5.3.3 古典概型-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

第五章统计与概率。 3.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓：4.如图所示，靶子由一个中心圆面 球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为号，乙 I和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成， 射手命中I,Ⅱ，Ⅲ的概率分别 夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒 为0.15,0.20,0.45，则不中靶 的概率是 乓球单打冠军的概率为 提示、请完成《素能提升训练》训练二十 5.3.3古典概型 [学习任务 1.理解古典概型的两个特征 2.掌握古典概型概率公式. 3.能运用古典概型概率公式、互斥（对立）事件概率加法公式解决问题. 自主学习探新知 葆前预习双基落实 知识点一古典概型 知识点二古典概型概率公式 般地，如果随机试验的样本空间所包含 : 古典概型中，假设样本空间含有n个样本 的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且： 点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C) 可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基 本事件)发生的可能性大小都相等（简称为等可 能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，赵微思考 简称为古典概型。 [思考]频率的计算公式与古典概型的概率 赵微判断 计算公式有什么异同？ 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)古典概型试验中样本点只有有限个.() (2)古典概型中每个样本点发生的可能性 相同. (3)每个事件发生的可能性相同. (4)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是 否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与 不发芽” 互动探究解疑难 要点归纳重难突骏 探究一样本点的计数问题 (3)先后不放回地各取一球.写出上面试验的 [例1]袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小 样本空间，并指出样本点的个数 相同的四个小球。 (1)从中任取一球： (2)从中任取两球： 61 高中数学·必修第二册(RJB) -川规律方法川 跟踪训练 列样本点的三种方法及注意点 (1)列举法：一一列出所有样本点的结果，一般适 3.(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6 用于校简单的问题， 的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到 (2)列表法：一般适用于较筒单的试脸方法， 的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率 (3)树状图法：一般适用于较复杂问题中样本点 为 () 的个数的探求】 注意点：取两个球时，有无师序：依次取两球时· 取球是否放回， A. B号 ☑跟踪训练 c n号 4.(2022·徐州高一期末)三位同学各自写了一 1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从 张明信片并分别署上自己的名字，将这三张 {1,2,3}中随机选取一个数为b,满足b>a的 明信片随机分给这三位同学，每人一张.则 样本点有 ( “恰有一位同学拿到自己署名的明信片”的概 A.3个 B.9个 率为 () C.10个 D.15个 2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽 A.6 取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件 c号 D. 的个数为 探究三 古典概型的综合问题 探究二古典概型概率的计算 工例3] 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 [例2]现有6道题，其中4道甲类题，2道乙 A,A2,A通晓日语，B,B2,B通晓俄语， 类题，张同学从中任取2道题解答，试求： C,C,通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和 (1)所取的2道题都是甲类题的概率： 韩语的志愿者各1名，组成一个小组. (2)所取的2道题不是同一类题的概率， (1)求A,被选中的概率： (2)求B,和C不全被选中的概率. 川规律方法川 使用古典概型的概率公式的三个关键点 (1)审滨题千：对于实际问题要认真读题，深入理 解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是朝 决古典概型问题的关线.（关使词：不重不漏） 川规律方法川 (2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象 求解古典概率“四步”法 进行编号或用字母代梦，使复杂的实际意义变为筒单 仔细阅读短H,收集整弹愿H中的各种付总 的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题 得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解 到 判断事件是否是古典概型 圆技巧，（关键词：简单的数字和字母） 列举出总的朵本事件的齐种情况出计算其个数 (3)“正难对反”原则：在解决古典概型的概率问题 时，如果从正面分解一个事件后情况比较多时，可以 诗算出古典概型的概，对应州炮还要作答 考虑利用它的对立事件的慨率求解。 62 第五章统计与概率。 跟踪训练 的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学 5.现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1,A2, 成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校 A3,B,B2,C1,C2表示，其中A1,A2,A的数 参加竞赛，则A1和B,不全被选中的概率为 学成绩优秀，B,B的物理成绩优秀，C1,C, 随堂巩固促应用 验证反阙迁移运用 1.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,:3.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量 C可以参加，若每人必须参加并且仅能参 过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只， 加一个学习小组，则两人参加同一个小组 则恰有2只测量过该指标的概率为() 的概率为 A号 R号 A司 B c n.号 c号 n君 4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的 2.在正六边形的6个顶点中随机选择4个 中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优 顶点，则构成的四边形是梯形的概率为 于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的 下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹 B号 中随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的 概率为 C.a D.8 提示请完成《素能提升训练》训练二十 5.3.4频率与概率 [学习任务] 1.了解频率、概率的区别与联系 2.能用频率估计概率. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点用频率估计概率 (1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事 频率会很接近于这个事件发生的概率.() (2)试验的次数越多，频率与概率之间差距很 件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为 小的可能性越大 () 事件A发生的概率P(A)的估计值为 .此 (3)频率是变化的，所以概率也是变化的.() 时也有0≤P(A)≤1，而且，可以验证，此时两微思考 对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加： [思考]在相同条件下，同一个随机事件在 法公式等概率的性质也成立. 每一次试验中发生的概率都一样吗？ 这种确定概率估计值的方法称为用频率估 计概率. 这微判断 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） 63(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则 黄).(黄,红),(红,黑),(黑,红),(白,黄),(黄,白) P(D)=P(A)+P(B)+P(C) (白,黑),(黑,白),(黄:黑),(黑,黄),样本点的个数 11161 -1000 100201000 是12. 跟踪练 (3)设“抽取1张奖卷不中特等奖或一等奖”为事件E; 1.A 把所取的数a,么写成数对(a,)的形式,则样本点有 则P(E)-1-P(A)-P(B)=1-100 100 1000 11 989 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2).(2,3).(3,1), (3,2).(3,3),(4,1),(4,2),(4.3),(5,1),(5,2). 【随堂巩固促应用】 (5.3),其中满足ba的有(1,2),(1,3),(2,3)共3个。 1.B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品, 2.25 从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取 共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即 1张的情况如图: 至多有1件次品, 第一张 2.B 由题意,事件A表示出现的点数是1或2或3;事件 第二 B表示出现的点数是1或3或5.故AOB一出现的点 数为1或3). 基本事件总数为25. 3.10 探究二 由于事件“中国队夺得女子兵兵球单打冠军”包括 [例2] [解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4; 事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可 2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,样本空间为0 能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法 ((1,2).(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5). (2,6).(3,4),(3,5),(3,6),(4,5).(4,6).(5,6)),共15 个样本点,而且这些样本点的出现是等可能的. 1- 用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件,则A一 ((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)),共6个样 4.0.20 设射手“命中圆面I”为事件A,“命中圆环II”为 事件B,“命中园环II”为事件C.“不中靴”为事件D,则 A.B.C互斥,故射手中靴概率为P(AUBUC)一P(A) (2)由(1)知任取2道题的样本点共有15个,用B表示 +P(B)+P(C)-0.15+0.20+0.45-0.80.因为中轮 “所取的2道题不是同一类题”这一事件,则B一((1,5). 和不中犯是对立事件,故不中纪的概率为P(D)一1- (1,6).(2,5).(2.6),(3,5).(3,6),(4,5),(4,6)),共 P(AUBUC)-1-0.80-0.20. 8个样本点,所以P(B)-5 8 5.3.3 古典概型 跟踪训练 【自主学习探新知】 3.C 从6张卡片中无放回抽取2张,共有(1,2),(1,3). 知识点一 (1,4).(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3 微判断 4).(3,5),(3,6),(4,5).(4,6).(5,6)15种情况,其中数 (1) (2 (③X (4)× 字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4, 知识点二 微思考 [提示] 4.D 设三名同学分别为甲、乙、丙,暑名的明信片分别记 作A,B.C,则试验的样本空间为2-ABC,ACB. 不同点 相同点 BAC,BCA,CAB,CBA),共6个样本点,其中恰有一位 频率计算中的n,n均随随机试 同学拿到自己暑名的明信片的可能情况有ACB,BAC 验的变化而变化,但随着试验次 CBA三种,所以“恰有一位同学拿到自己署名的明信 频率 数的增多,它们的比值逐渐趋近 都计算 于概率值 了一个 探究三 比值 [例3] [解] (1)从8人中选出日语、语和韩语志愿者 古典概 各1名,其一切可能的结果组成的样本空间2一((A. 型的概率 件而言,m,n都不会变化 B..C).(A.B,C).(A.B,C ).(A.B,C).(A. B..C.).(A.B.C).(A,B.C ).(A,B.C).(A, 【互动探究解疑难】 B. C ).(A,B..C.).(A,B,C).(A,B,C).(A. 探究一 B..C ).(A .B.C).(A.B.C ).(A.B.C).(A. [例1][解](1)这个试验的样本空间为《(红),(白), B..C.).(A,B,C))由18个样本点组成.由于每一个 (黄),(黑)),样本点的个数是4. 样本点被抽取的机会均等,因此这些样本点的发生是等 (2)一次取两球,如记(红,白)代表一次取出红球、白球 可能的. 两个球,则本试验的样本空间为((红,白),(红,黄), 用M表示“A恰被选中”这一事件,则M一(A,B (红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)),样本点的个数 C.).(A.B,C).(A,B.C).(A,B,C).(A.B 是6. ##_ C.).(A,B,C)).事件M有6个样本点组成,因而 (3)先后取两球,如记(红,白)代表先取一红球,后取一 白球,则本试验的样本空间为(红,白),(白,红),(红, 2 (2)用N表示“B.和C 不全被选中”这一事件,则其对 微思考 立事件N表示“B,C 全被选中”这一事件,由于N [提示] 概率是从数量上反映随机事件在一次试验中 (A.B.C).(A,B,C).(A.B,C) .事件N有3个 发生可能性的大小的一个量,是一个确定的数,是客观 存在的,与每次试验无关;同一个随机事件在相同条件 基本事件组成,所以P(N)- 下在每一次试验中发生的概率都是一样的, 【互动探究解疑难】 探究一 跟踪训练 [例1] [解析] (1)一对夫妇生两小孩可能是(男,男), 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 (男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率 为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都 1名,所有可能的结果组成的12个基本事件为 中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖, (A .B.C).(A .B,C).(A.B.C ).(A.B,C). 所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人 (A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A,B,C). 摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概 (A ,B.C.).(A,B.C).(A.B,C ).(A.B,C). 率都是0.1,所以C不正确;D正确. 设“A.和B.不全被选中”为事件N,则其对立事件N表 (2)合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合 示“A和B 全被选中”,由于N-((A,B,C),(A, 格的可能性大小,即合格的概率。 [答案](1)D(2)D 跟踪训练 公式得P(N)-1-P(N)-1-1- 1.D 抛掷一枚质地均匀的硬币,只考虑第999次,有两种 结果:正面朝上,反面朝上,每种结果等可能出现,故所 【随堂巩固促应用】 &机率为。# 1.A 因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有 (A.A),(A.B).(A.C).(B.A),(B,B).(B,C). 探究二 (C.A).(C,B),(C,C),共9个,其中两人参加同一个小 [例2] [解] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208. 组的事件有(A,A).(B.B).(C,C),共3个,所以两人参 0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中使用春命不足1500小时的频数是48十121 士208十223-600,所以样本中使用春命不足1500小 2.B 如图,在正六边形ABCDEF的 时的频率是1600-0.6,即灯管使用寿命不足1500小 600 6个项点中随机选择4个项点,共 有15种选法,其中构成的四边形是 时的概率约为0.6. 梯形的有ABEF,BCDE,ABCF 跟踪训练 CDEF,ABCD,ADEF,共6种情 2.解 (1)表中各个频率依次是0.998,0.998.0. 998. 况,故构成的四边形是梯形的概率 0.990,1. (2)由第(1)问的结果,可知在5次“读者问卷调查”中, 收到的反馈信息是“读者对某教辅材料满意”的概率约 3.B 由题意设5只兔子编号为1,2,3,4,5,其中1,2,3号 是P(A)一0.998,用百分数表示就是P(A)-99.8%. 测量过某项指标,4,5号没有测量过某项指标,试验的 探究三 样本空间2-((1,2,3).(1,2,4).(1,2,5),(1,3,4). [例3] [解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶, (1,3,5),(1,4,5),(2,3,4).(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)). 共有10个样本点,事件“恰有2只测量过该指标”包含 当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低 90 需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. 分别用A,B,C表示齐王的上、中、下等马,用a,b,e (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温 表示田忌的上、中、下等马,现从双方的马匹中随机选一 不低于25,则Y-6X450-4X450-900; 匹进行一场比赛,有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,C 若最高气温位于区间[20,25),则Y-6×300+2(450- 共9场比赛,其中田忌获胜的有Bu:Ca:C,共3场比 300)-4X450-300; 赛,所以田忌获胜的概来为. 若最高气温低于20,则Y-6×200+2(450-200)-4$ 450--100. 所以,Y的所有可能值为900,300,一100. 5.3.4 频率与概率 Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知; 【自主学习探新知】 90 知识点 Y大于零的概率的估计值为0.8. 跟踪训练 (1)这种鱼卵的孵化颊率为1000 8513 3.解 微判断 -0.8513,把它近 (1(2) (③)× 似作为孵化的概率,即这种鱼卵的孵化概率是0.8513 23