13.4 尺规作图-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（上册） 四边形ABCD是正方形， 证法三如答图③，在BC上截取CE=CA,连结DE. ,AD∥CM, ∠ACD=∠ECD,CD=CD, ·.∠AGE=∠M. .△ACD≌ECD. :E为AB边的中点， ,AD=ED,∠BAC=∠DEC. ∴.AE=BE.在△AEG和△BEM中， ∠BAC=2∠B, r∠AGE=∠M, ∠DEC=∠B+∠BDE, 8题答图③ ∠AEG=∠BEM, ∴∠BDE=∠B LAE BE, .DE =BE, ∴.△AEG≌△BEM(A.A.S.), .AC +AD=CE+DE=CE BE=BC. ∴.GE=ME,AG=BM=2. 9.证明：如答图，延长BD到F,使BF=BA,连结 M 又：EF⊥MG,∴.FG=FM. 6题答图 AF、CF .BF=4,..MF=BF+BM=4+2=6, ,∠ABD=60°，.△ABF为等边三角形， ∴.GF=FM=6. ∴.AF=AB=BF,∠AFB=60 7.证明：如答图，延长AD到G使DG=AD,连结CG 又：AB=AC, :AD为中线， ∴.AC=AF, ∴BD=CD. ∴，∠ACF=∠AFC 又，∠ADB=∠CDG,AD=GD, 又，∠ACD=60°， .△ADB≌△GDC, ,.∠AFB=∠ACD=60°， AB=GC,∠EAF=∠G ∴.∠DCF=∠DFC, AE=EF,∴∠EAF=LEFA 9题答图 7题答图 .DC=DF. :∠EFA=∠CFG,∴∠G=∠CFG, .BD DC BD+DF BF =AB, .CF =CG,..AB =CF. 即BD+DC=AB. 8.证明：证法一如答图①，延长CA至点E,使EA= 10.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连结AE AD,连结ED,则∠E=∠ADE. :AD⊥BC,∠ADB=∠ADE=90 ∴.∠BAC=∠E+∠ADE=2∠E. 在△ABD和△AED中，AD=AD,∠ADB=∠ADE, ∠BAC=2∠B, DB=DE,∴△ABD≌△AED, ∴.∠E=∠B. ,AB=AE,.∠B=∠AEB. 又：∠ECD=∠BCD, AB BD=CD,DE BD,CD DE+EC, CD=CD, .AB DEDE +EC,:.AB=EC,..AE EC. ,△CDEa△CDB. 设∠EAC=∠C=x, ∴CE=CB. 8题答图① ∠AEB为△AEC的外角， ·CE=AC+AE=AC+AD. ∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴.LB=2x .AC+AD=BC. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°， 证法二如答图②，延长DA到点E,使AE=AC,连 即2x+120°+x=180°，解得x=20°，∴.∠C=20° 结EC,则∠E=∠ACE. .∴∠BAC=LE+∠ACE =2∠E. ∠BAC=2∠B, D 10题答图 ∴.∠B=∠E. D 13.4尺规作图 .BC=EC. 8题答图② 1.作一条线段等于已知线段+2.作一个角等于已知角 :∠ACD=∠BCD, 【基础巩置练】 ∴.∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD. 1.B 又：∠DCE=∠ACE+∠ACD=∠B+∠ACD, 2.B[解析]由题意可知，正确的作图顺序为：④作 六.∠ADC=∠DCE. 射线AM:①在射线AM上作线段AP=a;③在射线 .DE CE. PM上作PQ=b,QB=b:②则线段AB=a+2b.故 ∴，AC+AD=AE+AD=DE=CE=BC 选B. ·32. 参考答案及解析 3.D 5.解：如答图，线段CD即所求. 4.C[解析]观察题图可知，已知∠CAB=a,线段 AB,∠CBA=B.故选C 5.全等三角形的对应角相等 [解析]连结CD、C'D(答图略).根据作图过程可知 D OC=O'C,OD=0'D',CD=C'D', 5题答图 .△OCD≌△O'C'D', 6.解：小军的作法正确.证明如下： .∠A'O'B'=∠AOB. 如答图，连结PM、PN.根据作图过程可知， 6.解：AB=BC.∠C=∠BAC OM=ON.PM=PN. ∠B=40°， 又：P0=P0,∴.△PMO≌△PN0, ÷∠C=180°，∠B.180°，40=70. .∠POM=∠PON. 2 2 :∠P0M+∠P0N=180°， 由作图痕迹知∠DAE=∠B=40°， .∠POM=∠PON=90°，∴.P0⊥AB. ∴.AE∥BC,∴.∠CAE=∠C=70 题型变式 1.解：如答图，线段OD即为所求。 1题答图 6题答图 2.解：如答图，∠COD即为所求 题型变式 1.解：①过点P作任意直线与直线AB交于点M; ②作∠EPF=∠PMB; ③过点P、F作直线CD,直线CD即为所求 2题答图 3.作已知角的平分线+ 4.经过一已知点作已知直线的垂线 【基础玩固练】 1.B[解析]∠A=20°，∠C=60° 1题答图 .∴∠ABC=180°-∠A-∠C=100°， 5.作已知线段的垂直平分线 由作图可知，BD平分∠ABC, 【基础巩围练】 LABD-ABC=50 1.B ,∠ADB=180°-∠A-∠ABD=110°， 2.中线[解析]由作图的痕迹可知，点D是线段BC 故选B. 的中点，所以线段AD是△ABC的中线， 2.C[解析]根据作一个角的平分线的过程可知：作 3.2a-180°[解析]由题图中的作法得，DE垂直平 法的合理顺序是②③①.故选C 分AB,GF垂直平分AC,∴.MA=MB,NA=NC, 3.65°[解析]∠A=50°，∠B=80°，且∠ACD是 ∠MAB=∠B,∠NAC=∠C,:∠MAN=∠BAC- △ABC的外角，÷.∠ACD=∠A+∠B=50°+80°= ∠MAB-∠NAC=∠BAC-(∠B+∠C).∠B+ 130°，观察图中尺规作图的痕迹，可得CE平分 ∠C=180°-∠BAC,∴∠MAN=∠BAC-(180°- LACD,LDCE=2∠ACD=7×130°=650 ∠BAC)=2∠BAC-180°=2a-180°. 4.解：如答图，第一步：分别以点A和点B为圆心、大 4.分别以点A,B为圆心，以大于之AB的长为半径所 于分B的长为半径作圆弧，两弧孤相交于八.E两点. 画两弧 第二步：过D、E两点作直线PQ交AB于点Q ·33· 八年级数学·华师版（上册） PQ就是所要求作的斜边AB的垂直平分线， 4.D[解析]A.真命题的逆命题不一定是真命题，该 选项错误；B.原命题是假命题，其逆命题不一定是 假命题，该选项错误；C.一个定理的逆命题不一定 正确，因此不一定有逆定理，该选项错误：D.任何一 个命题都有逆命题，该选项正确.故选D. 5.C[解析]“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理 4题答图 是“两直线平行，同旁内角互补”，故选C 5.D[解析]由作图可知∠DAE=∠DAB,∠DEA= 6.解：(1)①相等的角是内错角的逆命题；如果两个角 ∠B=90°.AD=AD,△ADE≌△ADB,∴.DB=DE, 是内错角，那么这两个角相等。 AB=AE.:∠AED+∠B=18O°，∴.∠BAC+∠BDE ②如果a+b>0,那么ab>0的逆命题：如果ab>0, =180°.：∠EDC+∠BDE=180°，.∠EDC= 那么a+b>0. ∠BAC,故A、B、C正确，故选D (2)因为定理首先是真命题，而(1)中①的原命题与 6.解：(1)如答图，AM即为所作， 逆命题都是假命题，故(1)中①的原命题和逆命题 (2)如答图，EF即为所作. 不是互为逆定理 D 7.解：逆定理为“等边三角形的三个角都相等” 已知：△ABC是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C. 证明：'，△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC 由AB=BC,得∠C=∠A: 6题答图 由BC=AC,得∠A=∠B.∴，∠A=∠B=∠C 题型变式 2.线段垂直平分线 1.解：(1)线段AB等于已知线段： 【基础巩固练】 (2)作线段AB的垂直平分线OD: 1.C[解析]：DE是AB的垂直平分线，AE=4, (3)以AD为边作∠CAB=∠a,与OD的交点即为 ∴.BE=AE=4,∴.BC=BE+EC=4+2=6. 点C,连结BC即可得到等腰△ABC.如答图，△ABC 2.C[解析]：对角线AC垂直平分BD,,AB=AD, 即为所求. BC=DC,BE=DE,故A一定成立；在Rt△BEC和 Rt△DEC中，BE=DE,BC=DC,∴.Rt△BEC≌ Rt△DEC,,∠BCE=∠DCE,即CA平分∠BCD,故 B、D一定成立.根据已知条件无法得出AB=BD,故 C符合题意. 3.B[解析]，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm, ∴.AC=2AE=8cm,AD=DC.,△ABD的周长为 1题答图 16 cm,..AB BD+AD =AB BD +CD=AB BC 2.解：作线段AB的垂直平分线，作∠AOB的平分线， 16(cm),∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16+8 射线与直线的交点即为点P.如答图。 =24(cm).故选B. 4.10[解析]，在△ABC中，边ABAC的垂直平分线分 别交BC于点E、F,AE=BE,AF=CFBC=BE+ EF+CF=AE+EF+AF=10,∴.△AEF的周长是10. 5.(0,0)[解析]平面直角坐标系如答图，AB与AC 的垂直平分线的交点为，点O,∴.到△ABC三个顶点 2题答图 距离相等的点的坐标为(0,0).故答案为(0,0). 13.5逆命题与逆定理 1.互逆命题与互逆定理 【基础巩固练】 1.D 2.C B 3.如果ab>0,那么a<0,b<0 5题答图 ·34·通八年级数学·华师版（上册） 13.4尺规作图 1.作一条线段等于已知线段+2.作一个角等于已知角 《基础明固练 [客案P2] 回跟点©作一条线段等于已知线段 ⑤（北京一六一中学期中）用直尺和圆规作一个角 作边长为acm的等边三角形的方法是：如图，① 等于已知角，如图，能得出∠A'OB'=∠AOB的 画射线AM:②连结AC、BC:③分别以A、B为圆 依据是 心，以acm长为半径画弧，两弧交于点C:④在 B 射线AM上截取AB=acm,以上画法正确的顺 序是 a cm 5题图 6如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，AB= BC,∠B=40°，观察图中的作图痕迹，求∠CAE 的度数 1题图 A.①②3④ B.①④③② C.①④②23 D.②①④③ 2(四川宜宾期中)已知：线段a、b.求作：线段AB, 使得AB=a+2b. b一 6题图 小明给出了四个步骤： ①在射线AM上作线段AP=a:②则线段AB=a +2b:③在射线PM上作PQ=b,QB=b:④作射 ⑦题型变式 讲本P29答案P33 线AM.你认为顺序正确的是 A.①2③④ B.④①3② ①（题型1变式）如图，已知线段a、b、c,请画一条 C.④③①2 D.④②①③ 线段，使它的长度等于2a+b-c(不写作法，保 细银息②作一个角等于已知角 留痕迹) 3(天津南开区期中)如图，用尺规作图作∠AOC =∠AOB的第一步是以点O为圆心、以任意长 为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F,则第二 步的作图痕迹②的作法是 A.以点F为圆心、，OE长为半径画弧 1题图 B.以点F为圆心、EF长为半径画弧 C.以点E为圆心，OE长为半径画弧 D.以点E为圆心、，EF长为半径画弧 2(题型2变式)如图，已知∠1、∠2，求作一个角， 使它等于2∠1-∠2（不写作法，保留作图 痕迹) 3题图 4题图 ④如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知 2题图 条件是 A.已知两边及其夹角B.已知三边 C.已知两角及其夹边D.已知两边及一边对角 62 见此图标跟抖音/疑信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第13章全等三角形 3.作已知角的平分线+ 4.经过一已知点作已知直线的垂线 《基础明固练 [客案33] 知圆点©作已知角的平分线 细跟②经过一已知点作已知直线的垂线 (河北黄骅期来)如图，已知在△ABC中，∠A= ④如图，用尺规作图过直线1上一点P作已知直线 I的垂线，图中的点C是 20°，∠C=60°，嘉淇通过尺规作图得到BD,交 的交点 AC于点D.根据其作图痕迹，可得∠ADB的度数 为 4题图 ⑤如图，作△ABC的高CD.(要求：尺规作图，保留 作图痕迹，不写作法) 1题图 A.120° B.110° C.100° D.98 2已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,那 5题图 么作法的合理顺序是 ( ⑥（宁波期中）小军是这样完成“过直线AB上的点 ①作射线OC: O作直线AB的垂线OP”这项任务的.如图，① ②在射线OA和OB上分别截取OD,OE,使OD 以点0为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA =0E; OB于点M,N:②分别以M、N为圆心，大于OM 的长为半径在直线AB同侧作弧，两弧交于点P: ③分别以D.E为圆心，大于)DE的长为半径在 ③作直线OP,则OP⊥AB.你认为小军的作法正 确吗？如果正确，请你给出证明：如果不正确， ∠AOB内作弧，两弧交于点C, 请指出错在哪里。 B D 2题图 A.①②③ B.②①3 6题图 C.②③① D.③①2 题型变式 讲本P30答案P33 3(吉林长春吉大附中期中)如图，在△ABC中， ∠A=50°，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕 ①（题型3变式）如图，已知直线AB和点P,用尺 规作直线CD,使CD∥AB,且CD过点P. 迹，则∠DCE的度数为 1题图 3题图 见此图标眼抖音/餐信扫码领取配套资源稳步提是开成绩 八年级数学·华师版（上册） 5.作已知线段的垂直平分线 《基础巩固练 [答案33] 知阅息①作已知线段的垂直平分线 细跟点②复杂作图 ①（柳州中考）通过如下尺规作图，能确定点D是 ⑤如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，根 BC边中点的是 ( 据尺规作图的痕迹判断以下结论错 误的是 ( A.DB=DE B.AB=AE C.∠EDC=∠BAC D.∠DAC=∠C 6如图，在△ABC中，AB=AC,∠DAC5题图 是△ABC的一个外角.根据要求用 尺规作图，并在图中标明相应字母.（保留作图 D 狼迹，不写作法) 2根据图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为 (1)作∠DAC的平分线AMM: △ABC的 (2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F, 与BC交于点E. 2题图 6题图 3(威海中考)如图，在△ABC中，∠BAC>90°，分 别以点A,B为圆心，以大于)B的长为半径画 ◇题型变式 讲本P30答案P34 弧，两弧交于点D、E.作直线DE,交BC于点M. ①（题型4变式）如图，已知线段AB和∠&.仅用没 分别以点A,C为圆心，以大于之AC的长为半径 有刻度的直尺和圆规作一个以AB为底、底角等 于∠a的等腰△ABC.(保留作图痕迹) 画弧，两弧交于点F、G.作直线FG,交BC于点 N.连结AM、AN.若∠BAC=a,则∠MAV的度数 为 1题图 2(题型5变式)如图，有分别过A、B两个加油站 的公路(，2，相交于点O,现准备在∠AOB内建 3题图 一个油库，要求油库的位置点P既在线段AB的 4如图，已知在R1△ABC中，∠C=90°，作斜边AB 垂直平分线上，又在∠AOB的平分线上.请用尺 的垂直平分线PQ,垂足为Q.(要求：尺规作图， 规作图作出点P.(不写作法，保留作图痕迹) 保留作图痕迹，不写作法) 2题图 4题图 64g 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩