1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

》高中数学·选择性必修第一册(RJB) 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时空间向量的坐标及运算 [学习任务 1.理解空间向量坐标的概念 2.掌握空间向量的线性运算的坐标表示，掌握空间向量数量积的坐标表示， 3.掌握空间向量的模和夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题， 自主学习探新知 谦前预习双基落实 知识点一空间中向量的坐标 续表 一般地，如果空间向量的基底{e1,e,e} 向量运算 向量表示 坐标表示 中，e,e2,都是 ,而且这三个向量 数量积 a·b ,就称这组基底为 :在 单位正交基底下向量的分解称为向量的 模 a-va √x十十 ,而且，如果p=ae1十e2十es,则称 cos(a,b】 xI3十y1y十2 夹角 a·b 有序实数组(x,y,x)为向量p的坐标，记作 ab /+y+·+,+ p= ,其中x,y,之都称为p的 知识点三 空间向量的平行、垂直 知识点二空间向量的坐标运算 a=(x1y1,1）,b=(x2,y2,2)(a≠0). 空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y, x2= 1),b=(x2y2,2) 1.平行：a∥b台b=a台y2= 向量运算 向量表示 坐标表示 22= 相等 a=b 当a的每一个坐标分量都不为零时，a∥b台 加法 a+b 工=丝= x1 y z 线性运算 ra十xb 2.垂直：a⊥b=a·b=0白 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一空间向量的坐标运算 口跟踪训练 [例11已知a+b=(-2,5,4),a-b= 1.向量a=(2,0,5),b=(3,1,-2),c=(-1, (4,一1,2)，则a= ,b= 4,0),则a十6b-8c= 川规律方法川 2.已知a=(1,-2,1),a一b=(-1,2,-1), (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个岗 则b等于 () 量的有向线段的终点坐标减去起点坐标， A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) (2)空闻向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运 C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) 算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算： 探究二 空间向量的模和夹角 先算括号里，后算括号外， [例2](1)若向量a=(1,-1,2),b=(2,1, (3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则 -3),则2a+b= () 基本一样，应注意一些计算公式的应用。 A.7 B.22 C.3 D.3/2 10 第一章空间向量与立体几何。 (2)(2022·合肥高二检测)已知向量a=(2, (2)当(a+b)⊥(a-3b)时，求实数A的值. -1.3b=(-1k,一)，若向量ab的夹角 为钝角，则实数k的取值范围是 川规律方法 空间向量的数量积、模，夹角公式的坐标表示a (1y),b=(y2) (1)a·b=x1x2+y34十82 川规律方法川 (1)平行与垂直的判断 (2)a=√a=/++. ①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直 (3)cos(a.b)= a·b 志十y为十出乡 线的方向向量是否共线， ab 元十y十·，十十 ②判断两直线是否垂直，关使是判断两直线的方向 向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0. ☑跟踪训练 (2)平行与垂直的应用 3.(2022·太原高二期末)已知a=(1-t,1,0),b ①适当引入参数（比如向量a,b平行，可设a=b), =(2,t,1),则b一a的最小值是 建立关于参数的方程， A.1 B.2 C.3 D./5 ②选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 4.已知a=(1,0,0),b=(0,-1,1),若a十b 跟踪训练 与b的夹角为120°，则入的值为 () 5.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka A B.-6 c± D.±√6 +b与2a一b互相平行，则k的值是() 探究三空间向量的平行与垂直 A.-2 B号 [例3]已知a=(1,5,-1),b=(-2,3.5) (1)当(a十b)∥(a-3b)时，求实数入的值： c号 6.空间有四点A,B,C,D,其中AB=(2m,m,2), CD=(m,m+1,-5),AB CD= (6,号.-3列，则直线AB与D () A.平行 B.重合 C.必定相交 D.必定垂直 随堂巩固促应用 验证悦馈迁移运用 1.已知a=(1,-2,1),a-b=(一1,2，一1)，则 3.(2022·大连高二检测)若向量a=(x一1， b等于 ) 一2,4)与向量b=(1,x十2,2)互相垂直，则 A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) x的值为 C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量a=(2,3,1),b=(1,2,0),则 4.已a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3, a+b等于 ( 则向量a与b的夹角为 A.3 B.3 提示，请完成《素能提升训练》训练四 C.√35 D.9 11 》高中数学·选择性必修第一册(RJB) 第2课时空间直角坐标系及其应用 [学习任务] 1.了解空间直角坐标系. 2.会求空间中的点的坐标、两点间的距离以及两点的中点坐标. 3.掌握空间向量坐标的简单应用。 自主学习探新知 保前预习双延落实 知识点一空间直角坐标系的建立 知识点二空间直角坐标系下点的坐标与向 在空间中任意选定一点O作为坐标原 量坐标 点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系 1.在空间直角坐标系中，点M坐标为(x,y .然后过O作一条与 ),x,y,之都称为点M的 ,且x称 的数轴x轴.这样建立的空间直角坐标系记作 为点M的 (或 ),y称为 点M的 (或y坐标)，x称为点M 1.x轴、y轴、之轴两两互相 ,都称为 的 (或 2.在空间直角坐标系下，如果指定e1,e2,e2为 2.通过每两个坐标轴的平面都称为 以O为原点，且与x轴、y轴，之轴正方向同 分别记为 向的单位向量，则{e,egea}为 3.在平面内画空间直角坐标系Oxy2时，一 且OP的坐标与P点坐标 即OP= 般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向 re1+3eg十2e3= 台P 与y轴正方向夹角为135°（或45°），x轴 知识点三空间向量坐标的应用 与y轴（或x轴） 如图(1)(2) 在空间直角坐标系中，A(工1，M,),B(2, 所示. 为，2)，则AB= 1AB=√(-x)+(2-y)+(2-名) 线段AB中点M的坐标为(5平，当”。 2 十》 2 12 第一章空间向量与立体几何 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一空间向量的坐标表示 探究二空间线段的中点坐标与距离公式 [例1]设正四棱锥SP,PP,P,的所有棱长 [例2]在长方体ABCD-AB,C,D1中，AB 均为2，建立适当的空间直角坐标系，求 =AD=2,AA,=4,点M在A,C上，MC SP,P2P的坐标. =2|AM|,点N在D,C上且为D,C的中 点，求M,V两点间的距离. 川规律方法川 用坐标表示空间向量的步骤 充分综修形特配 建标 供愁将持社线文家行半标盒 器利用全的减及数西算 定站果 将所求判计圳C沟林利计表示出 川规律方法川 。确定坐标 门)空间直角坐标系中，设P(x1,,),P(xy: ),线段PP:的中点为P(x,y,x),则。 ☑跟踪训练 2 1.如图，在直三棱柱ABC- (2)计算空问两点问的距离 A,B,C1的底面△ABC中， ①若两点坐标已知，则直接代入空何两点间的距离 CA=CB=1,∠BCA=90°， 公式： 棱AA,=2,N为A,A的中 ②若点的坐标未知，则需建立适当的空问直角坐标 点，试建立恰当的坐标系求向量BN,BA, 系（有些题目巳给出坐标系），利用平面图形及空间 图形的性后，结台坐标系表示出相关点的坐标，最 AB的坐标. 后代入空阿两点闻的距离公式， 口跟踪训练 2.已知三角形的三个顶点A(2,一1,4)， B(3,2,一6).C(5,0,2).则过A点的中线长 为 :过B点的中线长为 3.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3) 则△ABC的形状是 () A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 13 ●高中数学·选择性必修第一册(RJB) 探究三空间向量坐标的应用 川规律方法川 [例3]如图，在直三棱柱ABC 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系， AB,C中，底面是以∠ABC为 使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便 直角的等腰直角三角形，AC= 捷.建立坐标系后，写出相类点的坐标，然后再写出相 2a,BB=3a,D是AC的中 应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的 坐标运算求解夹角和距高问题 点，E是BC的中点 (1)求cos(BE,CA,): 。跟踪训练 (2)在线段AA,上是否存在点F,使CF⊥ 4.如图，在直三棱柱ABC A1B,C1中，CA=CB=1,A 平面B,DF?若存在，求出|AF|:若不存 在，请说明理由. ∠BCA=90°，棱AA,=2,M,M N分别是AA1,CB,的中点. (1)求BM,BN的长： (2)求△BMN的面积. 随堂巩固促应用 验证反偷迁移透用 1.已知A(3,一2,4)，B(0,5,-1),O是原点， 4.如图，在长方体ABCD-A1BC,D1中，AB 若OC-号Ai,则C的坐标是 BC=2,AA,=、2,E,F分别是平面 A,BC,D,平面BCCB,的中心，则E,F两 A2,-49 B（-2号-9 点间的距离为 c(么.-号-) n(2,9 2.在空间直角坐标系中，点P(一2,1,4)关于点 A(1,0,2)对称的点P的坐标是 3.已知A(0,1,2),B(一2,2,2)，C(x,3,3),若 AB⊥AC,则x= 提示请完成《素能提升训练》训练五 141.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 当(a十b)/(a-3b)时,存在实数t使得(a十b) 第1课时 空间向量的坐标及运算 t(a-3b). 【自主学习探新知】 (-2-71. 所以{5+3--41 解得一一 1 知识点一 单位向量 两两垂直 单位正交基底 单位正交分解 -&+5--16. (r.y.) 坐标分量 (2)当(xa+b) l(a-3b)时.(a+b)·(a-3b)=0. 知识点二 所以7(-2)-4(5+3)-16(-$+5)-0.解得 r.=y=y,=(x十x,y+y,十z) 1-106 (r +uxy+vy+v)xx+y十 3 知识点三 跟踪训练 1.xy2.xx+yy+zz- 5.解析 .a-(1,1,0),b-(-1.0.2). 【互动探究解疑难】 '.a+b-k(1,1,0)+(-1,0,2)-(-1,k$) 探究一 2a-b-2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2). [例1] [解析]a-(a十b)十(a-b) 又n十b与2a-b互相平行, 所以存在入,使得a十b-&(2a-b). (4,-1.2)]-(2,4.6)-(1,2.3). 即(-1,b,2)-(3,2,-2). (-1-3. 所以k-2, 解得/--1. 2 2=-2. 1--2. 答案A [答案] (1.2,3)(-3,3,1) 6.解析 i AB+CD-(2m,m,2)+(m,m+1.-5)=(3n. 跟踪训练 1.解析 a+6b-8c-(2,0,5)+6(3,1,-2)-8(-1,4,0) -(2.0.5)+(18,6,-12)-(-8.32,0)-(28,-26,-7). (3n-5. #.以AB-(12)#(CD- 答案 (28.-26.-7) {2m+1-13即n=- 依题意,得b-a-(-1,2,-1)=a十(1,-2,1) 2.解析 ($.-)#-因#-10++ -2(1,-2,1)-(2.-4.2). 答案A 探究二 2X(-5)-0,所以AB|CD,故选D [例2](1)[解析]由于向量a=(1,一1,2),b-(2,1. -3),所以2a+b-(4.-1,1). 答案 D 【随堂巩固促应用】 故|2a+bl-4+(-1)+1-18-3② 1.解析 b-a-(a-b)-(1,-2,1)-(-1,2.-1) [答案]D (2.-4.2). a.b 由题意可知:cos(a,b)一 答案A (2)[解析] ab 13二 2.解析 13一: a+b-(3,5.1),故|a+b|=3+5+1 2 <o且cos(a,b) =./5. #13 一子 答案 /13& 14·4 C /14· 3.解析 '向量a=(x-1,-2,4)与向量b-(1,r十2,2)互 #1.解得 -## 相垂直,,a·b-0,即x-1-2(r+2)+4×2-0,解得 r-3. 答案 即 (-3.)(+~) 表选C 4.解析 由已知条件可得a·b-x十2-3,解得x-1, (-3.)(+) [答案] 所以,b- 1+1+2-, 跟踪训练 cos(a.b)- a· b×v a.b 3.解析 因为a=(1-1.1,0),b=(2,1,7). 所以b-a-(1+1.1-1,t). 则 b-= (1+)+(-1+=3+2/② 答案 当1-0时,b-a的最小值是v2. 答案 B 第2课时 ,a+ab-(1.-,),b-(o,-1,1),(a+b) 空间直角坐标系及其应用 4.解析 【自主学习探新知】 ·b-2,la+a|=2+1,b-②,cos 120*= 知识点一 (a十&b)·b xOy rOy平面垂直 Oxyz la+b|b 1.垂直 坐标轴 2.坐标平面 zOy平面 π+1xv2 yO:平面 -Or平面 3.垂直 知识点二 答案 B 1.坐标分量 横坐标 x坐标 纵坐标 竖坐标 z坐标 探究三 2.单位正交基底 相同(x,y,z)(x,y,z) [例3][解](1)a+b-(-2,5a+3,-a+5),a-3b 知识点三 -(7,-4,-16). (x一r..一y,.-) 【互动探究解疑难】 探究三 探究一 [例3] [解](1)以B为坐标原点, [例1] [解 如图所示,建立空 建立如图所示的空间直角坐标系。 .AC-2a. ABC-90*. ”# 间直角坐标系,其中Q为底面 正方形的中心,PP。y轴, '$AB=BC-/②a. P.P x轴,SO在:轴上. . PP-2,而P.P.P.P ..B(0.0.0),A(2a,0.0). 均在xOy平面上, C(0.2a,0).B.(0.0,3a). A (/②a,0,3a),C(0.2a,3a). $.P(1.1.0).P(-1,1.0). (OB 在xOy平面内,P 与P 关于 #a),(). 原点O对称,P.与P。关于原点O对称, CA-(a-2A:3)#n(0#). &$.P(-1.-1,0),P(1,-1.0). 又 $P-2.OP - $在R△SOP 中.1SOl-②..s(o.0.v2). ##A--+0-# PP-OP-OP-(0,-2.0). (答案不唯一) BE.CA ..cos(BE,CA)一 7/143 跟踪训练 BE CA 143 1.解 由题意知CC 1AC.CC BC.AC BC,以点C为原点,分别 (2)存在,理由如下:假设存在点F,使CF |平面BDF. 以CA.CB,CC的方向为x轴、y 不妨设AF-b,则F(v/②a,0.b). 轴、:轴的正方向建立空间直角坐 CF-(v2a.-v2a,b),B.F-(2a,0.b-3a). 标系Cxyz,如图所示. #.一(##). 则B(0.1,0),A(1.0.0),A.(1,0,2). N(1.0.1). .CF·BD-+0=0CF1BD恒成立. '.BN-(1.-1,1),BA-(1.-1,2),AB=(-1,1,-2). 由BF·CF-2a+6(6-3a)-6-3ab-2a-0. 探究二 [例2] [解] 如图,以A为原点, 得b-a或b-2a. 0 分别以AB,AD.AA 所在直线为 '.当AFl-a或 AF -2a时,CF1平面BDF. x轴y轴、轴建立空间直角坐 跟踪训练 标系, 4.解 以C为原点,以CA.CB.CC.所 则A(0.0.4).C(2,2,4).C(2. 在直线分别为工轴、y轴、:轴建立空 2.0).D(0.2,4).由|MC.|= 间直角坐标系(如图).则B(0,1,0), 21AM1,可得M(4),由 M(1.0,1),N(o..1). N为CD的中点,可得N(1,2. (1)·BM-(1.-1,1). 2..MN BN (o.-1).BM= (1-)+(2-)+(2-4) ①+(-1+1-③. /53 ###一#(一-+#一# 跟踪训练 2.解析 由题意,BC的中点D(41,一2),AC的中点 ##(-,)# ____ (2)'cos MBN-cos(BM,BN) BM.N 所以AD=(2-4)+(-1-1)+(4+2)-2/1. BE#(3+(2+)+(-6-3)#-14. 15 - 答案 /1 14 #sin MBN一1-()#-# 3.解析 因为A(4.3,1),B(7,1,2),C(5,2,3), 所以AB-(4-7)+(3-1)+(1-2)=14, 故So-·BM|·1BN|·sin MBN AC-(4-5)+(3-2)+(1-3)-. #×#10# BC-(7-5)+(1-2)+(2-3)-. 所以AC-BC,所以△ABC是等腰三角形. 答案 A 5 【随堂巩固促应用】 度,建立空间直角坐标系. ## 1.解析 :AB-(-3.7.-5),OC 则B(1.0.0),D(0.1.1). E(o.0),F(1,1,). (2.14-1).c(-2.1-1). 答案 B M(},1.0).c(1.1,1). 2.解析 设点P关于点A对称的点P.的坐标为(x.y, (1)·-(0.1.).DE -2十-1. -(0.-1.-) 1y-0,解得 --1. (-4. ),由中点坐标公式可得 2 1-0. 4*_2 $BF--DE.BF/DE..BF/DE. (2)BF-(-1.0.).D.M-(.0.-1). 2 故点P关于点A(1,0.2)对称的点P的坐标为(4.一1,0). 答案(4.-1.0) 3.解析 AB-(-2,1,0),AC-(r,2.1),因为AB1AC. 所以AB·AC=-2x+2-0.所以x-1. 答案1 .直线BE不与直线D.M平行. (3)B-(-1.0.).C-(-.0.-1). 4.解析 以点A为愿点,建立如图 C 所示的空间直角坐标系, ·CM-(-1)×(-)+oxo+x(-一1) 则E(1.1v/2).f(2.1.). n... 7( 所以EF- ..BE1C.M. 跟踪训练 2.解析 因为l.I.,所以alb,则a·b-(1,2.-2)· 答案 (-2,3,m)--2+6-2m-0,解得m-2. 答案 B 1.2 空间向量在立体几何中的应用 3.证明 设AB-a,AD-b.AA-c. 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 【自主学习探新知】 知识点一 位置向量 面AC-AB+AD-a+b*AC=2EG,故AC/EG 知识点四 即EG/AC.又EGC平面AB.C.ACC平面ABC,从而 MN11. 距离 EG/平面AB.C. 1.充要 2.MN1/ ##EF-ED+pR-A.D+DD- 【互动探究解疑难】 探究一 [例1](1)[解析] 由定义知,一个向量对应的有向线 BC=BC +CC-b-c=2FF .EF/BC. 段所在的直线与直线AA;平行或重合,则这个向量就 即EF/BC.又EFC平面ABC.B.CC平面AB.C,从 称为直线AA.的一个方向向量。 而EF/乎面ABC. [答案] ABD 又 EGOEF=E,EG,EFC乎面EFG .平面EFG/平面ABC. (2)[解析] 由题意,可得直线/的一个方向向量AB 探究三 (2.4,6).又AB-(1,2,3),所以向量(1,2.3)是直线 [例3](1)[解析] 由题意可得,BC一AB一AC /的一个方向向量。 4.以C为坐标原点,向量CA.CB,CC.方向分别为工轴、 [答案]A y轴、:轴建立空间直角坐标系, 跟踪训练 C 1.解析.直线/的方向向量v一(2,1,3) 且/过A(0,y,3)和B(-1.-2.). ·AB-(-1.-2-y.-3)-(2.1,3). .三一 2.-2-y-.x-3-3. 1。 #- . 答-} 探究二 则A(3,0.0),C(0,0,4),C(0.0.0),B(0,4,4). [例2] [证明] 如图,以A为原点,AB,AD,AA.的方向 所以AC-(-3.0.4),CB-(0.4,4),AC ·CB-16. 分别为x轴、y轴、:轴正方向,正方体的校长为单位长 [AC |-5.CB -4/②