2.等腰三角形的判定-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（上册） 2.等腰三角形的判定 《基础明固练 [答案P29] 知跟息①等腰三角形的判定 ⑤（上海奉贤区期中）如图，已知在△ABC中，D是 1(上海普陀区期中)下列三角形中，等腰三角形 BC上的一点，∠BAC=90°，∠BAD=2∠C. 的个数是 求证：AD=AB. 5 35 5 540° 509 45 ① ② ④ 1题图 5题图 A.1 B.2 C.3 D.4 2一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正 北航行，2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛 A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84 方向上.则海岛B到灯塔C的距离是( A.15海里 B.20海里 细织点②等边三角形的判定 C.30海里 D.60海里 6(福州期中)下列三角形中，不一定是等边三角 3(教村P84练习T1变式)如图.在△ABC中，∠A 形的是 ( =36°，∠C=72°，BD平分∠ABC A.三个角都相等的三角形 ED∥BC,则图中等腰三角形的个 B.有两个角等于60的三角形 数是 ( C.一边上的高也是该边上的中线的三角形 A.2 D.有一个外角等于120的等腰三角形 B.3 7在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D在边 C.4 3题图 AB上，连结CD.给出下列四种说法： D.5 ①当DC=DB时，△BCD一定为等边三角形： ④（云南模拟）如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足 ②当AD=CD时，△BCD一定为等边三角形： 为D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形. ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等 边三角形： ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等 腰三角形. 其中正确的说法是 ,(填序号) 8(泉州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC 4题图 的中点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F,且 DE=DF.求证：△ABC是等边三角形. 8题图 586 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第13章全等三角形 《能力提升练 [鉴案30] ①（广东东莞期末）如图，△ABC中，∠A=36°，AB >题型变式 讲本26答案30 =AC,BD平分∠ABC交AC于点D.则图中的等 腰三角形共有 1(题型2变式)如图，D为△ABC的边AB的延长 线上一点，DF⊥AC于点F,交BC于点E,且BE =BD.求证：AB=BC 1题图 1题客 A.2个B.3个 C.0个 D.1个 2(河南誉县期末)如图，△4BC是等边三角形， BD是中线，延长BC至E,使CE=CD,则下列结 论错误的是 2(题型3变式)如图，已知在△ABC中，AB=AC, D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB,DF⊥ AC,垂足分别为E、F (1)求证：DE=DF: (2)若∠A=60°，BE=2,求△ABC的周长 2题图 A.∠CED=30 B.∠BDE=120 C.DE BD D.DE=AB 3已知△ABC中，AB=AC,∠A=60°，若BC= 5cm,则AC= cm. 2题图 ④[核心素养]如图，在等边三角形ABC中，点E 是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以 DE为一边作等边三角形DEF,连结CF [问题解决] 如图①，若点D在边BC上，求证：CE+CF= ③（题型4变式） CD. [类比探究] (1)如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点 如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线 P,过点P作AC的平行线PQ,过点C作AB 段CE、CF与CD之间存在怎样的数量关系，并 的平行线CQ,两线交于点Q.求证：AP=BQ: 说明理由 (2)在上面的条件下，点P在BC边上任意运动， 延长AP交BQ于点D,请画出图形.问AD 与BD+CD之间是否存在确定关系？若存 在，请指明这个关系，并证明你的结论；若不 存在，请说明理由， 4题图① 4题图② 3题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 59参考答案及解析 (2)解:·BD=CE.F为DE的中点. 7.解:△ABC是等边三角形,AD为中线. $ BD+DF=CE+EF . BF=CF .AD1BC. CAD= .AB=AC'$AF$BC. B= C ' C= $=9 0*-$ 0+*= 0$$$ AD=AE. 180*-4CAD 180-30*-750, 课时2 等边三角形的性质 【基础巩固练】 '. 乙ADE= AED= 2 2 1.C [解析]:△ABC为等边三角形,AD1BC.:AD '. EDC= ADC- ADE=90*-75*=1 15 $$$ 所在直线是BC的垂直平分线, ABC=60{},·E是 8.解:(1)90。 AD上一点, EB=EC,乙EBD=乙ECD, [解析]:△ABC是等边三角形,BAC=60。 .CED=50.. ECD=40* EBD=40$ EA=EC AEC=1 0*$. CAE= ACE=30$$$ '. ABE=ABC-EBC=60$-40*=2 0$$$$ '. BAE= BAC+ CAE=90 故选C. (2)AF/CE.理由如下: 2.A[解析]过点A作AD/1.,如答图,则乙BAD= :△ABC是等边三角形,AF平分/BAC $ $1./AD//.DAc= =40 '.AF 1BC.乙ACB=60 ·△ABC是等边三角形,BAC=60*, B= 由(1)知/ACE=30*. BAD= BAC- DAC=6 0$-40*= 0$故选 A$ , . BCE= ACB+ ACE=90* . FC1 BC.'AF//CE. 2.等腰三角形的判定 -2 1.C 2.C [解析]如答图,根据题意,得 CBD=84*. 2题答图 。 $AB=42* C= CBD- CAB=42$'. $C 3.750 [解析]:△ABC为等边三角形,AD1.BC, = CAB.BC=AB. 'AB=15x2=30(海里 $$ .BC=30海里,即海岛B到灯塔C的距离是30海里 (180-2 DAEF)-(180-30)=75。 4.解:·DB=DE. E= DBE △ABC是等边三角形,BD是AC边上的高, $'. DBC=30$$ E=$ DBE=30$$$$ 1南 '. BDE=180^*-30*-30*=12 0$$$$$ 2题答图 5.B [解析]因为△ABC为等边三角形,所以乙A= 3. D [解析]:A=36*$ C=72.ABC=180$ $ B= C=60$因为DE/BC,所以 ADE=$ - 2*$-36$= 2$* ' ABC= C.'AB=A$C AED= B= C=60*,所以△ADE为等边三角$$$ .△ABC是等腰三角形. DE//BC,乙AED= 形,因为AB=5,B$D=3,所以AD=AB-B$D=2.所$$$ ABC.乙ADE= C.LAED= ADE.: △AED 以△ADE的周长为6 是等腰三角形。 BD平分乙ABC, 乙ABD= 6.7 cm [解析]连结PA、PB、PC,作AB边上的高 $ $B$C=36^$$ $ A= ABD=36^$*,$ EDB= EB$$$ CG,如答图.因为S+Sner+Sace=Sanc,所以 =36* .△ABD.△BDE都是等腰三角形。乙BDC =1$18 0-72*-36^+*=72,'C=B$DC=72^*,$$ 心.△BDC是等腰三角形,综上,等腰三角形有5个. 因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC,所以 4.证明::AD平分乙BAC乙BAD=乙CAD ·DE/AC. EDA= CAD.乙BAD= EDA PF=CG=7(cm). :AD1BD. B+ BAD=90*$ BDE+ EDA=90*.$ . B= BDE..EB=ED. . △BDE是等腰三角形. 5.证明::在Rt△ABC中,/BAC=90*. '.乙B+乙C=90. 6题答图 又·乙BAD=2C. .29. 八年级数学·华师版(上册) BAD+ DAC=2 C+ DAC=$ B+ C$ 题意; 即乙B= C+DAC ·DE=BD.BD<AB.:.DE<AB.D错误.符合题意, :乙ADB=乙C+乙DAC. 故选D. .乙ABD= ADB.:AD=AB 3.5 [解析]:△ABC中,AB=AC.△ABC是等腰 6.C [解析]易知三个角都相等的三角形、有两个角 三角形,又·乙A=60*,.△ABC是等边三角形, 等于60*的三角形一定是等边三角形,故A、B项不 :.AC=BC=5 cm. 符合题意;C项,等腰三角形底边上的高与中线重 4.【问题解决】 合,所以一边上的高也是该边上的中线的三角形不 证明:在CD上截取CH=CE,连接EH.如答图① 一定是等边三角形,故C项符合题意;D项,有一个 :△ABC是等边三角形. 外角等于120的等腰三角形,即有一个内角等于 . 乙ECH=60:△CEH是等边三角形 60{}的等腰三角形,此三角形是等边三角形,故D项 '. EH=EC, CEH=60 不符合题意. :△DEF是等边三角形 7.①②④ [解析]:ACB=90,A=30。 B '. DE=FE, DEF=60 =6 0{.①当DC=DB时,由“有一个角是60*的等腰 '. LDEH+ HEF= FEC+ HEF=60°$$ 三角形是等边三角形”可判定△BCD为等边三角 . DEH= FEC.. △DEH△FEC(S.A.S.). 形;②当AD=CD时,$ ACD= A=30*.. BCD . DH=FC.:.CD=CH+DH=CE+FC =乙B= BDC=6 0*。 △BCD为等边三角形;③$ 即CE+CF=CD 当△ACD是等腰三角形,且乙A为项角时,△BCI 不是等边三角形;④当△BCD是等腰三角形时, B=60*。△BCD为等边三角形, BCD= 6 6{}$ .乙ACD=30.△ACD为等腰三角形.综上 BD 正确的说法是①②④ CD 8.证明.:AB=AC. B= C G 4题答图① 4题答图② :D为AC的中点,DE1AB.DF1BC. 【类比探究】 .AD=CD. AED= CFD=90* 解:CF=CD+CE. 在Rt△AED和Rt△CFD中,AD=CD.DE=DF 理由::△ABC是等边三角形. .Rt△AEDRt△CFD.. 乙A=乙C. :A= B=60。 . A= B=乙C..△ABC是等边三角形 过点D作DG/AB.交AC的延长线于点G 【能力提升练】 如答图②.·DG//AB. 1.B [解析]'·AB=AC,A=36^{}, ' G DC= B=6 0$}. $D[GC= A=6 $$$ .△ABC是等腰三角形,C=/ABC=72 :. GDC= DGC= GCD=60 BD平分 ABC. ABD= DBC=36$. . △GCD为等边三角形.:.DG=CD=CG ' /A三/ABD=36*..ABD是等腰三角形 :△EDF为等边三角形 BDC= A+ ABD=36^*$+36^*$=72^*$= $$$$$ FD=FD. /FDF=/GDC=60* 心.△BDC是等腰三角形. ._EDG=乙FDC. 心共有3个等腰三角形,故选B. . △EGD△FCD.:.EG=FC 2.D[解析]:△ABC是等边三角形,BD是中线, · EG=CG+CE=CD+CE. :.CF=CD+CE 题型变式 · CE=CD... _CDE=LCED 又: 乙BCD=乙CDE+乙CED 1.证明::DF1AC . AFD= CFE=90*. . 乙A+BDE=90*.C+CEF=90 ·BE=BD BDE=乙 BED 合题意; CEF= BED.' A= C.'.AB=BC$$$$ '.乙DBC=乙DEC,.DE=BD,C正确,不符合 2.(1)证明:::DE1AB.DF1AC 题意: '. CBED=乙CFD=90 . BDE=180^{*}-30^*}-30{*}=120^{},B正确,不符合$$$$ “.AB=AC..乙B= C .30. 参考答案及解析 D是BC的中点.:BD=CD ..EA=FC..AF=FC [乙BED=乙CFD. AC=2ABAF+FC=2AF=2AB'$AF=AB 在△BED和△CFD中.. 2B=/C. ·AD平分乙BAC.乙BAE= FAE. IBD=CD. 又AE=AE.:.△ABE△AFE. .△BED△CFD(A.A.$.).:.DE=DF '. ABE= AFE=90$ :EB1AB (2)解::AB=AC,乙A=60*. .△ABC为等边三角形.B=60。 D BE=2.BD=4.$BC=2BD=8$ C △ABC的周长为24 2题答图 3.证明:过点D作DM/AC交BC于点M. 3.(1)证明::△ABC为等边三角形, 如答图. '.AC=BC. ABC= ACB=60 '. DMB= ACB. FDM= E ·CO/AB.P0/AC. .:AB=AC. '. P[C= ABC=6 0*,$P$C= ACB=6 0$$$$ .乙B=/ACB. .△POC为等边三角形,:PC=0C. .乙B= DMB. .△APC△BOC..AP=B0 .BD-MD. (2)解:存在确定关系,关系为AD=BD+CD 3题答图 . BD=CE.:.MD=CE 证明如下: 乙MDF=/E. 如答图.在AD上截取DE三BD.连结BE 在△DMF和△ECF中.{ 乙MFD=/CFE. 由(1)得△APC△B0C. UMD=CE. .乙PAC=乙OBC . △DMF△ECF(A.A.S.)...DF=EF. .乙APC= BPD. 4.证明:如答图.过点D作DM/AB.交BC的延长线 '. ACP=/BDP=60 于点M. . DE=BD. D0 '. 乙MDC= A. M= B .△BDE为等边三角形. 3题答图 AC=BC..乙A= B. . BE=BD. DBE=6O$ '.乙M= MDC 乙ABC=60{* ABE= CBD. .CD=CE. . △ABE△CBD.:.AE=CD .乙CDE= CED AD=DF+AFAD=BD+CD 4题答图 :M+ MDE+ CED=180*. 专项7 等腰三角形的常用作辅助线的方法 .M+ MDC+LCDE+乙CED=180*. 1.证明:(1)如答图,连结AD . 乙MDC+乙CDE=90*. AB=AC,D为BC的中点. 即 MDE=90*.DE1 DM .AD1 BC. BAD= CAD. B= C .:MD//AB.·DF1.AB 又:乙BAC=90*. 5.证明:(1)如答图,延长AB、DE交于点F. B= C= BAD= CAD=45 $ ### AB/CD.:F=/2 .AD=BD .乙1=乙2.乙1=乙F 在△BED和△AFD中. .AD=AF. BE=AF. B= DAF, ·AD=AB+CD.AF=AB+BF. .DC-FB. B 1题答图 BD=AD. 5题答图 又·乙DEC=乙FEB. .△BED△AFD(S.A.S.).:. ED=DF. . △DCE△FBE.:. BE=CE. (2):△BED△AFD.乙BDE= ADF (2)由(1)知△DCE△FBE.AD=AF. . BDE+ EDA= ADF+ EDA=90 . DE=EF.:. AE1.DE. . 乙EDF=90*.:.ED1 DF. 2.证明:如答图,作EF1AC于点F (3)·DE=EF,AD=AF..AE平分 DAB 6.解:如答图,延长GE交CB的延长线于M .31.