1.2.3 直线与平面的夹角-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

【随堂巩固促应用】 :2.解析连接AD.'△ABC为等边三角形，D为BC的 1.解析因为a=(2,一1.0)，b=(一1，-2,0)，所以a·b =一1×2+(-2)×(-1)=0，所以a⊥b 中点AD=2×5=5.又SA 所以a与3的位置关系是垂直关系。 平面ABC, 答案B ∠SDA为SD与平面ABC所成的 2.解析因为m=(合k,3)m=(一4,1,1)分别是年面 角，.tan∠SDA= SA=3=5. AD3 @g的法向量，若a山3.则mLn,所以受×（一4）+k+3 答案A 探究二 =0,解得k=一1. [例2][解析]如图，设A在平面BPC内的射影为O, 答案B 连接OP,,∠APB=∠APC,.,点 3.解析周为平面8,3平行，所以二者法向量共线，选项 O在∠BPC的角平分线上，，， D中n=一2n,所以n,∥n1,故选D. ∠OPC=30°，∠APO为PA与平而 答案D 4.解析由三垂线定理的递定理，知D正确. PBC所成的角. .os∠APC=cos∠APO· 答案D 0s∠OPC,即cos60°=c0s∠APO· 1.2.3直线与平面的夹角 c0s30°， 【自主学习探新知】 知识点一 cos∠APO=3 31 2.斜足射影∠ABA'(1)∥C⊥(2)cos0= [答案]D cos0.·cos8,射影最小的角 跟踪训练 【互动探究解疑难】 3.证明：四边形ABCD为边长为a的菱形，且∠BAD 探究一 =60,O为菱形ABCD的中心， 例I](1)[解析」因为PA⊥平而ABC,BCC平面 ABC,所以PA⊥BC.因为BC⊥AC,AC∩PA=A,所以 AC为∠BAD的平分线，且AO-号a, BC⊥平而PAC,所以PB与平面PAC所成角为∠BPC 图为AC=3.PA=4,BC=5,所以PC=5,PB=5√2， ·∠BAC=30°.又∠A,AB=∠AAD=60°， ∴直线A,A在平面ABCD上的射影为直线AC, 所以sin∠BPC=5=复 522 [答案]A 记∠A,AC=则cos0=0s60_三=E c0s303 33 (2)[解析]取BC的中点D,连接 2 AD.B.D. 由AB=AC,则AD⊥BC,且ADI A,Ams0=2a…-。 3=2a=A0, BB,,BC∩BB.=B,BC,BBC平 脚点A,在平面ABCD上的射影为点O, 面BCCB,, .A,O⊥平面ABCD. .AD⊥平面BCC,B,,∠ABD 探究三 即为AB,与平面BCCB,所成 例3][解](1)证明在△DCM中，DC=1,CM=2, 的角. ∠DCM=60°，由余弦定理可得DM=√3， 设AB=2,则AA,=1, 所以Df+DC=CM, AD=AB-BD=√2-2=· .DMDC.由题意DC⊥PD且PD∩DM=D. .DC⊥平面PDM,而PMC平面PDM, AB,=√AB+BB=√2十I=√， 所以DC⊥PM.又AB∥DC,所以AB⊥PM. 所以nABD-铝-号所以∠ABD=5 (2)由PMMD,AB⊥PM,而AB与DM相交 所以PM⊥平面ABCD.因为AM=√7， 即AB,与平面BCCB,所成的角为45 所以PM=2√2，取AD中点E,连接ME, [答案]A 则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点， 跟踪训练 如图所示，建立空间直角坐标系， P 1.解析如图所示：设正方体的 则A(-√3,2,0)，P(0.0,2√2)， 边长为a,则a=16√2， D(3.0,0),M0,0,0). 故a=22,即AB=22, C(3.-1.0). .AC=2a=4. 又N为PC的中点 连接C,P, C,P=√CP-CC 所以N(停，-包) =√(23)-(22)=2. 不-(-2) ,AP=2,则，点P在A,C上且为中点，连接AC与BD 由(1)得CD⊥平面PDM,所以平面PDM的一个法向 交于O,连接OP, 量n=(0,1,0), 可知ACL平面BDD,B,则∠CPO为直线CP与平面 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 BDD1B所成角， 在R△CPO中，sim∠CPO=OC-2-3 IAN.n 2 15 P℃23 sin IANI 6 答案B √+要+2 10 跟踪训练 :3.解析作AO⊥底面BD,垂足为 4.解(1)证明如图，取BC的中点O,连接AO,D0 O,期O为△BCD的中心，连接BO. .BD-CD=5 则∠AB)为枚AB与底面BCD所 ∴.DO⊥BC, 成的角，设正四面体的棱长为：，则 且DO=√CD-OC=2. DO就是点D到平面ABC a.os∠AB0- OB-3 3 0 的距离，即DO⊥平 答案 3 面ABC. 3 AE⊥平面ABC, 4.解析如图所示，过P作PO, ∴.AE∥OD. 平面a于O,连接O,O,则 又AE=DO,,.四边形 ∠POO,为直线PO和平面a所 AODE是平行四边形，.ED∥AO. 成的角， ,△ABC是正三角形，AO⊥BC,.BC⊥DE 设为0，又设∠0OA=0,则 (2)由(1)得AO⊥平面BCD, 2 ∠(0，OB=90°-0，所以cos0cos0=cos45° 以OB为x轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐 D 且cos0cos(90°-0，)=cos60°= 标系Ory2, 2,两式平方相加可得 则B(1.0,0),C(一1,0.0) ,所以0=30 D(0,0,2),E(0√5,2). c0s0-3 2 设平面BED的法向量为 答案30 n=(xye),BD=(-1,0,2). 1.2.4二面角 【自主学习探新知】 BE=(-1.3,2),CE=(13,2) 知识点 则由西·n=0得 1,两个半平面棱面2.平面角平面角大小直二 -x+2:=0, 面角 BE·n=0, -r+3y十2：=0， 【互动探究解疑难】 令x=2,得n=(2,0,1). 探究一 设直线CE与平面BED所成角为日， [例1](1)[解析]由AC=CBA 则m0=|0(CE,m1=|CE·n 知，AC⊥CB,取AB中点M,连 /10 接CM,(CM,则∠C,MC即为二 22×5 5 CE 而角C,-ABC的平面角.设AC 故直我CE与平面BED所成角的正张值为西 =CB=(℃=，则CM= 2, 【随堂巩固促应用】 ∴.tan∠C,MC CC 1.解析设y轴与平面a所成角为日，易知y轴的方向向 CM② 量为m=(0,1,0),∴.sin0=c0sn,m)= [答案]D (1,-1.0)·(0,1,0) (2)[解析]设AC∩BD=E,菱形ABCD满足AB 泛·1 AC=2,BE=DE=3.图为AC⊥BD,所以BE⊥AC 答案B DE⊥AC,所以∠BED就是二面角BAC-D的平面角. 2.解析建系如图，设正方体的棱长为1 由于BD=3,所以BE=DE=BD=3,所以△BED 则D(0,0,0),A(1,0,1), B(1,1.0),C(0,1.1).A(1,0,0) D 是等边三角形，所以∠BED=子 .DC=(0,1,1),AC=(-1.1,1), AB=(0,1,-1), AD=(-1,0,-1). ∴AC·AB=1-1=0 AC·AD=1-1=0, .AC⊥AB,AC1⊥A,D. 又A,B∩A,D=A [答案]C AC⊥平面ABD 跟踪训练 ∴AC,是平面A,BD的一个法向量. 1,解析：PA⊥平面ABC,.PA⊥BC.易得BC⊥AC ÷inDC,AC=eoDC,AC1= DC·AC 又PA∩AC=A,.BC⊥平面PAC,.BC⊥PC, ·∠PCA为二而角P-BCA的平面角，在Rt△PAC IDC,IAC,I 中，PA=AC,.∠PCA=45 1+1=6 答案C 2X3 3 2,解析如图，设正方体ABCD-A,BC,D.的棱长为2， ·直线DC,与平面A,BD所成角的正弦值为5 在平面ABCD内过点D作DH⊥AE于点H,连接 DH,DE,则∠D1HD即是二面角D,-AE-D的平 答案C 面角， 11第一章空间向量与立体几何。 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 1.若平面a,3的法向量分别为a=(2,一1.0)， C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) b=(一1，一2,0)，则a与3的位置关系是 D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 4.下列命题中正确的是 ( A.平行 B.垂直 A.如果直线l与平面α外的一条直线'在 C.相交但不垂直 D.无法确定 平面a内的射影垂直，则⊥ 1 B.如果直线（与平面a外的一条直线'垂 2.已知m=(2k,3n=(- 4,1,1)分别是平 直，则（与l'在平面α内的射影垂直 面a,3的法向量，若a⊥3，则k= C.如果向量a和直线l在平面a内的射影 垂直，则a⊥l A.-2 B.-1 c D.2 D.如果非零向量a和平面a平行，且和直线 3.若平面a,3平行，则下列可以是这两个平面 l垂直，直线l不与平面a垂直，则a垂直 的法向量的是 于1在平面α内的射影 A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) 提示请完成《素能提升训练》训练八 B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) 1.2.3 直线与平面的夹角 [学习任务] 1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念. 2.会用向量法求线面角， 自主学习探新知 课前？习双基落实 知识点一直线与平面所成的角 (2)性质：最小角 1.斜线与平面所成的角 如图(2)，ABLa,则图中0,0，A之间的关系是 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一 确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影 斜线和它在平面内的 所成的角， 所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. 2.直线与平面所成的角 是斜线和这个平面内所有直线所成角中 定义：如图(1)，如果直线AB是平面a的一 条斜线，B为 ,A'B是直线AB在 知识点二 利用空间向量求直线与平面的 平面a内的 ,则 就是直线 夹角 AB与平面a所成的角. 如图所示，”为直线的方向向量，n为平面的 (1)范围：直线与平面a所成的角0的范围 是0°≤0≤90. 法向量。 当0=0°，AB a或AB 当0=90°，AB 0=-(，m)或0=(m,n-受 图(1) 图(2) cos 0=sin(v,n)sin 0=cos<v,n). 23 》高中数学·选择性必修第一册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一利用定义求直线与平面的角 探究二 公式cs0=cos0·cos0,的应用 [例1](1)如图，PA⊥圆OP [例2]如果∠APB=∠BPC=∠APC=60°，则 所在平面，AB是圆O的 PA与平面PBC所成角的余弦值为() 直径，C是圆周上一点，其 中AC=3,PA=4,BC A号 要 5,则PB与平面PAC所 C. D③ 成角的正弦值为 3 3 A号 R司 c 川规律方法川 D.v17 公式co50=cs日·cos8在解题时经常用到，可 用来求线面角，在应用公式时，一定要分请，0,8 (2)如图所示，在直三棱柱 分别对应图形中的哪个角。 ABCA1B,C,中，AB=BC =AC,若AB：BB,=2: 口跟踪训练 1,则AB,与平面BCC,B, 3.如图所示，已知平行六面体 所成角的大小为 ABCD-A,B,C,D的底面 A.45 B.60 C.30 D.75 是边长为a的菱形，O为菱 川规律方法川 形ABCD的中心，∠BAD 利用定义法求线面角时，关t是找到斜线的射彩， =∠AAB=∠AAD 找射影有以下两种方法： ①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面 60.AA-20 内的射彩上： 求证：A,O⊥平面ABCD. ②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影. ☑跟踪训练 1,已知正方体ABCD-A,BCD的体积为 16√2，点P在平面ABCD,上，且A, C到P的距离分别为2,23，则直线CP与 平面BDDB,所成角的正弦值为( A号 R号 c D. 2.已知三棱锥S-ABC中，底 面ABC是边长等于2的等 边三角形，SA⊥平面ABC, SA=3,D为BC的中点，则 SD与平面ABC所成角的 正切值为 A.√3 B 2 C.3 D. 24 第一章空间向量与立体几何。 探究三利用空间向量求直线与平面所成的角 跟踪训练 [例3]如图，在四棱锥 4.如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面 P-ABCD中，底面 ABC,点D到平面ABC的距离为2， ABCD是平行四边形， △ABC是正三角形，BD=CD=5,AE ∠ABC=120°，AB=1, AB=2. BC=4,PA=15,M, N分别为BC,PC的 中点，PD⊥DC,PM⊥MD. (1)证明：AB⊥PM: (2)求直线AN与平面PDM所成角的正 弦值。 (1)证明：BC⊥DE: (2)求直线CE与平面BED所成角的正 弦值. 川规律方法川 用空间向量求直线与平面所成的角的方法与步骤 逃系 依据儿何条建适当的坐标系 ✉找直线的一个方向向试a 找平面的一个法向童H sin (co <a.n> 出9的苞制确定的大小 随堂巩固促应用 验证反横迁移运用 1.已知平面a的一个法向量为n=(1,一1,0)，则 3.正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所 y轴与平面α所成角的大小为 () 成角的余弦值为 A.君 B C. D. 4.已知∠AOB在平面a内，∠AOB=90°， ∠POA=45°，∠POB=60°，则直线PO和 2.正方体ABCD-A1B,CD1中，直线DC与 平面a内所成的角为 平面A,BD所成角的正弦值为 ( A号 B 3 c 提示，请完成《素能提升训练)训练九 25