1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

【随堂巩固促应用】 度，建立空间直角坐标系。 1.解析B=(-37.-5),00-号（-37，-5) 则B(1.0,0),D(0,1,1), (2号-）c(-2号) oo2)-Fll,2） 答案B M1o）cal.D. 2.解析设点P关于点A对称的点P,的坐标为(，y, -2+x=1, (1):=(o1,2）,DE 2 r=4, =(0,-1,-） ),由中点坐标公式可得 1十义=0， 2 解得y=一1 4十三=2， =0. ÷BF=-D,EBF∥DE,BF∥DE 2 (2-(-10,)Di=(合0，-1 故点P关于点A(1,0,2)对称的点P的坐标为(4.一1,0). 答案(4.-1,0) 3.解析AB=(-2,1,0).AC=(x,2,1),因为AB⊥AC 1 气BE不与D,M平行， 所以AB·AC=-2x十2=0，所以x=1 .直线BE不与直线D,M平行. 答案1 4.解析以点A为原点，建立如图 3)B=(-1,0,).C=(-0,- 所示的空间直角坐标系， 时.l2.F2.号》 aB屁.CM=(-1Dx(-)+0x0+号×(-D 所以EF= =3=0成1Gd. .BE⊥C,M √2-+-0+（-)- 跟踪训练 2.解析因为41⊥12，所以a⊥b,则a·b=(1,2,一2)· (-2,3,m)=-2十6-2m=0,解得m=2. 答案B 1.2空间向量在立体几何中的应用 3.证明设AB=a,AD=b,AA=c, 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 【自主学习探新知】 则-+DG=AD+号DC=b+, 知识点一 而AC=AB+AD=a+b,AC=2EG,故AC∥EG, 位置向量 即EG∥AC,又EG丈平而AB,C,ACC平面AB,C,从而 知识点四 EG∥平面AB,C. 1.充要2.MN⊥hMN⊥42距离 【互动探究解疑难】 又成-m,+D-名AD+Dd-=2b0 探究一 [例1门(1)[解析]由定义知，一个向量对应的有向线 而BC-B,C+CC=b-c=2EF.:EF∥B,C, 段所在的直线与直线AA平行或重合，则这个向量就 即EF∥B,C.又EF过平面AB,C,B,CC平面AB,C,从 称为直线AA,的一个方向向量： 而EF∥平面ABC [答案]ABD 又EG∩EF=E.EG,EFC平面EFG, ∴.平面EFG∥平面ABC. (2)[解析]由題意，可得直线1的一个方向向量AB 探究三 (4.6.又号A店=1,2,3)，所以向量1,2.3)是直线 [例3](1)[解析]由题意可得.BC=√AB-AC 1的一个方向向量 4,以C为坐标原点，向量CA,CB,CC,方向分别为x轴、 [答案]A y轴、轴建立空间直角坐标系， 跟踪训练 1.解析直线1的方向向量=(2,1,3)， 且1过A(0,y,3)和B(-1,-2,), .AB=(-1,-2-y,x-3)=a(2,1,3) =-7-2-y=4-3=3以， C 3 B 答案一号 2 探究二 则A(3,0,0),C(0,0,4),C(0,0,0),B(0,4,4), [例2][证明]知图，以A为原点，AB,AD,AA,的方向 所以AC=(-3,0.4).CB,=(0,4,4),AC·CB=16, 分别为x轴、y轴，2轴正方向，正方体的枚长为单位长 AC,1=5,1CB,1=42, 6 因此异面直线AC与BC所成角的余孩值等于：4，解析以A点为坐标原 |AC·CB. 点，建立如图所示的平面 COS(AC,CB,)=- 16_22 直角坐标系， AC1·CB 5×425 由题意可得：B(2,0,0), [答案]D C(0,23,0),A(0.0.0) (2)[解析]设CE=ACC,(0≤A≤1)，则A,B=AB D(0w3,1) AA..AE-AC+CE-AC+ACC=AC+AAA. 则BC=(-2,23,0), |AB|=4v2,AE1=√16+16x, AD=(05,1), A,B·AE=(AB-AA,)·(AC+B BC·AD=0+6+0=6,|BC1=Y+12+6=4, AAA,)=-16以. |AD|=√0+3+T=2,设异面直线BC与AD所成角为 cos (A,B.AE) A.B.AE 63 IA BIIAE 0,则cos0-×24 答案A ,因为异面直线A,B与AE所成角的余弦值 1.2.2空间中的平面与空间向量 √2+2x 第1课时平面的法向量及线面位置关系 为哥所以 /130 【自主学习探新知】 2+2 30解得A=，所以 知识点一 CE-T. 1,非零垂直法向量2.(1)方向向量法向量 (2)平行(3)0 [答案]号 知识点二 lLal∥alCa 跟踪训练 【互动探究解疑难】 4.解析如图，以D为原点，DA 探究一 为x轴，DC为y轴，DD,为： D 例1门「解]以，点A为原，点，AD, 轴，建立空间直角坐标系，在长 AB,AS所在的直线分别为x轴、y 方体ABCD-A,BC,D,中，AB A 轴、：轴，建立如阁所示的空间直 =BC=1.AA=3. 角坐标系， ∴A(1.0,0),D(0,03) 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0) D(0,0,0),C(0,1.3), D合0.0）s0,0D. AD=(-1.05)· (1)SA⊥平面ABCD.,∴，AS=(0,0,1)是平面ABCD DC=(0,1w3). 的一个法向量. 设异面直线AD,与DC,所成角为0， (2),AD⊥AB,ADI SA,AB∩SA=A, 则异面直线AD,与DC,所成角的余弦值为 .ADL平面SAB,且AB,SAC平面SAB, c0s0= |AD·DC=3 ∴AD=(分，0,0）是平面SAB的-个法向量。 |ADI·|DC,1 4 答案C (3)在举面sCD中，DC-(分10）.s=11,-D. 5.解析 设|PD|=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0), 设平面SCD的法向量是n=(x,y,),剩n⊥DC,n P00a.E(1,l,号） 花.n·DC0得方程组 DP=(0.0a,AE=(-1.l,受)） n·SC=0, 成.-号-+ 1 zx+y=0=-2y, x+y-g=0, z=一V, .a=2,.E的坐标为(1,1,1)，故选A. 令y=-1,则=1x=2,n=(2,-1,1). 答案A 所以n=(2,一1,1D是平面SCD的一个法向童。 【随堂巩固促应用】 跟踪训练 1.解析固为y=一2”，所以”∥"： 1,解设正方体ABCD-A,B,CD的棱长为2， 答案A 则D(0,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),E(1,0,2). 2.解析4与1不平行，则其方向向量一定不共线， (1)设平面BDDB的一个法向量为n=(x1y), A中b=-2a.B中b=-3a.C中b=2a. 答案D DB=(2,2,0),DD,=(0.0,2), 3.解析根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量 以及与之共线的非零向量叫微直线的方向向量，：d· DB:n=0·即2x,+2y=0. d都是直线【的方向向量，，直钱1的方向向量都应该 DD·n=0, 2x1=0, 是共线的。 令x=1,则为=一1，g=0, 答案A 平面BDD,B,的一个法向量为n=(1,一1,0) 7第一章空间向量与立体几何。 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 [学习任务] 1.理解空间中直线的方向向量的意义及求法 2.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线 所成的角 3.了解空间中两条异面直线的公垂线. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一用向量表示点的位置 <"0 一般地，如果在空间中指定一点O,那 <v,P> 么空间中任意一点P的位置，都可以由向 量OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的 如图.则①0的范围为[0，受】 ②0=〈y1,2)或0=x-〈y1,2》. 知识点二直线的方向向量 ③sin0=sin(片，yz)或cos0=|cos片，2). 定义：一般地，如果1是空间中的一条直 ④L1山4台(m)=受台m=0… 线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有 知识点四异面直线与空间向量 向线段所在的直线与（平行或重合，则称"为 1.异面直线的判定 直线！的一个方向向量.此时，也称向量v与 如图(1)(2)所示，如果A∈(1，B∈12：则 直线1平行，记作"∥. (与2异面时，可知”，2，AB是不共面的： 1.如果A,B是直线（上两个不同的点，则v= 反之，如果”1,2，AB不共面，则(1与是异 AB就是直线！的一个方向向量. 2.如果"是直线！的一个方向向量，则对任意 面的.也就是说，此时，“y,2,AB不共面”是 的实数入≠0，空间向量A"也是直线！的一 “L与异面”的 条件 个方向向量，而且直线！的任意两个方向向 量都平行。 3.空间中直线1的位置可由方向向量v和l上 1) 的一个已知点唯一确定. 2.异面直线间的距离 4.””分别是直线1,4的一个方向向量，则 一般地，如果（与(，是空间中两条异面 1∥2台l1∥L2,或1与12重合 直线，M∈l1,N∈l2, 知识点三空间中两条直线所成的角 则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面 ”,分别为空间中直线1，的方向向 直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线 量，且(1与2所成角的大小为a. 之间的 15 》高中数学·选择性必修第一册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一 求直线的方向向量 (2)BE不与D,M平行： [例1门(1)（多选）如图，在 D 正方体ABCD-A,B,CD, 中，E为棱CC,上不与 C,C重合的任一点，则能 作为直线AA,的方向向 (3)BE⊥C,M. 量的是 A.AA B.CE C.AB D.AA (2)若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线1 上，则直线！的一个方向向量为 A.(1,2,3) B.1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 川规律方法川 1规律方法川 对直线方向向量的两点说明 判定直线平行，垂直的向量法 (1)方向向量的选取：在直级上任取两点P,Q,可得到 书分别为（与的一个方向向量。 (1)m∥l∥L或4与2重合. 直线的一个方向向量PQ (2)m,与书不平行白l1与4不平行 (2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一 (3)”1·p.■0台v1L=(4⊥. 的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线 向量，解题时，可以选取坐标最筒的方向向量。 (4)”·”≠0白￥与”不垂直曰l与1不垂直。 口跟踪训练 跟踪训练 1.已知直线1的方向向量v=(2,1,3),且1过 2.设直线41,4的方向向量分别为a=(1,2, 一 A(0,y,3)和B(一1，一2，x),则y= 2),b=(-一2,3，m),若l1⊥l2,则实数m等于 g= 探究二利用直线的方向向量解决直线的平 A.1 B.2 C.3 D.4 行、垂直问题 3.如图，在平行六面体ABCD D G C E [例2]在正方体ABCD-AB,CD,中，E为 A,BCD中，E,F,G分别是 A AA,的中点，F为CC,的中点，M为CD的 A,D,DD,DC的中点. 中点.证明： 求证：平面EFG∥平面AB,C (1)BF∥DE: 16 第一章空间向量与立体几何。 探究三空间中两条直线所成的角 ☑跟踪训练 [例3](1)如图，在直三棱 4.在长方体ABCD-A,B,CD1中，AB=BC 柱ABC-A,BC中，AC 1,AA,=√3，则异面直线AD,与DC,所成 ⊥BC,AB=5,AC=3, 角的余弦值为 AA,=4,则异面直线AC 与B,C所成角的余弦值 A司 B号 c n号 为 A 5.(2022·济南高二期末)如图所示，PD垂直于 B C.15 5 D.22 5 正方形ABCD所在平面，AB=2,E为PB的 (2)在直三棱柱ABC-A,B,C1中，∠BAC= 90°，AA,=AB=AC=4,点E为棱CC,上 中点，os(Di,A=若以DA,DC,DP 一点，且异面直线AB与AE所成角的余 所在直线分别为x轴、y轴、之轴建立空间直 弦值为需则CE的长为 角坐标系，则点E的坐标为 川规律方法川 计算异面直线夹角时常用的三种方法 (1)平移法：将异面直线通过平移转化成共面直线，结 合三角形知识求解， (2)补形法：通过补形（一：是补一个相同的儿何体）将 异面直线通过平移转化成共面直线，结合三角形知 识求解， A.(1,1,1) B(1山2】 (3)向量法：建立空何直角坐标系，结合向量夹角公式 求解. c(1.1,) D.(1,1,2) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知两个不重合的直线(，和的方向向量 A.d∥d 分别为y=(1,0,一1)，=（一2,0,2），则 B.d=d L1与l2的位置关系是 ( ) C.d与d2同向 A.平行 B.相交 D.d⊥d有相同的位置向量 C.垂直 D.不确定 4.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,D是 2.下面各组向量为直线(1与2的方向向量， 则41与一定不平行的是 ( PC的中点，已知∠BAC=受，AB=2,AC= A.a=(1,2,-2),b=(-2,一4,4) 23,PA=2,则异面直线BC与AD所成角 B.a=(1.0,0),b=(-3,0,0) 的余弦值为 C.a=(2,3,0),b=(4,6,0) A C. D D.a=(-2,3,5),b=(-4.6,8) 3.设d1,d2都是直线I的方向向量，则下列说 提示请完成《索能提升训练》训练六 法中正确的是 17