1.1.1 空间向量及其运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教B版2019）

空间向量与立体几何 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念及线性运算 [学习任务] 1.了解空间向量的相关概念 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差,了解向量加法的交换律和结合律 3.掌握数乘向量运算的意义及运算律 自主学习探新知 "前预习 双基落实 空间向量的概念 知识点二 知识点一 共面向量 的量称为 又有 1.空间中既有 一般地,空间中的多个向量,如果表示它 们的有向线段通过平移之后,都能在 空间向量,向量的大小也称为向量的 (或 内,则称这些向量共面 ).空间向量可用有向线段表示,有向 知识点三 空间向量的加减运算及运算律 线段的 表示向量的模,向量a的始点 1.类似于平面向量,可以定义空间向量的加法 和减法运算. 是A,终点是B,则向量a也可记作AB,其模记 OB-OA+AB-a+b,CA 为al或lal或AB. -OA-OC-a-b. 2.几类特殊的空间向量 OA+OC-OB. 名称 定义及表示 2.空间向量加法交换律:a十b一 始点与终点 的向量称为零向 空间向量加法结合律:(a十b)十c一a十(b十c). 零向量 量,记为,0-0 知识点四 数乘向量 模等于 单位向量 的向量称为单位向量 1.与平面向量一样,给定一个实数入与任意一 个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间 大小 、方向 的向量称为相 相等向量 向量,记作a,其中: 等向量 (1)当x关0且a去0时,的模为入|a,即 方向相同或者相反的两个非零向量 la-a: 两个向量平行 互相平行,记作a/b.此时表示这两 (2)当入>0时,a与向量a方向 (两个向量共线) 个非零向量的有向线段所在的直线 当<0时,a与向量a方向 平行或重合 (3)当a-0或a-0时,a二 2.空间向量数乘运算满足以下运算律: 与向量a方向、大小的向 相反向量 (1)a十a-(a十)a. 量称为向量a的相反向量,记 (2)(a十b)一 _ 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 空间向量的概念 (2)试写出模为/5的所有向量; [例1](1)(多选)下列命题为真命题的是 (3)试写出与向量AB相等的所有向量; A.若空间向量a,b满足al=bl,则a=b (4)试写出向量AA的所有相反向量, B.在正方体ABCD-A.B.C.D. 中,必有AC -A.C C.若空间向量n,n,p满足m=n,n=p.则 m-P D.空间中,a/b,b/c,则a/c (2)如图所示,在平行六面 体ABCD-A'B'C'D'中,顶 点连接的向量中,与向量 AA相等的向量有 与向量AB相反的向量有 .(要求写 探究二 空间向量的加减运算 出所有适合条件的向量) [例2] 如图,已知空间 IlI规律方法lI 四边形ABCD,连接 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 AC.BD,E,F,G分别 (1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向, (2)注意点:注意一些特殊向量的特性. 是BC,CD,DB的中 ①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的, 点,请化简以下式子,并 且与任何向量都共线,这一点说明了共线向量不具 在图中标出化简结果. 备传递性. (1)AB+BC-DC: ②单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1 ③两个向量模相等,不一定是相等向量;反之,若两 (2)AB-DG-CE. 个向量相等,则它们不仅模相等,方向也相同,若两 个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量。 D跟踪训练 1. 如图,在长方体ABCD A'B'CD'中,AB-3,AD-2 AA一1,则分别以长方体的 顶点为起点和终点的向量中 (1)单位向量共有多少个? 2 第一章 空间向量与立体几何 ①QQ=PQ+yPC+zPA; I|I规律方法lI 空间向量加法、减法运算的两个技巧 ②PA-xPO+PQ+PD (1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空 间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量 可使向量问首尾相接。 (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行 向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的 方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准 确的结果. C跟踪训练 2.如图,已知长方体ABCD-A'B'CD',化简下列 向量表达式,并在图中标出表示化简结果的 向量。 (1)AA'-CB; __-_ I|l规律方法| 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形, 利用三角形法别、平行四边形法则,将目标向量转 化为已知向量, (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用 中点性质. C跟踪训练 3. 如图,在空间四边形 OABC中,M,N分别是 对边OA,BC的中点,点 G在MN上,且MG= 探究三 空间向量的线性运算 2GN,记OA-a,OB-b, [例3 (1)如图所示,在正方体ABCD。 OC-c,试用向量a,b,c表示向量OG. A.B.C.D 中,下列各式中运算结果为向量 AC的有 ①(AB+BC)+CC; _ ②(AA.+A.D)+D.C; ③(AB+BB)+BC; ④(AA.+A.B)+BC. B.2个 C.3个 A.1个 D.4个 (2)已知正四校锥PABCD,O是正方形 ABCD的中心,Q是CD的中点,求下列各 式中x,v,z的值 { 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.(多选)下列命题中,真命题是 _ ( 3.化简PM-PN+MN所得的结果是 _~ A.同平面向量一样,任意两个空间向量都 A.P_ B.NP 不能比较大小 C.0 D.MN B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也 4.已知点G是正方形ABCD的中心,点P为 相同 正方形ABCD所在平面外一点,则PA+ C.只有零向量的模等于0 PB+PC+PD等于 D.共线的单位向量都相等 _- A.4PG B.3PG 2.空间向量a,b互为相反向量,已知|b=3, C.2PG D.PG 则下列结论正确的是 ( ) A.a-b B.a十b为实数0 提示请完成《素能提升训练》训练一 C.a与方向相同 D.al-3 第2课时 空间向量的数量积 [学习任务] 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法. 2.理解两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律 3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的垂直 D自主学习探新知 课前习 双基落实 知识点一 两个向量的夹角 2.投影:一般地,给定空间向量a和空间中的 1.定义:给定两个非零向量a,b,任意在空间中选 直线((或平面g),过a的始点和终点分别 定一点O,作OA-a,OB=b,则大小在[0,x]内 作直线/(或平面g)的垂线,假设垂足为A 的 称为a与b的夹角,记作a,b) B,则向量AB称为a在直线/(或平面g)上 的投影,a与b的数量积等于a在b上的投 影a的数量与b的长度的 ,记作 知识点三 空间向量数量积的性质 3.规定,零向量与任意向量都垂直 1.a b-a·b-0. 知识点二 空间向量的数量积 2.a·a-lal2-a2. 1.定义:已知两个非零向量a,b,则albcos(a,b) 3. a·b<allb. 叫做a,b的数量积(或内积),记作a·b.即 4.(a)·b-x(a.b). a·b- |al |blcos(a,b). 5.a·b-b·a(交换律). 规定:零向量与任何向量的数量积都为0. 6.(a+b)·c-a·c十b·c(分配律). 2 第一章 空间向量与立体几何 D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 空间向量的夹角 探究二 空间向量的数量积 [例1 如图所示,已知四面体 [例2 如图所示,在校长为1的正四面体 ABCD的每条校长都等于a, ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点, 点E,F,G分别是梭AB. 求值: AD,DC的中点,求下列各 __ (1)EF·BA; 对向量的夹角 (2)EF·BD: (1)(AB,BA);(2)(BD,EF); (3)AB·CD (3)(AC,GF);(4)(BC,BD); (5)(AC.CD);(6)(GF,AD). I|I规律方法I 求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹 |I规律方法lI 角,而该题目所给的四面体各校长均为1,每个面都是 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共 正三角形,每个角都是60{},因此可结合这一特点进行 的起点,找到向量的夹角,再利用解三角形求角,注意 分解,然后再具体求解数量积的值。 向量夹角的范围是[0,n] C跟踪训练 C跟踪训练 2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的梭长为1 1.如图,在正方体ABCD- 设AB-a,AD-b,AA'-c,求: (1)a·(b十c); # A'BCD'中,求向量AC分 D... 别与向量AB,BA. (2)a·(a士b十c): (3)(a十b)·(b十c). AD',CD',B'D'的夹角. 1D 高中数学·选择性必修 第一册(RJB) 探究三 数量积性质的应用 I|I规律方法|I [例3](1)已知空间向量a,b,lal=1,b=/$2, 利用数量积的性质可求空间向量的夹角、模以及 且a一b与a垂直,则a与b的夹角为 ) 解决与垂直有关的问题 A.60* B.30{ C. 135* D.45* (1)aIb-a·b-0. (2)cos(a.b)-.b (2)在正四面体ABCD中,校长为a,M,N分别 lallb 是AB,CD上的点,且 MB =2|AMl, (3)lal-Vlal-. D跟踪训练 3.已知a,b是异面直线,且alb,e,e。分别为取 自直线a,b上的单位向量,且a-2e+3e。,b ( e -4e。,ab,则实数的值为 ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 4.已知空间向量a,b,a =13,|b =19,la+bl= 24,则la-b- D随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.(多选)对于向量a,b,c和实数,下列命题 3.如图所示,平行六面体ABCD-A.B.C.D 中的真命题是 ( ) $$中,$AB$=AD=AA =1, $BAD$=$ $$B$A$A A.若a·b-0,则a=0或b-0 -120{*},若线段AC.=/②,则 DAA= B.若xa-0,则x-0或a-0 C.若a^{}=b,则a=b D.若a·b>0,则(a:b是锐角 2.如图,正方体ABCD- A.B.C.D. 的校长为a,对 角线AC 和BD 相交于 D ) 点O,则有 ( ) A.30* B.45* C.60* A.AB·A.C.-2a2} D.90* B.AB·AC.-/②a* 4.已知lal =2,bl=3,a,b -6 0{},则l2 a 3bl- C.AB·AO- 提示请完成《素能提升训练》训练二 D.BC·DA-a? 。同步课堂讲义 第一章 空间向量与立体几何 (2)AA'+AB+BC' 1.1 -(AA'+AB)+BC’ 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 -AB -AC. 第1课时 空间向量的概念及线性运笃 【自主学习探新知】 知识点一 向量AD,AC^如图所示。 1.大小。 方向 模 长度 长度 探究三 2.相同 [例3] 相等 相同 相反 相等 一a 01 (1)[解析]对于①。(AB+BC)+CC-AC+ 知识点二 CC-AC: 同一平面 知识点三 对于③,(AB+BB)+BC-AB+BC-AC. 2.b十a 知识点四 -, 对于④.(AA+AB)+BC-AB+BC-AC 1.(2)相同 相反 (3)0 [答案]D 2.(2)a+ab 【互动探究解疑难】 ##0(A (2)[解] ①如图,:OQ-PQ 探究一 [例1] (1)[解析] A为假命题,根据相等的向量的定 __ 义知,两向量为相等的向量,不仅模要相等,而且还要方 向相同,而A中向量a与b的方向不一定相同;B为真 命题,AC与AC的方向相同,模也相等,故AC一AC.:C 'y= 为真命题,向量的相等满足传递性;D为假命题,平行向 ②:O为AC的中点,Q为CD的中点, 量不一定具有传递性,当b一时,a与c不一定平行。 $.PA+PC-2PO,PC+PD-2PQ. [答案]BC :PA-2P0-PC.PC-2P-PD. (2)[解析] 根据相等向量的定义知,与向量AA相等 的向量有BB{,CC,DD.与向量AB相反的向量有 '.PA-2PO-2PQ+PD. BA.BA.CD.CD. .x-2.y--2. 跟踪训练 [答案]。 BB'.CC'DD BA.BA.CD.CD' 跟踪训练 oC+C) 1.解 (1)由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所 对应的向量AA’.AA.BB,BB.CCCC.DD.DD. #-a+3-+c+(6-]-寸0叶# 共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故 单位向量共有8个。 【随堂巩固促应用】 (2)由于长方体的左右两侧面的对角线长均为V5,故模 1.解析 容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等 为V的向量有AD.DA.AD,DA',BC'CB. 的向量或相反向量. 答案 BC.CB ABC 2.解析 向量a,互为相反向量,则a,模相等、方向相 (3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有AB{, CD. 反,故D正确。 答案 过 D 3.解析 PM-PN+MN-NM+MN-NM-NM-0. (4)向量AA的相反向量有AA,B'B,CC,DD 答案 探究二 C PA+PB+PC+PD=PG+GA+PG+GB+PG 4.解析 -_ [例2][解](1)AB+BC一 _ __ __ ___ CD-AD,如图中向量AD 又ABCD是正方形,G是它的中心,所以GA十GC-GB (2)AB-DG-CF-AB+BG +GD-0,故原式-4PG. 答案 A +EC-AG+GF-AF, 第2课时 空间向量的数量积 如图中向量AF 【自主学习探新知】 跟踪训练 知识点一 2.解 (1)AA-CB-AA-DA-AA+AD-AD 1.乙AOB 2.垂直alb _ 知识点二 2.乘积 【互动探究解疑难】 #404 探究一 [例1] [解] (1)(AB,BA)-180{ 1 (2)因为EF/BD且方向相同,所以(BD,EF)=0”. (3)因为GF/AC且方向相反,所以(AC,GF)-180{。 (4)因为△BCD是等边三角形,所以(BC,BD)=DBC 跟踪训练 -60 3.解析 由a lb,得a·b-0,所以(2e 十3e.)·(ke 4 )-0,所以2k-12-0,所以k-6 $$$ (5)因为AC与CD首尾相接,所以(AC,CD)一180{- 答案 B ACD-120* 4.解析 .a+bl-24. (6)因为GF/AC,所以(GF,AD)-(CA.AD)=180*- '.(a+b)}-576,则a+2a·b+b-57 6、 DAC-120* '.2a·b-576-13-19}-46. 跟踪训练 #a-b|l}-(a-b)}=a}-2 a·b+b-1 3+19$-$$ $6 1.解连接AD',CD',BD,则在正方体ABCD-A'B'C'D -484, 中.AC BD. .a-b-22. BAC-45*,AC-AD'=CD. 答案 22 所以(AC,AB)-AC.AB)-45; C 【随堂巩固促应用】 。. A 1.解析 对于A,可举反例:当a b时,a·b-0,即A不 (AC.B'A')-(AC,BA B 是真命题;B显然是真命题;对于C,因为a^{}一b^{,所以 -180*-(AC,AB)-135”; al=bl,是真命题;对于D,当a,b同向时,a·b0. (AC.AD)- DAC-60*; 而(a,b)不是锐角,不是真命题. 答案 AC.CD)-180*-(CA.CD) H BC ___ ACBD)-90. -180*-60{-120; __ _ +AA)- __ 探究二 [例2] [解](1)E·BA-BD·BA -BBA ·cos(BD,BA)-cos 60-1. 答案C 3.解析 AC-AB+AD+A.AC-AB+AD (2)F·B-BD,B-B- +AA+2AB·AD+2AB·AA+2AD·AA-1+ 2. $+1+2×1×1x(-)+2×1×1x(-)+2x1 (3)AB·CD=AB·(AD-AC)=AB·AD-AB·AC -AB| AD]cosAB,AD)-AB AC cos(AB,AC) -cos 60-cos 60-0. 60{,故选C. 跟踪训练 答案 2.解 (1)在正方体中,AB AA',AB AD,故a·(b十 远C 4.解析 i2a-3bl-(2a-3b)-4-12·b+9$ c)=a·b+a.e-0. -4a+9xbl-12xal·b·cos 60*-6 1 (2)由(l)知,a·(a+b+c)=a·a十a·(b+c)-ì. (3)由(1)及AD|AA'知,(a+b)(b+c)-a·(b十c)十 .12a-3b-61. +b.c-1. 答案V6T 探究三 1.1.2 空间向量基本定理 [例3](1)[解析] :a-b与a垂直...(a-b)·a-0. 【自主学习探新知】 'a·a-a·b-al-al b.cos(a,b 知识点一 -1-1×2×cos(a.b)-0. 1.唯一 2.不共线 3.不共线 唯一 4.不共线 唯一 知识点二 .cos(a.b)_v 2.'0<(a.b)<180”..(a.b)-45°. 不共面 2.线性组合 线性表达式 3.基底 基向量 [答案]D 【互动探究解疑难】 探究一 #AB)+(A-A-A+AD+4. .MN·MN-- 故选D. 17) [答案]D 2