5.1.4 用样本估计总体（同步课件）数学人教B版必修第二册

5.1 统计 5.1.4 用样本估计总体 第5章 统计与概率 情境引入 情境与问题：以下是某学校高一年级位学生的身高(单位：)： 已知这组数的总体平均数为 ，总体方差为. 用简单随机抽样的方法从总体中抽取容量为的样本次，分别计算样本平均数与样本方差，并与总体对应的值进行比较. 新知探索 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数(也称为样本均值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大. 例如，上述数据中，如果用简单随机抽样抽得的序号分别为则对应的样本为 ，容易算出，样本均值为，样本方差为，它们与总体对应的值差别都不大. 这就说明，在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等. 新知探索 另外，有时候总体的数字特征不可能获得，比如质监部门想知道市场上节能灯的平均使用寿命，不可能把所有节能灯都拿来检测，此时只能用样本的数字特征去估计总休的数字特征. 需要强调的是，估计一般是有误差的.例如，如果总体平均数记为，样本均值记为，一般来说，“”，“”，“”都有可能.但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大. 一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数宁特征即可. 新知探索 下面我们来讨论一种稍微复杂一点的情况：假设样本是用分层抽样的方法得到的，而且我们知道了每一层样本的数字特征，该怎样估计总体的数字特征呢？ 尝试与发现：在考察某中学的学生身高时，如果采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为，方差为；女生身高的平均数为，方差为. (1)如果没有其他信息，怎样估计总体的平均数与方差？ (2)如果知道抽取的样本中，男生有人，女生有人，怎样估计总体的平均数与方差？ 新知探索 作为估计来说，我们当然可以选择男生(或女生)样本的平均数与方差作为总体对应值的估计，但这样的选择没有充分利用已有的数据，显然不够好；另外一种估计的办法是取每一层样本数字特征的算术平均值作为总体的估计，即估计总体平均数为，类似地，总体方差可估计为___________________. 但第二种估计方法也还不太理想，因为对于分层抽样来说，每一层所抽取的个体数目一般米说是不相等的，简单的求数字特征的算术平均值体现不出这一点.怎样才能体现这一点呢？尤其是，当我们把各层中得到的个体放在一起作为一个样本时，样本均值与样本方差该如何计算呢？ 新知探索 此时，当然可以把各层数据集中在一起来重新计算，但也可以去考虑整个样本的数字特征与每一层的数字特征之间的关系来实现，后者在大数据时代的并行计算中经常使用. 我们以分两层抽样的情况为例.假设第一层有个数，分别为，，…，，平均数为，方差为；第二层有个数，分别为，，…，，平均数为，方差为. 则， ，. 新知探索 此时，当然可以把各层数据集中在一起来重新计算，但也可以去考虑整个样本的数字特征与每一层的数字特征之间的关系来实现，后者在大数据时代的并行计算中经常使用. 如果记样本均值为，样本方差为，则可以算出 ， . 依照上述公式可以算出，前述尝试与发现(2)中总体的平均数可以估计为，总体的方差可以估计为. 新知探索 前面我们已经看到，总体的数字特征可以用样本的数字特征来估计，那么，总体的分布是否也可以用样本的分布来近似刻画呢？这是接下来要讨论的问题. 尝试与发现：通过对其中学名高一学生期中考试的数学成绩(具体数据参见这一小节的附录)进行整理，可以得到如下数据，并由此可作出频率分布直方图和折线图，如图所示. 从附录的数据中抽取容量为的样本，整理类似的表格，并制作频率分布直方图. 新知探索 同前面一样，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多.特别地，每一组的频率与总体对应的率相差不会太大. 例如，如果从上述尝试与发现中提到的数据中，抽取两个容量为的样本(分别记为样本，样本，具体数据参见这一小节的附录)，则可以得到如下频数、频率对应表，它们的频率分布直方图分别如图所示. 新知探索 这就说明，同前面一样，如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去估计总体的分布.而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去估计总体的分布. 新知探索 同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差.如果总体在每一个分组的频率记为，，，，样本在每一组对应的频率记为，，，，一般来说，不等于零.同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大. 例析 例1 为了快速了解某学校学生体重(单位：)的大致情况，随机抽取了名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示.估计这个学校学生体重的平均数和方差. 解 将样本中的每一个数都减去，可得 ，，，，，，，，，， 这组数的平均数为， 方差为. 因此可估计这个学校学生体重的平均数为，方差为. 例析 例2 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年个家庭的月均用水量(单位：)，将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； 解(1) 因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为， 所以()， 解得. 例析 (2)设该市有万个家庭，估计全市月均用水量不低于的家庭数； (3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数. (2) 抽取的样本中，月均用水量不低于的家庭所占比例为 ()，因此估计全市月均用水量不低于的家庭所占比例也为，所求家庭数为. (3) 因为，所以估计全市家庭月均用水量的平均数为. “大数据”简介 随着数据收集以及数据存储技术的不断进步，现在人们能够以非常便捷的方式、非常低廉的成本、非常快的速度，收集规模非常宏大的数据集合.“大数据”时代已经悄然来临. “大数据”的出现，让人们对“数据”本身有了许多新的认识.除了传统的数值数据外，文木、图像、音频、视频等都可以被“数据化”.网民的搜索行为和浏览记录、法律判决文书、病人的就诊病例和影像(即计算机层析成像)、聊天语音、视频监控录像等信息都可以被记录下来并且被“数据化”.凡是可以被“数据化”的信息载体都可以看成数据.信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是“大数据”. “大数据”简介 “大数据”的出现，让人们认识到了数据本身的价值：根据网民的搜索行为和浏览记录所反映出来的个人偏好，可以用于精准推送合适的新闻或商品；分析法律判决文书的历史信息，有助于准确识别虚假诉讼、实现案件繁简分离、提高审判效率；将病人的就诊病例、影像数据等与医生的诊断结果结合后，可以用于训练精确的统计模型，实现优质医疗资源共享；准确识别后的语音信息，可以非常快速、便捷地转换为操作指令，提高工作效率；视频监控录像可以为警察破案提供非常重要的线索…… “大数据”简介 “大数据”的价值远远不止于此.事实上,“大数据”作为信息资源，与土地、劳动力和资本等生产要素一样，正在成为促进经济增长和社会发展的基本要素. “大数据”已被普遍认为是非常重要的国家战略资源.未来，作为重要生产要素和国家战略资源的“大数据”资源，将渗透至我们的日常生活、社会经济活动以及政府管理决策之中，进一步提高我们的生活质量，改进企业的生产效率，提升政府部门快速响应和合理决策的能力，等等. 练习 题型一：其他统计图及应用 例1.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2018年1月至2020年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是( ). A.年接待游客量逐年增加 B.各年的月接待量高峰期大致在8月 C.2018年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：C. 练习 (全国卷理科)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 答案：A. 根据该折线图，下列结论错误的是（ ）. A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 练习 方法技巧： 折线统计图的读图方法 (1)读折线统计图时，首先要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；其次要明确图中的数量及其单位. (2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度. 练习 (全国卷理科)变1.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案：A. 练习 题型二：利用样本平均数估计总体平均数 例2.某校组织了一次关于“生活小常识”的知识竞赛.在参加的所有学生中随机抽取100位学生的回答情况进行统计，具体如下：答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人.则在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为_____. 答案：7. 解析：抽取的100位学生答对题目的平均数是 因此在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为7. 练习 方法技巧： 样本均值与总体均值的关系 (1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值； (2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性； (3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确. 练习 变2.(1)已知数据的平均数为，则数据的平均数为____. (2)已知则，. 答案：(1)11； (2)0,30. 结论：若的平均数为，则的平均数为 课堂小结&作业 课堂小结： 1.茎叶图与频率分布直方图； 2.用样本来估计总体的含义. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P86的练习，练习； (3)课本P90习题的第5、6题；课本P91习题的第4题. 谢谢学习 Thank you for learning $$