精品解析：天津市蓟州区第一中学2025届高三上学期第二次学情调研数学试题

天津市蓟州一中2024—2025 学年第一学期高三第二次学情调研 数学学科 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数有意义求得集合A，进而求出集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，又，因此， 所以． 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性与奇偶性，得到，得出，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得， 令，显然函数为偶函数，且在上单调递增， 所以，即， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 4. 已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的公比为，由，，成等差数列求出，再由等比数列前和公式得的前5项和． 【详解】解：设的公比为， 因为，，成等差数列，所以，即， 所以， 所以． 所以， 因为， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以． 故选：C． 5. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数单调性结合中间变量比大小即可. 【详解】易知，， 因为，则，故得，显然B正确. 故选：B 7. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论. 【详解】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 8. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】依题意可得，，， 再根据五点法作图可得，解得，． 因为，所以的图象关于点对称，故①正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故②正确； 将的图象向左平移个单位长度得到， 故③错误； 因为，当时且，， 因为函数在上有且只有两个极值点， 所以，解得，即的最大值为，故④正确； 故选：C 9. 已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由且轴得，注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式即可求解. 【详解】 不妨设，由且轴， 所以，所以， 从而，即， 设点，且它在双曲线上， ， 即，其中，， 从而，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，由此即可顺利得解. 二、填空题 10. 设复数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据复数代数形式加法运算法则及复数相等的充要条件得到方程，求出、的值，从而求出其模. 【详解】设，，则， 所以，又， 所以，解得，所以，则. 故答案为： 11. 已知，若的展开式中含项的系数为40，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为4，由此建立方程即可求解 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以项的系数为，解得,又，所以 故答案为： 12. 直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的几何性质及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，, 所以, 则圆心到直线的距离为： ， 则， 故答案为：. 13. 甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件，，，分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则______，______． 【答案】 ①. ②. ##0.375 【解析】 【分析】分别求出甲箱中拿出红、白、黄、黑球事件的概率，依据条件概率的公式和全概率公式分别计算结果. 【详解】由题意知：，，，， ，同理：，，， 由全概率公式可知：． 故答案为：， 14. 如图，边长为的正三角形的边落在直线l上，中点与定点重合，顶点与定点重合.将正三角形沿直线l顺时针滚动，即先以顶点为旋转中心顺时针旋转，当顶点落在l上，再以顶点为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当滚动到时，顶点运动轨迹的长度为___________；在滚动过程中，的取值范围为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可知，点的轨迹为两个圆心角都为的圆弧，即可求出点的轨迹长度，分别求出点在滚动的过程中纵坐标的范围，求出点，即可求解. 【详解】根据题意可知，点的轨迹为两个圆心角都为的圆弧，且圆弧的半径为， 所以顶点运动轨迹的长度为， ，，设，则 所以， 滚动的过程中的纵坐标满足， 所以， 故答案为：；. 15. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，讨论当时，，当且时，，确定函数零点只可能在且的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解. 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 当时，，当时，， 此时函数无零点； 当时，， 当时，若，则，于是， 若，函数的图象对称轴，此函数在上单调递增， ，， 即当且时，，函数无零点； 于是只有当且时，函数才有零点， 当，即时，， 当时，函数， 当时，， 当时，函数取得最小值， 而当时，， 显然当，即时，函数有两个零点， 要函数恰有4个零点，必有， 当时，函数的图象对称轴， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 显然， 而， 因此函数在、上各有一个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 三、解答题 16. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）若. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用正弦定理求得，根据同角三角函数的基本关系式以及三角恒等变换的知识求得. 【小问1详解】 由及余弦定理得： ， 整理得，即， ∵，∴. 【小问2详解】 ①∵，及，， ∴，解得. ②∵，∴是锐角，且， ∴. ∴， ， ∴ . 17. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 解：假设存点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 18. 已知椭圆的离心率，椭圆的上、下顶点分别为、 ，左、右顶点分别为、 ，左、右焦点分别为、.原点到直线的距离为 . （1）求椭圆的方程； （2）过原点且斜率为的直线，与椭圆交于、点，试判断是锐角、直角还是钝角，并写出理由； （3）是椭圆上异于、的任一点，直线、分别交轴于点、，若直线与过点、的圆相切，切点为.证明： 线段的长为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）是锐角，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，可得，求得，结合圆心到直线的距离公式，列出方程，求得，进而求得椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，求出点、的坐标，计算的值，即可得出结论； （3）设，求得直线和的方程，分别令，求得、，再利用切割线定理求出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意，椭圆的离心率，即， 设，可得，则， 可得、、、， 可得直线方程为，即， 所以原点到直线的距离为，解得， 所以，，椭圆方程为. 【小问2详解】 联立得或，即点、， 又因为椭圆的右焦点为， 所以，，， 所以，， 所以，为锐角. 【小问3详解】 由（2）可知、，设，则， 直线的方程为，令，得； 直线的方程为，令，得； 根据切割线定理可得， 所以，，即线段的长度为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 在数列中，，在等差数列中，前项和为，，. （1）求证：是等比数列，并求数列和的通项公式； （2）设数列满足，的前项和为，求； （3）设数列满足，的前项和为，求. 【答案】（1）证明见解析，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，利用等差数列基本量的计算即可求解， （2）利用分组求和法，结合并项求和法以及等比求和公式即可求； （3）求得，利用裂项求和法与分组求和法可求得. 【小问1详解】 当时，故， 又，故是等比数列，且公比为，首项为， 所以，故， 设的公差为，则由，，解得，， 故. 【小问2详解】 因为，， 故，， 而，故，其中， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，. 综上所述，. 【小问3详解】 因为，则，， 因为， 可得， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是，利用正切函数的和差公式得到，从而利用裂项相消法即可得解. 20. 设函数． （1）求的单调区间； （2）已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） ，，则题设不等式可转化为，结合零点满足的方程进一步转化为，利用导数可证该不等式成立. 【小问1详解】 ， 当，；当，， 故的减区间为，的增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为， 故， 故方程有3个不同的根， 该方程可整理， 设， 则 ， 当或时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 因为有3个不同的零点，故且， 故且， 整理得到：且， 此时， 设，则， 故为上的减函数，故， 故. （ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得： 故在上为减函数，在上为增函数， 不妨设，则， 因为有3个不同的零点，故且， 故且， 整理得到：， 因为，故， 又， 设，，则方程即为： 即为， 记 则为有三个不同的根， 设，， 要证：，即证， 即证：， 即证：， 即证：， 而且， 故， 故， 故即证：， 即证： 即证：， 记，则， 设，则，所以， ， 故在上为增函数，故， 所以， 记， 则， 所以在为增函数，故， 故即， 故原不等式得证： 【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市蓟州一中2024—2025 学年第一学期高三第二次学情调研 数学学科 一、选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 8. 已知函数（，，）部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题 10 设复数满足，则__________． 11. 已知，若的展开式中含项的系数为40，则______. 12. 直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为______． 13. 甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件，，，分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则______，______． 14. 如图，边长为的正三角形的边落在直线l上，中点与定点重合，顶点与定点重合.将正三角形沿直线l顺时针滚动，即先以顶点为旋转中心顺时针旋转，当顶点落在l上，再以顶点为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当滚动到时，顶点运动轨迹的长度为___________；在滚动过程中，的取值范围为___________. 15. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________． 三、解答题 16. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）若. ①求值； ②求的值. 17. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆的离心率，椭圆的上、下顶点分别为、 ，左、右顶点分别为、 ，左、右焦点分别为、.原点到直线的距离为 . （1）求椭圆的方程； （2）过原点且斜率为的直线，与椭圆交于、点，试判断是锐角、直角还是钝角，并写出理由； （3）是椭圆上异于、的任一点，直线、分别交轴于点、，若直线与过点、的圆相切，切点为.证明： 线段的长为定值，并求出该定值. 19. 在数列中，，在等差数列中，前项和为，，. （1）求证：是等比数列，并求数列和的通项公式； （2）设数列满足，的前项和为，求； （3）设数列满足，的前项和为，求. 20. 设函数． （1）求的单调区间； （2）已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$