1.等腰三角形的性质-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（华东师大版）

第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 课时1 等腰三角形的性质 [答案 <基础巩固练 P27] 6 细等腰三角形的性质:等边对等角 (教材P80例2文式)如图,AD是等腰三角形 ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( 已知一个等腰三角形的顶角为36{},则底角为 B.5 C.4 A.10 D.3 ( A.36& B.60d C.720 D.750 如图,在△ABC中,AB=AC, A=70*},0是 △ABC内一点,且乙OBC=乙0CA,则乙BOC的 度数为 ( 6题图 7题图 A.140。 C.125。 B.110。 D.115· (长春期末)如图,在△ABC中,AB=AC.AD平 D 分乙BAC.点E在边AB上,且BD=BE.若乙BAC =100*,则乙ADE的大小为 81 (教材P81练习T3变式)如图,在△ABC中,/B =乙C,过BC的中点D作DE1AB,DF1AC,垂 2题图 3题图 足分别为点E、F. (江茅练云港月考)如图,在\ABC与/ACD中 (1)求证:DE=DF: B=85*$ ACB=45^*$AC=AD.AB/CD.则$$ (2)若乙BDE=40*,求乙BAC的度数 乙D的度数为 C.550 A.40。 B.50。 D.65。 如图,在△ABC中,点D在BC上.AB=AC=CD 且AD=BD.求△ABC的三个内角的度数 8题图 4题图 细键②等腰三角形的性质:三线合一 5(台州中考)如图,已知线段AB,分别以A、B为 圆心,大于,AB且同样长为半径画狐,两狐交于 点C.D.连结AC、AD.BC、BD.CD.则下列说法错 误的是 A.AB平分/CAD B.CD平分/ACB C.AB1CD D.AB-CD 5题图 见此图标照抖音/微信扫码须取配套诏漏 稳步提升成结 55 八年级数学·华师版(上册) [答案 能力提升练) P28] (州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A [&素养]如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分 作DA1AC交BC于点D.若乙B=2 BAD.则 别是边BC、AC上的点,连结AD、BE. 乙BAD的度数为 ) (1)若BE1AC.乙ACB=66*},则 ABE的度数 为。 (2)若D是BC的中点,乙CBE=乙CAD.求证; BE1AC: 1题图 (3)若AD、BE分别是△ABC的中线和角平分 B.20 C.30 A.18 D.36 线,乙CAD=20o,求/CBE的度数; (湖南长沙望域区期末)如图,在△ABC中,AB= (4)连结DE,若AD=AE. AC.AD1 BC于点D.DE1AB于点 E.BF1AC于 ①当AD是边BC上的高,且/BAD=30*时. 点F.DE=4.则BF的长为 则/EDC的度数为 C.7 D.8 ___; A.5 B.6 ②当AD不是边BC上的高时,请判断/BAD 与乙EDC之间的数量关系,并加以证明. 2题图 3题图 (绍兴中考)如图,在△ABC中,AB=AC, B= 70*.以点C为圆心.CA的长为半径作张,交直线 5题图 BC于点P,连结AP,则之BAP的度数是 (黄石中考)如图,在△ABC中,/BAC=90*E 为边BC上的点,且AB=AE.D为线段BE的中 点,过点E作EF1AE,过点A作AF/BC,且 AF、EF相交于F. (1)求证:乙C=乙BAD; (2)求证:AC=EF. ②题型变式 讲本P25 答案P28 (题型1变式)如图①所示,点D、E在△ABC的 4题图 边BC上.AB=AC. (1)若AD=AE.求证:BD=CE; (2)如图②.若BD=CF.F为DF的中点。/BAF =70,求C的度数 1题图① 1题图② 56 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 第13章 全等三角形 课时2 等边三角形的性质 [答案 P29] <基础巩固练 等边三角形的性质 (河南商兵园区期中)如图,已知等边三角形 如图,在等边三角形ABC中,AD1BC,E为AD ABC的高为7cm,P为△ABC内一点,PD1AB 上一点,2CED=50*,则乙ABE等于 于点D.PE1AC于点 E.PF1BC 于点 F.则PD B.150 D.25。 A.10。 C.20o +PE+PF= ## 6题图 1题图 2题图 3题图 (海南海口期末)如图,△ABC是等边三角形,AD (山东威海六校联考)已知直线1./1..将等边三 为中线,AD=AE,点E在AC上,连结DE,求 角形按如图的方式放置,若/a=40{*,则/B等 乙EDC的度数 7 A.20 B.30。 C.40o D.50。 如图,△ABC为等边三角形,AD1BC于点D.AE =AD.则 ADE= (云南保山期中)如图,△ABC是等边三角形 BD是AC边上的高,延长BC至E.使DB=DE 7题图 求乙BDE的度数 如图,△ABC是等边三角形,△ACE是等腰三角 4题图 形,乙AEC=120*,AE =CE,AF平分 BAC (1)乙BAE的度数为 (2)判断AF与CE的位置关系,并说明理由 细②等边三角形性质的应用 (河南平项山期中)如图,△ABC是等边三角形 5 8题图 DE/BC.若AB=5.BD=3.则△ADE的周长为 ) 5题图 A.2 B.6 C.9 D.15 见此图标照抖音/微信扫码须取配套诏漏 稳步提升成结参考答案及解析 易错疑难集训三 6解：题中的证明过程有错误，没有“AS.S.”这个判定两 1.②④ 个三角形全等的方法 2.D[解析]△ABC和△DEF全等，∴.△ABC和 正确的证明过程如下： △DEF的周长相等，∴，△ABC的周长为奇数，又AB 如答图，过点C、F分别作CM⊥AB于点M,FN⊥DE =2,BC=4,∴，AC的长为奇数.根据三角形的三边 于点N 关系，得4-2<AC<4+2,即2<AC<6,AC=3 或5.，：AB与DE是对应边，.DF的对应边是AC 或BC,∴DF=3或4或5. :区易错分析… 本题的易错之处是没有进行分类讨论，虽 然AB与DE是对应边，但另两边的对应关系不 6题答图 明确，因此需要分类讨论求解.“全等”与“≌” FB=CE,∴.BC=EF 意义不一样，“一”表示对应关系已经确定，而 CM⊥AB,FN⊥DE, “全等”中的对应关系不确定，因此，当题中出 .∠CMB=∠CMA=∠FND=∠FNE=90°. 现“全等”时，应分类讨论进行解答，否则容易 在△BCM和△EFN中， 漏解 :∠B=∠E,∠CMB=∠FNE,BC=EF, 3.4 [解析] ·△BCM≌△EFN(A.A.S.), ∠A=∠B=90 CM⊥AB,DB⊥AB ∴.CM=FN,BM=EN BP=x m.BO=2xm. 在Rt△ACM和Rt△DFN中， AP=(12-r)m 设运动时间为xmin 分情况 .AC DF,CM FN, 讨论 BP=ACx=4 -AP=BQ-8m△CAP≌△PBQ .Rt△ACM≌Rt△DFN(H.L.), △CAP与 .AM DN, BP=AP+x=6BQ=12m≠AC △QBP不全等 ∴.AM+BM=DN+EN,即AB=DE. 4正明：如答图，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于 13.3等腰三角形 点F 1.等腰三角形的性质 DE⊥AB,DF⊥AC, 课时1等腰三角形的性质 ·.∠BED=LAED=∠CFD=∠AFD=9O ∠BED=∠CFD. 【基础巩围练】 在△BDE和△CDF中，{∠1=∠2， 1.C BD =CD, 2.C[解析].AB=AC,∠ABC=∠ACB.∠OBC ∴.△BDE≌△CDF(A.A.S.).∴.DE=DF =∠0CA,.∠0CB=∠0BA.∠A=70°，.∠ABC 在R△ADE和R△MDF中，DE=DF, 「AD=AD, =∠ACB=55°，∴.∠OBC+∠OCB=55°，.∠B0C =125 ∴.Rt△ADE≌Rt△ADFH.L). 3.B[解析]∠B=85°，LACB=45°，.∠BAC= ∠DAE=∠DAF.∴AD平分LBAC 180°-85°-45°=50°.AB∥CD,.∠ACD= ∠CAB=50°.AD=AC,.∠D=∠ACD=50°.故 选B. 4.解：设∠B=x.:AB=AC,∴∠C=xAC=CD, .∠CAD=∠CDA. AD=BD,∴.∠BAD=∠B=x 4题答图 由三角形的外角性质，得∠CDA=∠B+∠BAD= 5.A 2x,.∠CAD=2x :《易错分析 在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°， 实际上本题的条件“BD=CE”多余，在证明两 ,x+2x+2x=180°，解得x=36°， 个三角形全等时，一定要按照“S.AS.”“A.S.A.” ∠B=∠C=36°，∠BAC=180°-36°-36°=108°， “A.A.S,”“S.S.S.”和“H.L”五种方法证明，不能 ∴，△ABC的三个内角的度数分别是108°，36°，36°. 独创其他方法，如“AA.A”“S.S.A”“AS.S”这 5.D 些力法都是想当然的，不能成立 6.B ·27. 八年级数学·华师版（上册） 7.20°[解析]AB=AC,∠BAC=100°，∴.∠B= .∠BAD+∠DAC=90°.∴.∠C=∠BAD. ∠C=7(180°-∠BMC)=40:BD=BE, (2):AF∥BC,∴，∠EAF=∠AEB. :AB=AE,∴.∠B=∠AEB. 4∠BDE=LBED=2(180-∠B)=70:AB= .∠B=∠EAF 又：AB=EA,∠BAC=∠AEF=90° AC,AD平分∠BAC,.AD⊥BC,∴.∠ADB=90°， .△BAC≌△AEF(A.S.A.).∴.AC=EF ∴.∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-70°=20. 5.(1)42 8.(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, [解析].AB=AC,∴，∠ABC=∠ACB=66 ∴.∠BED=∠CFD=90°. BE⊥AC,∴.∠BEC=90°， D是BC的中点，∴BD=CD. ∴.∠EBC=90°-∠ACB=90°-66°=24°， r∠BED=∠CFD, 在△BED和△CFD中，{∠B=∠C, ∴.∠ABE=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42 (2)证明：：AB=AC,D是BC的中点， LBD=CD, .△BED≌△CFD(A.A.S.)..DE=DF ∴.AD⊥BC,∴.∠CAD+∠C=90°， 又∠CBE=∠CAD,∴∠CBE+∠C=90°， (2)解：连结AD.由(1)可知AD平分∠BAC. ,BE⊥AC 由“A.A.S.”可证△ABD≌△ACD,∴.AB=AC ∴.AD⊥BC.∴、∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°. (3)解：：AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴.∠BAD=∠BDE=4O°. ∴，∠BAD=∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB, ∴.∠BAC=2∠BAD=80°. ∠ABC=2×(180°-40)=700 【能力提升练】 :BE是△ABC的角平分线， 1.A[解析]：AB=AC,.∠B=∠C.:DA⊥AC, .∠DAC=90°.∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B= CBE-LABC-35 2∠BAD,∴.5∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°. (4)①15 2.D[解析]：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∴.AD [解析]AD是边BC上的高，AB=AC, 是△ABC的中线，SaIc=2SAD=2×之DE:AB ∴.∠ADC=90°，AD是∠BAC的平分线， .∠BAD=∠CAD, =DE,AB.S=2AC,BR,子4C·BF= ∠BAD=30°，.∠CAD=30°. DE B.AB =ACBF-DE.DE4.BF .AD=AE, =8.故选D. ÷LADE=LABD=180-30)=75 3.15°或75°【解析]AB=AC,∠ABC=70°， .∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15° .∠ACB=70°，∠CAB=40°.CA=CP,∠CAP ②∠BAD=2∠EDC.证明如下： =∠CPA.分两种情况讨论：当点P在点B的左侧 .AB =AC,AD =AE, 时，如答图①，∠CAP=(180°-70)÷2=55°， ∴∠ABC=∠C,LADE=∠AED, ∠BAP=∠CAP-∠CAB=55°-40°=15°；当，点 'LADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC, P在点B的右侧时，如答图②，LCP=2∠ACB ∴.∠ABC+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC= ∠AED+∠EDC=∠C+2∠EDC, 35°，∴.∠BAP=∠CAP+∠CAB=35°+40°=75. ∴.∠BAD=2∠EDC. 综上，∠BAP的度数为15°或75 题型变式 1.(1)证明：如答图，过点A作AF⊥BC于F PB C BC 3题答图① 3题答图② B D 4.证明：(1)：AB=AE,D为线段BE的中点， 1题答图 .AD⊥BC.∠C+∠DAC=90. AB =AC,AD =AE,..BF=CF,DF=EF, :∠BAC=90°， .BF-DF CF -EF,:.BD=CE. ·28· 参考答案及解析 (2)解：，BD=CE,F为DE的中点， 7.解：△ABC是等边三角形，AD为中线， ∴.BD+DF=CE+EF,∴BF=CF. AB=AC,∴.AF⊥BC,∠B=∠C ∴AD1BC,LCD=7∠BMC=30 ∴.∠C=∠B=90°-70°=20°. .AD=AE, 课时2等边三角形的性质 六∠A0E=∠ABD=180°-，∠C4D.180,30°=75， 【基础现固练】 2 2 1.C[解析]△ABC为等边三角形，AD⊥BC,.AD .∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°. 所在直线是BC的垂直平分线，∠ABC=60°，：E是8.解：(1)90° AD上一点，∴.EB=EC,∠EBD=∠ECD, [解析]：△ABC是等边三角形，.∠BAC=60, ∠CED=50°，·∠ECD=40°，∠EBD=40°， :EA=EC,∠AEC=120°，∴.∠CAE=∠ACE=30°， ∴.∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-40°=20°， .∠BAE=∠BAC+∠CAE=90. 故选C. (2)AF∥CE.理由如下： 2.A[解析]过点A作AD∥L1,如答图，则LBAD= △ABC是等边三角形，AF平分∠BAC, ∠B.4∥l2,∴AD∥42，.∠DAC=∠a=40. .AF⊥BC,∠ACB=60 :△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，∴，∠B= 由(1)知∠ACE=30°， ∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°.故选A. ∴LBCE=∠ACB+∠ACE=90°， TB .EC⊥BC,.AF∥CE. “D 2.等腰三角形的判定 1.c 2.C[解析]如答图，根据题意，得∠CBD=84°， 2题答图 ∠CAB=42°，∴.∠C=∠CBD-∠CAB=42°，∴.∠C 3.75°[解析]△ABC为等边三角形，AD⊥BC, =∠CAB,.BC=AB.AB=15×2=30(海里)， ∠DAC=号∠BMC=30:AD=AE,LADE= ∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里. 北 2(180°-LDAE）)=(180°-30）=750 B 4.解：DB=DE,∴.∠E=∠DBE. 西 ·东 :△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， A ∴.∠DBC=30°，∴.∠E=∠DBE=30°， 南 ∠BDE=180°-30°-30°=120°. 2题答图 5.B[解析]因为△ABC为等边三角形，所以∠A= 3.D[解析]：∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180 ∠B=∠C=60°.因为DE∥BC,所以∠ADE= -72°-36°=72°，∠ABC=∠C,AB=AC, ∠AED=∠B=∠C=60°，所以△ADE为等边三角 △ABC是等腰三角形.：DE∥BC,∠AED= 形.因为AB=5,BD=3,所以AD=AB-BD=2,所 ∠ABC,∠ADE=∠C,∴.∠AED=∠ADE,∴△AED 以△ADE的周长为6. 是等腰三角形.BD平分LABC,∠ABD= 6.7cm[解析]连结PA、PB、PC,作AB边上的高 ∠DBC=36°，∴.∠A=∠ABD=36°，∠EDB=∠EBD CG,如答图.因为SAr+Sar+SACr=SA8c,所以 =36°，.△ABD,△BDE都是等腰三角形.∠BDC 2AR-PD+2RGPF+2AC PE-TAR.CG =180°-72°-36°=72°，∴.∠C=∠BDC=72°， △BDC是等腰三角形.综上，等腰三角形有5个. 因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC,所以 4.证明：AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD. AB(PE+PF+PD)=2AB,CG,所以PE+PD+ DE∥AC,.∠EDA=∠CAD,,∠BAD=∠EDA. PF=CG=7 (cm). AD⊥BD, .∠B+∠BAD=90°，∠BDE+∠EDA=90°， 六∠B=∠BDE,∴EB=ED, ,△BDE是等腰三角形. 5.证明：·在Rt△ABC中，∠BAC=90°， .∠B+∠C=90°. 6题答图 又，∠BAD=2∠C, ·29.