第02讲 平面向量的运算（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的运算 【人教A版2019】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【题型1 向量的加减运算】 【例1.1】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量线性运算计算即可． 【解答过程】， 故选：D． 【例1.2】（2024高三·全国·专题练习）已知下列各式：①；②；③.其中结果为零向量的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据平面向量的加法、减法运算法则，逐一计算即可求得结果. 【解答过程】①中； ②中； ③； 即①③结果为零向量， 故选：C. 【变式1.1】（23-24高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1.2】（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 【解题思路】向量的加法、减法法则计算即可. 【解答过程】由向量的加法、减法法则，得 ， ． 故选：B. 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2.1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加减法则计算即得. 【解答过程】. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据重心的性质及向量的线性运算可得解. 【解答过程】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则 ， 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式2.2】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解题思路】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【题型3 向量共线定理及其应用】 【例3.1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量平行得到方程，求出答案. 【解答过程】向量与向量共线， 设，故，解得. 故选：B. 【例3.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【变式3.1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【解题思路】根据向量共线定理一一分析即可. 【解答过程】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 【变式3.2】（23-24高一下·浙江温州·阶段练习）设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】根据三点共线可得向量共线，利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意， 且， 因为三点共线， 所以存在实数，使得, 所以， 即，解得. 故选：A. 【题型4 向量线性运算的几何应用】 【例4.1】（23-24高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【解题思路】分析可得且，利用梯形的定义判断可得出结论. 【解答过程】因为平面四边形满足，则且， 故四边形一定是梯形， 故选：D. 【例4.2】（23-24高一上·北京顺义·期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果. 【解答过程】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点， 如图，， 故选：A. 【变式4.1】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先依据共线向量几何意义判断出点P的位置，再去求与的面积之比 【解答过程】由 可得，即点P在线段BC上，且 则与的面积之比等于 故选：B. 【变式4.2】（23-24高一下·甘肃兰州·阶段练习）八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论： ①；    ②； ③；    ④. 其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【解题思路】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于①，，①错误； 对于②，由正八边形性质知：，，设， ，为中点，， ，，， 又，，②正确； 对于③，， 由正八边形性质知：且，即， ，又， ，③正确； 对于④， ，④正确. 故选：C. 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④||，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【题型5 向量数量积的计算】 【例5.1】（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】由向量的数量积计算出结果. 【解答过程】 故选：C. 【例5.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【解答过程】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 【变式5.1】（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（    ） A．7 B． C．8 D． 【解题思路】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【解答过程】因为是BC中点， ， 因为M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点， ， 同理可得， . 故选：D. 【变式5.2】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，结合数量积的定义得，最后由数量积的运算律即可求解. 【解答过程】， ， ， ，，， ， ， ， 故选：C. 【题型6 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例6.1】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知向量均为非零向量，，则的夹角（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设、的夹角为，由，得出，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出的值，结合的取值范围得出的值. 【解答过程】设、的夹角为，且， ，解得， ，. 因此，、的夹角为， 故选：C. 【例6.2】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知三个单位向量，，满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】两边平方，根据，，为单位向量，得到方程，求出与的夹角的余弦值. 【解答过程】两边平方得， 因为，，为单位向量，所以， 解得. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】计算出，，，计算出，得到答案. 【解答过程】 ， 其中，故， ，故， 所以， 所以与夹角为. 故选：C. 【变式6.2】（23-24高一下·山西大同·期中）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可． 【解答过程】由，得， 由，得，整理得， 所以，则， 设向量的夹角为，则． 故选：C． 【题型7 垂直关系的向量表示】 【例7.1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设，已知向量与的夹角为，，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】直接根据计算求解即可. 【解答过程】由得， 解得. 故选：C. 【例7.2】（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量数量积公式计算即可. 【解答过程】由题意知， 由知. 故选：D. 【变式7.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形 【解题思路】由，可得∥，，再由可得，从而可判断出四边形的形状. 【解答过程】因为四边形中，， 所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 因为，所以，所以， 所以四边形为矩形. 故选：B. 【变式7.2】（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意先解出，由与垂直，解出即可. 【解答过程】因为，所以，因为与垂直， 所以，得，得， 解得. 故选：A. 【题型8 向量的模长问题】 【例8.1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B．4 C． D．16 【解题思路】利用平方的方法化简已知条件，再利用平方的方法求得正确答案. 【解答过程】由两边平方并化简得， 所以. 故选：A. 【例8.2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知向量，的夹角为，且，，则（    ） A．19 B．7 C． D． 【解题思路】利用结合已知条件求解即可. 【解答过程】因为向量，的夹角为，且，， 所以 . 故选：C. 【变式8.1】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】根据等式变形，再两边平方结合已知条件计算得出结果； 【解答过程】， 等式两边平方得， 因为，，，化简可得， 所以. 故选：A. 【变式8.2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）在中，，，，（），则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【解题思路】先求，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于的函数，利用函数的观点即可求最小值. 【解答过程】因为 所以 又因为，，， 所以 所以 当时，，即， 故选：B. 一、单选题 1．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）化简（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据向量的加法运算法则即可求解. 【解答过程】, 故选：B. 2．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得. 【解答过程】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确. 故选：D. 3．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】，,则不存在唯一，使得，故A错误. ，，则. 则，则，两个向量由公共点. 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误. ，，则， 则不存在唯一，使得，故D也错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【解答过程】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 5．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【解答过程】，，则， 是等边三角形. 故选：A. 6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在直角三角形中求出，然后在三角形中，由减法法则求出，进而，得解. 【解答过程】解：由，，，得, 三角形中，, , . 故选：C. 7．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知相互垂直，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用向量垂直,其数量积为0，建立等式，即可求出结果. 【解答过程】因为，所以， 又相互垂直，，所以，解得， 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，，且不能共线反向，再求解即可得实数的取值范围； 【解答过程】因为，，与的夹角为， 所以， 因为向量与向量的夹角为钝角， 所以且不能共线反向， 若， 则， 解得， 若向量与向量共线反向，则有， 即，解得（舍去）或，所以， 综上可得实数的取值范围. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列各式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可. 【解答过程】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确. 故选：AD． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据向量间关系判断向量平行关系判断A,B,C,假设向量共线求参法判断D. 【解答过程】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量． A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线； B中，因为，所以与共线； C中，因为，所以与共线； D中，若与共线，则存在实数，使， 即，所以． 因为，是不共线向量， 所以，方程组无解， 所以与不共线. 故选：BC. 11．（23-24高一下·江苏常州·开学考试）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（    ）      A． B． C． D．在上的投影向量为 【解题思路】对于A，可得与为相反向量；对于B，证明即得解；对于C，求出即得解；对于D，证明即得解. 【解答过程】对于A，，由图可得与为相反向量，故A错误； 对于B，由图易得，直线平分，且为正三角形，    根据平行四边形法则有与共线且同方向， 易知均为直角三角形，， 故， 则，而，故， 故，故B错误； 对于C，， ，则，又， ， ，，故C正确；    对于D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 2 ． 【解题思路】根据条件得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以， 故答案为：. 13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数= . 【解题思路】根据平面向量的共线定理，利用向量相等的概念列出方程组，即可求出λ的值. 【解答过程】解：因为向量与共线，所以， 即， 化简得， 因为向量，是两个不共线的向量， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零向量与满足，且，则为 等边 三角形. 【解题思路】又向量数量积的运算律可知，再根据，可得，可知三角形为等边三角形. 【解答过程】由，即， 则， 又在中，，，， 则， 设，，且， 所以，即， 所以， 所以， 即为等边三角形， 故答案为：等边. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)     (2)   【解题思路】（1）（2）利用平面向量加法的平行四边形法则可作出向量. 【解答过程】（1）解：作，，以、为邻边作，， 则即为所求作的向量.      （2）解：作，，以、为邻边作，， 则即为所求作的向量.    16．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 17．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【解题思路】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【解答过程】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 【解题思路】（1）根据直角三角形性质可得向量夹角； （2）根据夹角与模长可得向量数量积. 【解答过程】（1）由已知在中，，，， 即， 即，， 且， 所以， 所以与的夹角； （2）由（1）得， 所以向量与的夹角是， 所以. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知三个单位向量，它们相互间的夹角均为120°. (1)求证：； (2)若，求实数k的取值范围. 【解题思路】（1）证明，由垂直关系的向量表示即可得证； （2）利用数量积的运算律，结合，利用两向量数量积可得到关于的不等式，求解即可. 【解答过程】（1）证明： ， ∴. （2）∵， ∴，，即. ∵， ∴原式， 即，解得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的运算 【人教A版2019】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【题型1 向量的加减运算】 【例1.1】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2024高三·全国·专题练习）已知下列各式：①；②；③.其中结果为零向量的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.1】（23-24高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2.1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【变式2.2】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【题型3 向量共线定理及其应用】 【例3.1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式3.1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【变式3.2】（23-24高一下·浙江温州·阶段练习）设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【题型4 向量线性运算的几何应用】 【例4.1】（23-24高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【例4.2】（23-24高一上·北京顺义·期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一下·甘肃兰州·阶段练习）八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论： ①；    ②； ③；    ④. 其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④||，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【题型5 向量数量积的计算】 【例5.1】（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例5.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（    ） A．7 B． C．8 D． 【变式5.2】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【题型6 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例6.1】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知向量均为非零向量，，则的夹角（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知三个单位向量，，满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一下·山西大同·期中）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 垂直关系的向量表示】 【例7.1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设，已知向量与的夹角为，，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【例7.2】（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形 【变式7.2】（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 向量的模长问题】 【例8.1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B．4 C． D．16 【例8.2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知向量，的夹角为，且，，则（    ） A．19 B．7 C． D． 【变式8.1】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D．3 【变式8.2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）在中，，，，（），则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 一、单选题 1．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）化简（    ） A．0 B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 4．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知相互垂直，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列各式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24高一下·江苏常州·开学考试）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（    ）      A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 ． 13．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数= . 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零向量与满足，且，则为 三角形. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)     (2)   16．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 17．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，是的中点. (1)求与的夹角； (2)求. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知三个单位向量，它们相互间的夹角均为120°. (1)求证：； (2)若，求实数k的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$