1.1.2 空间向量基本定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

第一章空间向量与立体几何 1.1.2空间向量基本定理 [学习任务] 1,理解共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面 问题. 2.理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一共线向量定理与共面向量定理 知识点二空间向量基本定理 1.共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a,则 如果空间中的三个向量a,b,c 存在 的实数A,使b=a 那么对空间中的任意一个向量P,存在唯一的 2.平面向量基本定理：如果平面内两个向量a 有序实数组(x,y,),使得p=xa十b十C. 与b ,则对该平面内任意一个向量 1.若0十b十℃=0台.x=y=x=0. c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=a 2.表达式xa十)b十℃一般称为向量a,b,c的 +3b. 或 3.共面向量定理：如果两个向量a,b 3.如果三个向量a,b,c不共面，则它们的线性 ,则向量a,b,c共面的充要条件是：存在 组合0十b十℃能生成所有的空间向量. 的实数对(x,y),使c=a十3b. a,b,c组成的集合{a,b,c}称为空间向量的 4.共面向量定理的推论：如果A,B.C三点 一组 此时，a,b,c都称为 ,则点P在平面ABC内的充要条件是存 :如果p=xa十b十心，则称xa十b十 在 的实数对(x,y),使AP=xAB十 c为p在基底{a,b,c}下的分解式. yAC. 互动探究解疑难 装点归纳重难突碳 探究一 空间向量的共面问题 给出证明：若不共面，请说明理由， [例1](1)(2022·临沂高二期末)已知点M 在平面ABC内，并且对空间任意一点O,都 有O-x0i+号0+号0C.则x的值是 A.1 B.0 C.3 (2)对于任意空间四边形 ABCD,E,F分别是AB, CD的中点，请问EF与BC, AD是否共面？若共面，请 》高中数学·选择性必修第一册(RJB) 规律方法川 川规律方法川 证明空间向量共面或四点共面的方法 用基底表示向量的步骤 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共画的向量构 个向量的线性组合，即若p=m十3b,则向量P,a, 成空问的一个基底。 b共面 (2)找目标：用确定的基底（或已知禁底）表示目标向 (2)四点共面：若存在有序实数组(x,y,:)使得对于空 量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 间任一点O和不共线的三点A,B,C,有OP=xOA 相等向量的代换，向量的运算进行变形，化简，最后 +yOB+OC,且x十y+=1成立，则P,A,B,C 求出结果 (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a,b,c可以表 四点共面 示出空间所有向量，表示要向底，结采中只能含有 @跟踪训练 a,b,c,不能含有其他形式的向量. 1.已知A,B,C三点不共线，平面ABC外一点 。跟踪训练 M满足0i=号0A+号O成+号0元.判断 2.已知空间四边形OABC中，OA=a,OB=b, MA,MB,MC三个向量是否共面. OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N为 BC的中点，F为MN中点，用基底{a,b,c} 表示以下向量： (1)MN: (2)OF. 探究二空间向量基本定理 [例2] 如图，已知正方体 ABCD-A'B'CD',点E是 上底面A'B'CD的中心， 探究三空间向量基本定理的应用 求下列各式中x,y, [例3]已知在平行六面体ABCD-A,B,CD, 的值. 中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于 (1)BD=xAD+yAB+AA': 1,且彼此的夹角都是60° (2)AE=xAD+yAB+<AA'. (1)求AD·AB: (2)求AC的模. 8 第一章空间向量与立体几何。 变式训练 川规律方法川 1.本例的条件不变，求向量AC,与AA的夹角 利用空间向量基本定理求空间 的余弦值. 向量的数量积，长度，夹角的技巧 根据条件确定基底，一般用已知的向量（向量的长 度已知，夹角已知等等)作为基底，用基底表示要求的 向量，可证平行、垂直。可求两向量的数量积、夹角，可 求向量的长度， ☑跟踪训练 3.对空间内任意一点O,都有OA,OB,OC两 两垂直，则△ABC是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.如图所示，空间四边形OABC 中，OB=OC,∠AOB=∠AOC =号，则cos<OA,BC>的值 是 A.0 B. c. n 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 1.(多选)已知A,B,C,D,E是空间五点，若 3.已知在四面体ABCD中，AB=a一2c,CD= AB,AC,AD与AB,AC,AE均不能构成空间 5a+6b一8c,对角线AC,BD的中点分别为 的一个基底，则下列结论正确的是() 点E,F,则EF= (用a,b,c表示). A.AB,AD,AE不能构成空间的一个基底 4.如图，已知在长方体ABCD-A1BCD1中， B.AC,AD,AE不能构成空间的一个基底 AB=AA,=2,AD=4,E为侧面AA,B,B 的中心，F为AD,的中点.则： C.BC,CD,DE不能构成空间的一个基底 D.AB,CD,EA能构成空间的一个基底 B 2.在下列条件中，使M与A,B,C一定共面的 是 A.OM=OA-OB-0元 (1)BC·ED,= B.0M=3oi+号oi+20d (2)BF·AB,= C.MA+MB+MC=0 提示请完成《素能提升训练》训练三 D.OM+OA+OB+OC=0 9知识点二 2.乘积 =号-号，-专：c+号.而+ 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)(AB,BA)=180° -- a-a+a+g+ (2)图为EF∥BD且方向相同，所以(BD,EF)=0. (3)因为GF∥AC且方向相反，所以(AC,GF)=180 =√尿示-气即MN-气 跟踪训练 (4)因为△BCD是等边三角形，所以(BC,BD)=∠DBC 3.解析由a⊥b,得a·b=0,所以(2e,+3e)·(e,一 =60°. 4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6. (5)因为AC与CD首尾相接，所以〈AC,CD)=180° 答案B ∠ACD=120°. 4.解析a+b1=24 (6)周为GF∥AC,所以(GF,AD)=CA.AD)=180° .(a+b)2=576,则a+2a·b+b=576, ∠DAC=120. .2a·b=576-132-192=46. 跟踪训练 又a-b12=(a-b)2=a2-2a·b+b=13+19-46 1.解连接AD,CD',BD,则在正方体ABCD-A'B'C'D =484, 中，AC BD .a-b1=22 ∠BAC=45°，AC=AD'=CD, 答案22 所以《AC,A'B)=(AC,AB=5: 【随堂巩固促应用】 1.解析对于A,可举反例：当a⊥b时，a·b=0,即A不 (AC.B'A=(AC.BA) 是真命题：B显然是真命题：对于C,因为a°=b,所以 =180°-(AC,AB》=135°： a=b,是真命题：对于D,当a,b同向时，a·b>0, (AC,AD)=∠DAC=60°： 而(a,b)不是锐角，不是真命题. 答案BC (AC.CD)=180°-(CA.CD =180°-60°=120°： 2.解析 弦，A0=AB,专AC=名A店.(A店+Ad (AC,BD')=(AC,BD》=90° +A)=A话+A店.A市+A店.A 探究二 [例2)[解]1)E萨.B-D, =A话=名A=2 答案C BBAI cos(BD.BA)-cos 60* 4 3,解析AC=AB+AD+AA,AC-AB+A方 2E正.BD=成，D=BD- +AA,+2AB·AD+2AB·AA,+2AD·AA,=1十 (3)AB.CD=AB.(AD-AC)=AB.AD-AB.AC 1+1+2×1×1×(-专)+2X1×1×(-2)+2x1 =ABIADIcos(AB.AD)-ABIIACIcos(AB.AC) X1Xcos∠DAA=2.dcos∠DAA,=号，∠DAA, =cos60°-cos60°=0. 跟踪训练 60°，故选C 2.解(1)在正方体中，AB⊥AA',AB⊥AD,故a·(b+ 答案C c)=a*b+a·c=0. 4.解析12a-3b12=(2a-3b)2=4a-12a·b+9b (2)由(1)知，a·(a+b+c)=a·a+a·(b+c)=1. =4×|a2+9×1b2-12×1a·1b·cos60°=61. (3)由(1)及AD⊥AA'知，(a+b)(b+c)=a·(b+e)+ ∴.2a-3b=6. b+b·c=1. 答案√GI 探究三 1.1.2 空间向量基本定理 [例3](1)[解析]a-b与a垂直，∴.(a一b)·a=0, 【自主学习探新知】 ∴a·a-a·b=a-alb·cosa,b) 知识点一 =1-1×2×co%(a.b>=0, 1.唯一2.不共线3.不共线唯一4.不共线唯一 osa,b-.0≤a.b≤180a.b=45 知识点二 不共面2.线性组合线性表达式3.基底基向量 [答案]D 【互动探究解疑难】 (2)[解]~MN-M店+B配C+CN=号AB+(AC 探究一 AB)+(AD-AC)--AB+IAD+AC. [例1]1)[解析]周为01=x0A+号0店+号元，且 ∴MN.MN=-号Ai+号i+号AC.(-3AB科 MABC回点共面：所以必有十号+写-1解得 1 3ai+号0 ,故选D [答案]D 2 (2)[解]EF与BC,AD共面.证明如下： AC=(AB+AD+AA,)=AB+AD+AA+ 在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD上的点， 2AB·AD+2AB·AA,+2AD·AA 由向量加法法则， =1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60)=6, EF-EA+AD+DF.EF-EB+BC+CF. ·1AC=6. 又E,F分别是AB,CD的中点， 变式训练 故有EA=-EB.DF=-CF ② 1.AA.AC.-AA..(AB+AD+AA,)-AA..AB 将②代入①中，再两式相加得2EF=AD+BC, +AA,·AD+AA,·AA=2, 所以E求=合Ai计号BC,脚F与BC,A共面。 所以向量AC,与AA,的夹角的余弦值为 跟踪训练 AA,·AC 2_6 1.解MA,MB,MC三个向量共面. IAA,IAC 6 3 周为0i=0i+号0话+0元. 跟踪训练 所以3OM-OA+OB+OC, 3,解析OA,0B,OC两两互相鲁直，所以AB.AC=(OB 化简，得(OA-OMD+(OB-OM)+(OC-OM0=0. -OA)·(OC-OA)=OA·OA=1OA>0, 即MA+MB+MC=0.即MA=-MB-MC, 所以〈AB,AC)为锐角，同理∠ABC,∠BCA均为锐角. 答案A 故MA,MB,MC共面. 4.解析，OB=OC, 探究二 [例2][解]()：BD-BD+DD=BA+BC+DD ∴04.BC-0A.(0元-OB)=O4.0元-OA.OB =-AB+AD+AA', oi1·10os号-oi1·1oico号=2oi· 又BD=xAD+yAB+xAA'∴x=1,y=-1,x=1. (1OC1-1OB)=0, 2:A正=A+A花=A+号A ∴cos<OA,BC>=0,故选A 答案A -A+号AB+AD 【随堂巩固促应用】 1,解析由题意知，空间五点A,B,C,D,E共面，故A,B, -AA+2AB'+2AD-2AD+24B+AA. C正确，D错误. 答案ABC 又A正-rAi+yA店+：A-y-=1 2.解析M与A,B,C一定共面的充要条件是0OM=xO 跟踪训练 十yOB十xOC,x十y+=1,对于A选项，由于1-1 2解如图所示， 1=一1≠1，所以不能得出M,A,B,C共面.对于B选 DMN-O成-oi=2oi+0 孩，由于号十号十1，所以不能得出M,A,B,C共 面.对于C选项，由于MA=一MB-MC,则MA,MB, (2)0示= 2(OM+ON) MC为共面向量，所以M,A,B,C共面.对于D选项，由 OM+OA+OB+OC=0得OM=-OA-OB-OC,而 一1一1一1=一3≠1，所以不能得出M,A,B,C共面. 答案C ×号oi+×号oi+ 2 3,解析如图，取BC的中点G,连接 EG.FG. -i+成+心-a+b c. 剥-成+G=A8+西 探究三 [例3][解]如图，令AB=a, za-2e+号(6a+6b-8e AD=b.AA,=c...a.b.c) =3a+3b-5c. 一组基底。 答案3a+3h-5c (DAD,=b+e.A,B-AB- 4.解析设AB=a,AD=b,AA,=c,则|a=c=2, |b=4,a·b=b·c=c·a=0. AA:=a-c. (1)BC·ED-BC·(EA,+A,D,) .AD·A,B=(b+c)·(a-c)=a·b+a·c-b·e c=1X1×cos60°+1×1×cos60°-1×1Xcos60°-1 :[2c-a+]-P==16 (2)BF·AB,=(BA+A,F·(AB+AA) (2)AC=AB+AD+AA,. =(c-a+2b）(a+c)=c-aP=2-2=0. 答案(1)16(2)0 3