1.2.2 空间中的平面与空间向量-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

高中数学·选择性必修 第一册(RJB) 1.2.2 空间中的平面与空间向量 第1课时 平面的法向量及线面位置关系 [学习任务] 1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量 2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 平面的法向量 面a上一个已知的点,则对于平面a上任意 1.定义:如果a是空间中的一个平面,n是空 一点B,向量AB一定与向量n垂直,即AB 间中的一个 向量,且表示n的有向 .n一 ,从而可知平面。的位置可 线段所在的直线与平面。 ,则称 由n和A唯一确定. n为平面a的一个 ,也称n与平面 知识点二 直线与平面平行、垂直的判定 a垂直,记作nIa. v是直线/的一个方向向量,n是平面。 2.性质:(1)如果直线垂直平面g,则直线/的任 的一个法向量,则 意一个 都是平面;的一个 n/ : (2)如果n是平面g的一个法向量,则对任 nI→ ,或 意实数入关0,空间向量n也是平面g的一 个法向量,而且平面a的任意两个法向量都 () (3)如果n为平面。的一个法向量,A为平 (2) D互动探究解疑难 要点归结 重难突破 探究一 求平面的法向量 (2)求平面SAB的一个法向量; [例1] 如图所示,已知四 边形ABCD是直角梯形. AD/BC. ABC=90*, SA|平面ABCD.SA= AB-BC-1,AD-1 标系。 (3)求平面SCD的一个法向量 (1)求平面ABCD的一个法向量; 18 空间向量与立体几同 探究二 -I规律方法lI 利用空间向量证明线面平行 利用待定系数法求平面法向量的步骤 [例2] 如图,在三校柱ABC- (1)设向量;设平面的法向量为n一(x,y,z). A.B.C 中,侧梭垂直于底面, (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量AB,AC. AB BC,E,F分别为A.C (n·AB-0. 和BC的中点.求证:C.F/平 (3)列方程组:由 列出方程组. n.AC-。 面ABE. (n.AB-0. (4)解方程组: n.AC-0. (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取士1) (6)得结论:得到平面的一个法向量。 D跟踪训练 1.正方体ABCD-A.B.C.D 中,E,F分别为梭A.D., A.B.的中点,在如图所示 的空间直角坐标系中,求; I|I规律方法lI 应用向量法证明线面平行的方法 (1)平面BDD.B的一个 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 法向量; (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向 (2)平面BDEF的一个法向量 向量共线。 (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的 向量表示,即用平面向量基本定理证明线面平行. D跟踪训练 2.如图所示的五面体 中,四边形ABCD 是正方形,DA平 面 ABEF,AB/ EF,AEIAF,DA =AF=1.AE=/③,P.Q分别为AE,BD的 中点:求证:PQ/平面BCE 19 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) 探究三 利用空间向量证明线面垂直 I|I规律方法lI [例3](2022·盘锦高二 证线面垂直的方法 期中)如图所示,在四核 法一:(1)求直线的方向向量;(2)求出平面内两相交直 锥P-ABCD中,地面 线的方向向量;(3)分别计算两组向量的数量积,得数 ABCD为矩形,PD1地 1 量积为0. 法二:判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 面ABCD,AD-PD.E.F 分别为CD,PB的中点.求证:EF1平面PAB D跟踪训练 3.如图,在长方体ABCD -A.BC.D 中,AB= 2.BC-CC.=1,E是 CD的中点:求证: B.E平面AED. D随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.下列说法中不正确的是 ( 3.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1) A.平面。的法向量垂直于与平面。共面的 ( 则平面ABC的一个法向量为 _~ 所有向量 A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) B.一个平面的所有法向量互相平行 C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两 4.若直线//g,且/的方向向量为(2,n,1),平 个平面也垂直 面。的法向量为(1,2,2),则m等于 D.如果a,b与平面a共面且nla,n_b,那 ( 么n就是平面a的一个法向量 __ A.-4 2.若直线/的方向向量为a三(1,0,2),平面。 B.-6 C.-8 ) ,~_ 的法向量为n-(一2,0,-4),则 D.8 A.l/a B./La 提示_请完成《素能提升训练》训练七 C.1Ca D.1与a斜交 20 空间向量与立体几同 第2课时 面面位置关系、三垂线定理及其逆定理 [学习任务 1.会利用空间向量证明两平面的平行和垂直 2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 两平面平行、垂直的判定 知识点二 三垂线定理及其逆定理 n.,n。分别是平面a,a。的法向量,则 如果平面内的一条直线与 平面的一条斜线在该平面 nln→ 定理 内的 垂直,则它也和 n/n→ ,或 这条_垂直. 如果平面内的一条直线和 逆定理 这个平面的一条 垂 直,则它也和这条斜线在 该平面内的 垂直: () (2) D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 利用空间向量证明平面与平面平行 III规律方法lI [例1] 在三校柱ABC C 证明面面平行的方法 A.BC 中,侧梭垂直于 设平面。的法向量为n.一(a.,b,c.),平面$的法 底面,在底面ABC中. 量为n=(a,b,c.),则a/Bn./n(a,b.c) ABC=90*,D是BC -(a..b.c)(kER). 上一点:具AB/平面 D跟踪训练 ACD,D 为BC 的中 1.已知正方体ABCD-A.B.C.D. 的校长为2. 点,求证:平面A.BD/平面ACD E,F分别是BB,DD,的中点,求证:平面 ADE/平面B.C.F 21 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) 探究二 利用空间向量证明平面与平面垂直 探究三 三垂线定理及其逆定理的应用 [例2] 如图,在四楼锥 [例3] 如图所示,已知四梭锥 PABCD中,底面ABCD P-ABCD的底面是直角梯 是正方形,PA底面 形,ABC= BCD=90*, ABCD,E是PC的中 AB-BC三PB-PC=2CD. 点,已知AB=2,PA= 侧面PBC |底面ABCD.求证:PA |BD 2.求证: (1)AE |PD; (2)平面PBD 平面PAC IlI规律方法lI (1)利用传统的几何法进行证明,在证明线面垂直时, |I规律方法lI 首先应证明线线垂直,在证明线线垂直时,应用三 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途 垂线定理及其逆定理,可以使其过程篱化. 径,一是利用两个早面垂直的判定定理将面面垂直问 (2)利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找 题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求 到平面的垂线、斜线、射影 解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到 C跟踪训练 两个平面垂直. 3.如图,在四校锥P-ABCD C跟踪训练 中,平面PAD工平面 2.已知正方体ABCD- ABCD,PA1CD,四边形 A.BC.D. 中,E为校 ABCD是平行四边形,且 CC.上的动点. △PAD为等边三角形,求证:四边形ABCE (1)求证:A.E BD; 是矩形. (2)若平面A.BD 平 面EBD,试确定E点的位置. 2 第一章 空间向量与立体几同 D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.若平面a,3的法向量分别为a=(2,一1,0), C.n.=(1,1,1),n=(-2,2,1) b=(-1,一2,0),则g与8的位置关系是 D.n.=(1,1,1),n-(-2,-2,-2) 4.下列命题中正确的是 ) A.平行 B.垂直 A.如果直线/与平面。外的一条直线/在 D.无法确定 C.相交但不垂直 平面g内的射影垂直,则/|/ 2.已知m-(,k,3),n=(-4,1,1)分别是平 B.如果直线7与平面g外的一条直线7垂 直,则/与/在平面。内的射影垂直 面a,8的法向量,若g8,则 ~ C.如果向量a和直线/在平面a内的射影 垂直,则a/ A.-2 B.-1 D. 2 D.如果非零向量a和平面g平行,且和直线 3.若平面。,8平行,则下列可以是这两个平面 /垂直,直线/不与平面a垂直,则a垂直 的法向量的是 ( _~ 于/在平面a内的射影 A.n-(1,2,3),n=(-3,2,1) 提示请完成《素能提升训练》训练八 B.n.=(1,2,2),n.=(-2,2,1) 1.2.3 直线与平面的夹角 [学习任务] 1.了解直线与平面的夹角的三种情况,理解斜线和平面所成角的概念 2.会用向量法求线面角 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 直线与平面所成的角 (2)性质:最小角. 1.斜线与平面所成的角 如图(2),AB |g,则图中0,8,0.之间的关系是 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一 确定的,因此,平面的斜线与它在平面内的射影 斜线和它在平面内的 所成的角, 所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角 2.直线与平面所成的角 是斜线和这个平面内所有直线所成角中 定义:如图(1),如果直线AB是平面。的一 条斜线,B为 ,AB是直线AB在 知识点二 利用空间向量求直线与平面的 平面g内的 ,则 就是直线 夹角 AB与平面a所成的角. 如图所示,v为直线的方向向量,n为平面的 (1)范围:直线与平面g所成的角9的范围 是0<090*。 法向量, 当-0”,AB a或AB ; 当0-90*,AB 2 图(1) 图(2) cosθ-sinv,n)或sinθ- cosv,n). 23因此异面直线AC与BC所成角的余孩值等于：4，解析以A点为坐标原 |AC·CB. 点，建立如图所示的平面 COS(AC,CB,)=- 16_22 直角坐标系， AC1·CB 5×425 由题意可得：B(2,0,0), [答案]D C(0,23,0),A(0.0.0) (2)[解析]设CE=ACC,(0≤A≤1)，则A,B=AB D(0w3,1) AA..AE-AC+CE-AC+ACC=AC+AAA. 则BC=(-2,23,0), |AB|=4v2,AE1=√16+16x, AD=(05,1), A,B·AE=(AB-AA,)·(AC+B BC·AD=0+6+0=6,|BC1=Y+12+6=4, AAA,)=-16以. |AD|=√0+3+T=2,设异面直线BC与AD所成角为 cos (A,B.AE) A.B.AE 63 IA BIIAE 0,则cos0-×24 答案A ,因为异面直线A,B与AE所成角的余弦值 1.2.2空间中的平面与空间向量 √2+2x 第1课时平面的法向量及线面位置关系 为哥所以 /130 【自主学习探新知】 2+2 30解得A=，所以 知识点一 CE-T. 1,非零垂直法向量2.(1)方向向量法向量 (2)平行(3)0 [答案]号 知识点二 lLal∥alCa 跟踪训练 【互动探究解疑难】 4.解析如图，以D为原点，DA 探究一 为x轴，DC为y轴，DD,为： D 例1门「解]以，点A为原，点，AD, 轴，建立空间直角坐标系，在长 AB,AS所在的直线分别为x轴、y 方体ABCD-A,BC,D,中，AB A 轴、：轴，建立如阁所示的空间直 =BC=1.AA=3. 角坐标系， ∴A(1.0,0),D(0,03) 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0) D(0,0,0),C(0,1.3), D合0.0）s0,0D. AD=(-1.05)· (1)SA⊥平面ABCD.,∴，AS=(0,0,1)是平面ABCD DC=(0,1w3). 的一个法向量. 设异面直线AD,与DC,所成角为0， (2),AD⊥AB,ADI SA,AB∩SA=A, 则异面直线AD,与DC,所成角的余弦值为 .ADL平面SAB,且AB,SAC平面SAB, c0s0= |AD·DC=3 ∴AD=(分，0,0）是平面SAB的-个法向量。 |ADI·|DC,1 4 答案C (3)在举面sCD中，DC-(分10）.s=11,-D. 5.解析 设|PD|=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0), 设平面SCD的法向量是n=(x,y,),剩n⊥DC,n P00a.E(1,l,号） 花.n·DC0得方程组 DP=(0.0a,AE=(-1.l,受)） n·SC=0, 成.-号-+ 1 zx+y=0=-2y, x+y-g=0, z=一V, .a=2,.E的坐标为(1,1,1)，故选A. 令y=-1,则=1x=2,n=(2,-1,1). 答案A 所以n=(2,一1,1D是平面SCD的一个法向童。 【随堂巩固促应用】 跟踪训练 1.解析固为y=一2”，所以”∥"： 1,解设正方体ABCD-A,B,CD的棱长为2， 答案A 则D(0,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),E(1,0,2). 2.解析4与1不平行，则其方向向量一定不共线， (1)设平面BDDB的一个法向量为n=(x1y), A中b=-2a.B中b=-3a.C中b=2a. 答案D DB=(2,2,0),DD,=(0.0,2), 3.解析根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量 以及与之共线的非零向量叫微直线的方向向量，：d· DB:n=0·即2x,+2y=0. d都是直线【的方向向量，，直钱1的方向向量都应该 DD·n=0, 2x1=0, 是共线的。 令x=1,则为=一1，g=0, 答案A 平面BDD,B,的一个法向量为n=(1,一1,0) 7 (2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2),设平面BDEF的一个 则C(2a,0,0),A(0,1,0), 法向量为m=(工y. B(2a,1,0),P(0,0,1), DB·m=0:即2x,+2y,=0, F(.). DE·m=0, x,+2s,=0, 脉-(o,)Pi=(a 令x,=2,得y=一2,8=一1， 1,-1),EF·PB=0,即 ∴，平面BDEF的一个法向量为m=(2,一2，一1). EF⊥PB. 探究二 C例2][证明]如图，以B为坐标原，点，分别以BC,BA, 又AB=(2a,0,0),EF·AB BB所在直线为x轴，y轴，：轴建立如图所示的空间直角 =0, 坐标系.设BC=a,AB=b,BB,=e, 所以EF⊥AB.又PBC平面PAB,ABC平面PAB,PB 则B(0,0,0).A(0,b,0),C,(a,0,e, ∩AB=B, 所以EF⊥平面PAB. F(受0.oE(受，c 跟踪训练 3.证明如图，建立空间直角坐 所以AB=(0,-b,0), 标系，则A(1,0,0),E0,10), 花=（受-名）小 D(0,0.1),B(1,2,1), 设平面ABE的一个法向量为 C 所以EB=(1,1,1).ED x (0,-1,1),EA=(1,-1,0) n=(y.,则nAB=0…即 -y=0, 所以EB·ED=1×0十1X n·AE=0,zr- 2+c2=0. (-1)+1×1=0, 令x=2,则y=0,=-2,即n=(2,0,-2）月 EB.·EA=1×1+1×(-1)+1×0=0, 所以EB⊥ED,EB⊥EA 又CF=(-受0，-c小 周为ED∩EA=E,ED,EAC平面AED 所以n·CF=0.又C,F丈平面ABE, 所以BE⊥平面AED,: 【随堂巩固促应用】 所以CF∥平面ABE. 1.解析选项A,B,C显然是正确的.只有当a,b不共线且 跟踪训练 a∥a,b∥a时，D才正确. 2.证明AE=√3，AF 答案D =1,AE⊥AF, 2.解析a=(1.0,2),n=(-2.0,-4),∴n=一2a,即n∥ .∠AEF=30° a.∴1La .'AB∥EF, 答案B ∠EAB=30 3解析设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则 以A为原点，AE,AF AD所在的直线分别 n…AB=0中{2十3=0令x=-1,期y=2,e=-1 13x+2y+=0, 为x轴、y轴、轴建 n·AC=0, 立空间直角坐标系， 即平面ABC的一个法向量为n=(一1,2，一1)，故选A. 如图 答案A 4.解析/a,平面e的法向量为(1，号2）∴(2，m,1)… (1,受2）=0，即2+7m+2=0∴m=-8 答案C 设平面BCE的法向量为n=(x,y,2,) 第2课时面面位置关系，三垂线定理及其逆定理 【自主学习探新知】 由nE=0得 2-24=0， 知识点 m·BC=0,z,=0, aLaa∥au a与a:重合 知识点二 令x,=1,得平面CE的一个法向量为n=(1,一/5,0). 射影斜线斜线射影 P,Q分别为AE,BD的中点， 【互动探究解疑难】 P(.0oQ(-)》 探究一 [例1门[证明]如图所示，以B点为原点建立坐标系，设 -(-）…=+-=0， AB-a.BC=26,BB=c. 4 则A(a,0,0),C(0,2h.c),B(0,0.c).A(a,0,c) 所以D,(0,b.c),设D(0y,0)(0≤y≤2b), .PQ⊥R.又PQ女平面BCE,∴.PQ∥平面BCE. 探究三 所以AD=(-a,,0),AC=(-a,2h,e),BA,=(4,0, [例3][证明]以D为坐标原点，DA的长为单位长，建 c),BD=(0,b.c). 立如图所示的空间直角坐标系， 设平面ACD的一个法向量为m=(xy2), 设E(a,0,0),其中a>0, 则m·AD=-ax,十yy1=0, 8 且m·AC,=-ax,+2by+cx,=0 (2)因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC 因为PA⊥底面ABCD,BDC平面ABCD, 取y=a,则无，==以一2ab 所以BD⊥AP, 图为AC∩PA-A,所以BD⊥平面PAC, 则m=(a,a%2ab）。 所以平面PAC的一个法向量为BD=(一2,2,0). 又因为A,B∥平面ACD, 设平面PBD的一个法向量为n=(,y,), 所以m·BA=a,十cxa-2a PB=(2.0,-2),PD=(0.2.-2). =0, 解得y=, 由n·P5-2x一2x=0取=1x=1y=1 m=(6a,-2） n·PD=2y-2x=0, 所以平面PBD的一个法向量为n=(1,1,1D. 设平面A,BD的一个法向量 因为n·BD=1×(一2)+1×2+1×0■0， 为n=(xy,),则n· 所以n⊥BD,所以平面PBD⊥平面PAC. BA=a,xa十c2g=0,且n· 跟踪训练 BD,=by十cg=0. 2.解(1)证明正方体 ABCD-A,BC,D中，E为棱 取=1，则x=一 CC,上的动点， .BD⊥AC,BD⊥AA ,AC∩AA,=A, BD⊥平面ACC,A. :AEC平面ACCA AE⊥BD. 所以n=一9 厂abm,所以m∥n,所以平面A,BD,∥平 (2)设BD的中点为O,正方体ABCD-AB,C,D,的棱 长为2，设CE=m(0≤m≤2)， 面ACD 连接OE,OA,,以D为原，点，DA,DC,DD为x轴 跟踪训练 y轴、：轴，建立空间直角坐标系， 1.证明逢立如图所示的空间直 则O1,1,0),E(0,2,m》,B(2 角坐标系Dryg, 2,0),D(0,0,0).A(2,0,2), 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0, OE=(-1.1,m),BD=(-2,-2,0). 2,0),C(0,2,2),E(2,2,1) ,△BCE≌△DCE,.ED= F(0,0,1),B(2,2,2), EB,.OE⊥BD. 所以FC,=(0,2,1),DA=(2 0A=(1.-1,2), 0,0),AE=(0,2,1),CB .OA,·BD=0..OA⊥BD, =(2,0,0). ∴∠A,OE是二面角A,-BDE的平面角， 设n,=(x·y)是平面ADE的一个法向量， ”平面A,BDL平面EBD,∠AOE=受 期LDA.n.LA花.即m·DA=2,-0, ∴.OA,·OE=-1-1+2m=0,解得m=1. n·AE=2y+=0,”1✉=-24： ,当E为CC,的中点时，能使平面A,BD⊥平而EBD 令81=2，则y,=一1，所以可取m1=(0,一1,2) 探究三 L例3][证明]如图，取BC的中点O,连接AO交BD 同理，设n:=(x心)是平面B,CF的一个法向量。 于点E,连接PO. 由n⊥FC,n⊥CB, 因为PB=PC,所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD,平面 得n·C2%十名=0·解得=0， PBC∩平面ABCD=BC,POC平 而PBC, n·CB=2x=0, =-2y 所以PO⊥平面ABCD,所以AP 令=2，得y=一1，所以n:=(0,一1,2). 在平面ABCD内的射影为AO. 因为：=，所以n∥n,所以平面ADE∥平面B,CF, 在直角梯形ABCD中，由于AB 探究二 BC=2CD. 例2][证明]以A为原，点， 易知Rt△AB)≌Rt△BCD, AB,AD,AP所在直线分别为 所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA= r轴、y轴，”轴建立空间 90°，即AOLBD. 直角坐标系，则B(2,0,0), 由三垂线定理，得PA⊥BD C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) 跟踪训练 3.证明 平面PAD⊥平而ABCD,△PAD为等边三 (1)因为E是PC的中点 角形， 所以E的坐标为(1,1,1)， 故点P在平面ABCD内的射影为AD中点O, 所以AE=(1,1,1). 所以P)⊥平面ABCD,直线OA为直线PA在平面ABD 内的射影. 又因为PD=(0,2,-2)。 又PACD,由三垂线定理的逆定理可知AD⊥CD, 所以AE·PD=1×0+1×2+1×(-2)=0. 又因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AE⊥PD,即有AE⊥PD. 所以四边形ABCD是矩形. 9 【随堂巩固促应用】 :2.解析连接AD.'△ABC为等边三角形，D为BC的 1.解析因为a=(2,一1.0)，b=(一1，-2,0)，所以a·b =一1×2+(-2)×(-1)=0，所以a⊥b 中点AD=2×5=5.又SA 所以a与3的位置关系是垂直关系。 平面ABC, 答案B ∠SDA为SD与平面ABC所成的 2.解析因为m=(合k,3)m=(一4,1,1)分别是年面 角，.tan∠SDA= SA=3=5. AD3 @g的法向量，若a山3.则mLn,所以受×（一4）+k+3 答案A 探究二 =0,解得k=一1. [例2][解析]如图，设A在平面BPC内的射影为O, 答案B 连接OP,,∠APB=∠APC,.,点 3.解析周为平面8,3平行，所以二者法向量共线，选项 O在∠BPC的角平分线上，，， D中n=一2n,所以n,∥n1,故选D. ∠OPC=30°，∠APO为PA与平而 答案D 4.解析由三垂线定理的递定理，知D正确. PBC所成的角. .os∠APC=cos∠APO· 答案D 0s∠OPC,即cos60°=c0s∠APO· 1.2.3直线与平面的夹角 c0s30°， 【自主学习探新知】 知识点一 cos∠APO=3 31 2.斜足射影∠ABA'(1)∥C⊥(2)cos0= [答案]D cos0.·cos8,射影最小的角 跟踪训练 【互动探究解疑难】 3.证明：四边形ABCD为边长为a的菱形，且∠BAD 探究一 =60,O为菱形ABCD的中心， 例I](1)[解析」因为PA⊥平而ABC,BCC平面 ABC,所以PA⊥BC.因为BC⊥AC,AC∩PA=A,所以 AC为∠BAD的平分线，且AO-号a, BC⊥平而PAC,所以PB与平面PAC所成角为∠BPC 图为AC=3.PA=4,BC=5,所以PC=5,PB=5√2， ·∠BAC=30°.又∠A,AB=∠AAD=60°， ∴直线A,A在平面ABCD上的射影为直线AC, 所以sin∠BPC=5=复 522 [答案]A 记∠A,AC=则cos0=0s60_三=E c0s303 33 (2)[解析]取BC的中点D,连接 2 AD.B.D. 由AB=AC,则AD⊥BC,且ADI A,Ams0=2a…-。 3=2a=A0, BB,,BC∩BB.=B,BC,BBC平 脚点A,在平面ABCD上的射影为点O, 面BCCB,, .A,O⊥平面ABCD. .AD⊥平面BCC,B,,∠ABD 探究三 即为AB,与平面BCCB,所成 例3][解](1)证明在△DCM中，DC=1,CM=2, 的角. ∠DCM=60°，由余弦定理可得DM=√3， 设AB=2,则AA,=1, 所以Df+DC=CM, AD=AB-BD=√2-2=· .DMDC.由题意DC⊥PD且PD∩DM=D. .DC⊥平面PDM,而PMC平面PDM, AB,=√AB+BB=√2十I=√， 所以DC⊥PM.又AB∥DC,所以AB⊥PM. 所以nABD-铝-号所以∠ABD=5 (2)由PMMD,AB⊥PM,而AB与DM相交 所以PM⊥平面ABCD.因为AM=√7， 即AB,与平面BCCB,所成的角为45 所以PM=2√2，取AD中点E,连接ME, [答案]A 则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点， 跟踪训练 如图所示，建立空间直角坐标系， P 1.解析如图所示：设正方体的 则A(-√3,2,0)，P(0.0,2√2)， 边长为a,则a=16√2， D(3.0,0),M0,0,0). 故a=22,即AB=22, C(3.-1.0). .AC=2a=4. 又N为PC的中点 连接C,P, C,P=√CP-CC 所以N(停，-包) =√(23)-(22)=2. 不-(-2) ,AP=2,则，点P在A,C上且为中点，连接AC与BD 由(1)得CD⊥平面PDM,所以平面PDM的一个法向 交于O,连接OP, 量n=(0,1,0), 可知ACL平面BDD,B,则∠CPO为直线CP与平面 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 BDD1B所成角， 在R△CPO中，sim∠CPO=OC-2-3 IAN.n 2 15 P℃23 sin IANI 6 答案B √+要+2 10