD,所以BE AC 答案 B DE AC,所以 BED就是二面角B-AC-D的平面角. 2.解析 建系如图,设正方体的校长为1, $由于BD=③,所以BE=DE-BD= ③,所以 BED 则D(0.0.0).A(1.0.1). B(1.1.0).C(0,1.1),A(1,0.0). DC-(0.1.1).AC-(-1.1.1). △-10. __ #C1-1-0 .AC.A.B.ACA.D. 又A.BOA.D-A.. [答案]C '.AC1平面A.BD. 跟踪训练 .AC.是平面A.BD的一个法向量 1.解析 .PA 平面ABC,*.PA BC.易得BC |AC. DC.·AC 又 PAOAC=A.*'BC ]平面PAC...BC PC. '.sinDC.AC.)=cosDC..AC.= 1DC 11AC1 ' PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC 中,PA-AC...PCA-45. 1+16 答案 ### C 2.解析 如图,设正方体ABCD-A.B.CD 的枝长为2, .直线DC.与平面A.BD所成角的正弦值为 在平面ABCD内过点D作DH AE于点H,连接 D.H,DE,则 DHD即是二面角D -AE-D的平 答案 C 面角, 11 。 且AE= 2+1-. 故△Q0C为直角三角形且Q0OC. $$-2x2 C 因为OCOAD=O.所以QO1平面ABCD. 因为QO二平面QAD,所以平面QAD1平面ABCD. (2)在平面ABCD内,过O作OT/CD,交BC于T,则 OTAD. 解得DH-4 结合(1)中的Q01平面 D 5 ABCD,故可建如图所示 D. D 的空间坐标系, 则D(0.1.0),Q(0.0.2). 5 B(2.-1.0),故BQ-(-2. 3. 1.2),BD-(-2,2.0). 答案 C 探究二 设乎面QBD的法向量n [例2] [解] 如图,易知四边形 一(r,y.). [0. AEC.F为菱形. __ A .EB 平面ABCD.CC 1平面 则 1n.BD-0. ABCD.FD]平面ABCD..'正方 即{-2+2y=0 形ABCD为菱形AEC.F在平面 -2r+y+2-0. ABCD内的射影.连接AC,EF, 则EF-、2a.AC-3a.'.Sarr 取r-1,则y-1,:= , 故n-(1.1.).而平面QAD的法向量为m=(1,0. 设平面AECF与平面ABCD所成的二面角的大小为 0).故cos(m.n)-1 }# .S..oV 8.则cos0一 SsArr .即平面AECF与平面AB 跟踪训练 跟踪训练 4.解(1)证明 3.解 如图,设BE一y,由已知可得,在Rt△ADE中, 因为AG//DE,AGC平面EDC,DEC AF-AD+DE. 平面EDC,所以AG/平面EDC.因为四边形ABCD为 即1+y-(1+1)+[1+(yC 菱形,所以AB/DC. .B 同理可得AB/平面EDC.又因为ABOAG-A. 所以平面ABFG/平面DCE.又因为GFC平面 ABFG,所以GF/乎面EDC. (2)连接AC,BD相交于点O,以OA,OB为:轴、y轴, #17{一1)## 建立如图所示的空间直角坐标系, ............ 因为AB-4./BAD-, #$A-×ix1## ....B 所以OA-2/③,0B-2. 设截面ADE与底面ABC所成 所以C(-23,0.0). F(0.-2.4),F(0.2,4). G(23.0.2). 角的大小为0,则cos8一 0 所以EF-(0,4,0).CF= (23,2,4)GF-(-23. -30 10 2,2). 设乎面GEF的一个法向量n一(x,,) /30 '.截面ADE与底面ABC所成角的余弦值为 n.f-0所以 10 (-23r+2y+22.-0. 所以 探究三 .EFo [例3] [解] (1)证明 取AD的中点为O,连接 14-0, Q0.OC. 令x.-1,得-3,所以n-(1,0③). 因为QA-QD.OA=OD. 设乎面CEF的一个法向量n。一(x,y,), 则QOAD. n,C所以 而AD-2,QA-/. [2v③x+2y+4.=0. 所以{ n.FF-0. 故Q0-5-1-2. 14y-0. 在正方形ABCD中,因为 令x。=-2,得z-3,所以n=(-2,0.3),所以 AD-2.故D0-1,故(C n.n -5. cosn.n)= In..nl 2X/7 因为QC-3,故QC-Q0 ### +OC. 所以二面角GEFC的余弦值为一 12 【随堂巩固促应用 【互动探究解疑难】 n.n 探究一 1.解析 因为c08用:n [例1] [解](1)建立如图所示的空间直角坐标系, -60{,因为二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹 则A(1,0.0),F(1.1,0). 角相等或者互补,所以两平面所成的二面角为60或120{}。 C(0.0.1). 答案 因为CM=BN=a(0<a 7 .DB BB,BC |BB,由二面角的平面角的定 2.解析 ②).且四边形ABCD.ABEF 义知, DBC就是二面角C-BB-D 的平面角,又 #M({#,O,1).# 均为正方形, BCD=90*,所以tan DBC-DCAB4 BCBC3. D ##)! C ####一) 所以M-a-②a+1. #(-})}(#△)# (2)由(1)知MN一 答案 所以当a二 D 3.解析 设ACOBD-O,连接OF,以O为原点,OB,OC. 即M,N分别移动到AC,BF的中点时,MN的长最小, OF所在直线分别为x轴、y轴、:轴,建立如图所示空 #为。# 间直角坐标系, 设PA-AD-AC-1. 跟踪训练 则BD-. 1.解析 .B(.0.o)r(o,o.). -1.且AB·BC-AB·CF-BC·CE-0. c(oo),D(-0.0o). 所以AE-(AB+BC+CE)-3,即AE的长为3. 答案 B 探究二 .c-(o.o). [例2] [解] 以B为原点,建立如图所示的空间直角坐 .OC为平面BDF的一个法向量. 标系, 则A(4,0.1).C.(0.3.1). ##-(##)R(#。.-). 所以A.C-(-4,3,0).设 E满足A.E-aAC,且 A # BEAC: 可得平面BCF的一个法向量为n-(1.③.③). C .co(n02 则BE-BA+AE- -25 (4,0.1)+2(-4.3,0)-(4 -4,3,1).又BE1A.C. 答案 D 3 .(4-4,31)·(-4.3.0)-0.1--15. 16 4.解析 因为SA1平面ABC,所以SA|AD.又AB .it(4一4×31). AD,所以ADI平面SAB,同理BC1平面SAB,则三角 形SCD在平面SAB内的射影是三角形SAB,设所求 .1一(2)+(1)+1-一13. 变式练 答案 1.解 建系如例解法AC一(-4.3.1). 1.2.5 空间中的距离 设M满足AM-AC且BM·AC-0. 第1课时 两点间的距离、点到直线的距离 【自主学习探新知】 则BM-BA+AM-(4.0,0)+a(-4,3,1)-(4-4,3a,). 知识点一 又BM·AC-0..(4-4,3.).(-4.3.1)-0. 线段长 _ 知识点二 ·.1(4-832) 2-). 垂线段 长 最短 知识点三 垂线段长 最短 .BM}一、(2)+()+()#)4# 知识点四 1.距离 距离 3.垂直 公垂线 公垂线 公垂线段 .B到AC的距离为45. 公垂线段 13 13高中数学·选择性必修第一册(RJB) 1.2.4二面角 [学习任务] 1.理解二面角和二面角的平面角的概念 2.会用几何法和向量法求二面角的大小. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一二面角及其度量 二面角大小等于它的 .特别 1,二面角的定义 地，平面角是直角的二面角称为 平面内的一条直线把一个平面分成两 3.二面角的范围：[0，π. 部分，其中的每一部分都称为一个半平面. 4.两个平面所成的角 从一条直线出发的 所组成的 两个平面相交时，它们所成角的大小， 图形称为二面角，如图(1)所示，其中，直线1 指的是它们所形成的四个二面角中，不小于 叫做二面角的 ,两个半平面叫做二面角 0°且不大于90的角的大小 的，如图中的a,B. 知识点二用空间向量求二面角的大小 设n1,n2分别是平面a1,a2的一个法向 /B 量，，与a2所成角的大小为0. 图(1) 图(2) 2.二面角的平面角 在二面角l3的棱上任取一点O,以O 为垂足，分别在半平面α和3内作垂直于棱 的射线OA和OB,则射线OA和OB所成 (I) 图(2) 的角称为二面角的 .如图(2)所示， 9=(n1,n2〉或8=元-〈n1,ng）, 二面角的大小用它的平面角大小来度量，即 sin 0=sin(n,n2). 互动探究解疑难 要点归第重难突玻 探究一几何法求二面角 (2)(2022·绍兴高二期中)已知菱形ABCD 例1](1)我国古代数学 满足AB=AC=2,现将△ABC沿直线AC 名著《九章算术》中，将 底面是直角三角形的直 进行翻折，当BD=√3时，二面角B-AC-D 三棱柱称为“堑堵”.在 的平面角的大小是 ( 如图所示的“堑堵”中， AC=CB=CC,则二面角C-AB-C的正切 A哥 B. 值为 c号 D. A.1 B.2 C② D.2 26 第一章空间向量与立体几何。 川规律方法川 跟踪训练 利用几何法求二面角的过程要体现一作，二证、三 3.已知正三棱柱ABC-ABC,的底面边长为 计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明（或说明） 所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面 1,侧棱长为3，D,E分别是侧棱CC,和BB 角的平面角大小，作二面角的平面角的方法：(1)定义 上的点，且CD=1,AD⊥DE,求截面ADE 法：(2)垂线法：(3)垂面法 与底面ABC所成角的余弦值. 跟踪训练 1.AB是圆的直径，PA垂 直于圆所在的平面，C是 圆上一点（不同于A,B) 且PA=AC,则二面角 PBC-A的大小为( A.60 B.30 C.45 D.15 2.如图，已知E,F分别是正 探究三 利用空间向量求二面角 方体ABCD-A,B,CD, [例3]在四棱锥Q-ABCD 的棱BC,CC的中点，设 中，底面ABCD是正方形， a为二面角D,-AE-D的 若AD=2,QD=QA=5, 平面角，则sina=( ) QC=3. A号 B② C⑤ 3 3 D.2/2 3 (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD: 探究二利用面积比求二面角 (2)求二面角BQDA的平面角的余弦值. [例2]在正方体ABCD-A1BCD1中，棱长 为a,E,F分别为棱BB,,DD的中点，求平 面AEC,F与平面ABCD所成的二面角的 余弦值。 川规律方法川 利用向量法求二面角的解题步骤 川规律方法川 依批几侧条件建立适当的空问直角坐标系 利用射影面积与图形面积比求二面角时公式cs日 答的老义：0为二面角的大小，S为在二百角期一个 作速立的坐标系下求两个山的法向量，✉ 面内的图形F的面积，S为图形F在另一个而内的射 求n与n所成锐角&，cos niln 影F的面积，当二面角为纯角时，此时二面角的大小 定位 若一面佛为税角，则为：若而角为纯角。 为x一0. 期为π 27 高中数学·选择性必修第一册(RJB) 跟踪训练 (2)若BF=DE=2AG=4,AB=4,∠BAD 4.如图所示，在几何体 -号AG⊥平面ABCD,求二面角GEFC ABCDGFE中，四边形 ABCD为菱形，AG∥ 的余弦值， BF∥DE. (1)证明：GF∥平面 EDC: 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知两平面的法向量分别为m=(0,w2,0),n B吗 =(√2w2,2),则两平面所成的二面角为 ( c. D. A.60 B.120 4.如图，在底面是一个直角梯形的四棱锥 C.60°或120 D.90 S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥ 2.在长方体ABCD-A,B,CD中，AB=4,BC= 3,则二面角CBB,-D1的正切值为() 平面ABC,SA=AB=BC=1.AD=2则 A.g &号 平面SCD与平面SAB所成角的余弦值 为 c n.专 3.如图所示，已知点P为菱 形ABCD所在平面外一 点，且PA⊥平面ABCD, PA=AD=AC,点F为 提示请完成《素能提升训练》训练十 PC的中点，则平面CBF 与平面DBF夹角的正切值为 28