第01讲 平面向量的基本概念（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的基本概念 【人教A版2019】 模块一 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【题型1 向量概念的理解】 【例1.1】（23-24高一下·全国·课后作业）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【解题思路】根据向量的概念，即可得出答案. 【解答过程】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向. （2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量， （1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量. 故选：A. 【例1.2】（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断. 【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 【变式1.1】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【解题思路】根据向量的几何表示，逐项判断即可得解. 【解答过程】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确． 故选D． 【变式1.2】（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解． 【解答过程】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误； 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误； 对于（3），零向量的模为0，不是正数，故（3）错误； 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误； 故选：A． 【题型2 零向量与单位向量】 【例2.1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【解题思路】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D. 【例2.2】（23-24高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解答过程】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【解题思路】根据零向量和单位向量的概念求解. 【解答过程】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【解题思路】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【解答过程】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C. 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 【例3.1】（23-24一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解答过程】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 【例3.2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【变式3.2】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【解题思路】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. 【解答过程】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）  . 模块二 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 【题型4 向量相等或共线的判断】 【例4.1】（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与共线 【解题思路】 画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可. 【解答过程】 如图，    因为，方向相同，长度相等，故，故A正确； 因为，方向不同，故，故B错误； 因为，，三点共线，所以，故C正确； 因为，所以与共线，故D正确. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二·全国·假期作业）如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断. 【解答过程】因为，则四边形是平行四边形，结合题图， ，A错误； ，B错误； 与方向不相同，C错误； ，D正确. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解； （2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【解答过程】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴. 故与向量相等的向量是，. （2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，. 【变式4.2】（24-25高一·全国·课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：      (1)试找出与共线的向量； (2)确定与相等的向量； (3)与相等吗？ 【解题思路】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答. 【解答过程】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和. （2）由于与长度相等且方向相同，所以. （3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等. 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 【例5.1】（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【解答过程】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D. 【例5.2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【解题思路】根据向量条件可判断四边形为正方形，据此判断各选项. 【解答过程】四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【解题思路】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. 【解答过程】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形． 即证. 【变式5.2】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出. 【解答过程】证明：由可知且， 所以四边形为平行四边形， 从而. 又M，N分别是，的中点，于是. 所以且. 所以四边形是平行四边形. 从而. 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【解题思路】根据向量的定义即可判断. 【解答过程】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是正实数 B．共线向量一定是相等向量 C．方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 【解题思路】根据向量、向量的模和共线向量的含义即可判定. 【解答过程】对于A，因为，不是正实数，故A错误； 对于B，共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误； 对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故C正确； 对于D，两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错误． 故选：C． 3．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【解题思路】由向量的有关概念逐项判断即可. 【解答过程】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动， 且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量与互为相反向量，故③错误. 故选：A. 4．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【解题思路】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【解答过程】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 5．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 6．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【解题思路】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【解答过程】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D. 7．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【解题思路】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【解答过程】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解. 【解答过程】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 【解题思路】根据向量的相关定义逐一判断各个选项即可求解. 【解答过程】对于A，若，则不一定有， 比如，让这两个向量共起点，则它们的终点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上， 所以这两个向量不一定共线，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误. 故选：ABD. 10．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 【解题思路】根据向量的基本性质，基本概念，以及向量平行和零向量的定义，逐项分析即可. 【解答过程】对于A,因为两个非零向量 满足， 则，且，故方向相反， 则是互为相反向量，故A正确； 对于B，因为向量不能比较大小，故B错误； 对于C， 若与重合，与重合，则， 则充分性成立， 但，根据向量的可平移性， 不一定有与重合，与重合，必要性不成立， 故C错误； 对于D，模为0的向量是零向量，故其方向不确定； 一个向量方向不确定，是零向量，其模为0, 故模为0是一个向量方向不确定的充要条件， 则D正确， 故选：AD. 11．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【解题思路】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C. 【解答过程】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ， ． 【解题思路】根据向量相等的概念直接求解. 【解答过程】   四边形和都是平行四边形， ，， 从而，，． 故与向量相等的向量为，． 故答案为：，. 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝ 2 ． 【解题思路】由向量的加法原则求解即可. 【解答过程】因为， 因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以， 所以. 故答案为：2. 14．（23-24高一·全国·假期作业）下列说法中正确的是 ①③ . ①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量与不共线，则与都是非零向量． 【解题思路】根据向量的概念、向量平行的定义，逐项判断即可. 【解答过程】由向量平行的定义知①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，正确，不妨设为零向量，则与共线，与与不共线矛盾，故③正确． 故答案为：①③. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【解题思路】（1）从向东作长度为3m的有向线段； （2）从向西作长度为3m的有向线段； （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段； （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段． 【解答过程】（1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    16．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 17．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 【解题思路】（1）根据起点和终点作出向量即可； （2）根据起点和模长作出向量即可； （3）根据向量相等作出向量即可； （4）根据向量平行作出向量即可. 【解答过程】（1）    （2）答案不唯一，向量的终点在以为圆心2为半径的圆弧上即可.    （3）答案不唯一，向量只要和向量同向等长即可.    （4）答案不唯一，向量只要和向量平行即可.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的基本概念 【人教A版2019】 模块一 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【题型1 向量概念的理解】 【例1.1】（23-24高一下·全国·课后作业）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【例1.2】（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.1】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【变式1.2】（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 零向量与单位向量】 【例2.1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【例2.2】（23-24高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【变式2.2】（23-24高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 【例3.1】（23-24一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【例3.2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【变式3.2】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 模块二 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 【题型4 向量相等或共线的判断】 【例4.1】（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与共线 【例4.2】（23-24高二·全国·假期作业）如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【变式4.2】（24-25高一·全国·课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：      (1)试找出与共线的向量； (2)确定与相等的向量； (3)与相等吗？ 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 【例5.1】（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【例5.2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【变式5.1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【变式5.2】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 一、单选题 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 2．（23-24高一下·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是正实数 B．共线向量一定是相等向量 C．方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 3．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 4．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 5．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 6．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 7．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 10．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 11．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝ ． 14．（23-24高一·全国·假期作业）下列说法中正确的是 . ①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量与不共线，则与都是非零向量． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 17．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$