专题4.2 选择性必修第一册综合检测2-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题4.2 选择性必修第一册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以，，解得， 所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 2．（24-25高三上·吉林通化·开学考试）已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可得圆心直线的距离为，进而即得. 【详解】由可知圆心，半径为， 又圆心直线的距离为， 所以与直线平行且距离为的直线一条过圆的圆心，另一条与圆相切， 所以满足条件的点P的个数为3. 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】设圆的方程为，解方程即得解. 【详解】由题意可设圆的方程为， 则根据两圆内切，得， 所以， 所以， 即圆的方程为或． 故选：D 4．（2024·全国·模拟预测）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求，根据双曲线离心率的定义可得结果. 【详解】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得： ，， 由， 解得，而，所以双曲线的离心率． 故选：A． 5．（2024·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得A，B两点的坐标，进而求得线段AB的长 【详解】椭圆的右焦点坐标为， 则抛物线的焦点坐标为， 则，则，抛物线 由，解得或 则 故选：B 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，设点，利用余弦定理建立关系，结合椭圆范围求解作答. 【详解】依题意，，设点，，， ，中，由余弦定理得： ，整理得， 则，化简得：，即， 于是得，即，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（   ） A．的标准方程为 B．的离心率等于 C．与双曲线的渐近线不相同 D．直线与有且仅有一个公共点 【答案】C 【分析】分别设出焦点在轴上和在轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线的标准方程，根据离心率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可判断双曲线和直线交点个数. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则，解得，此时的标准方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则，解得（舍去），此种情况不成立，则正确； ∵，∴ ，则正确； 双曲线的渐近线为， 双曲线的渐近线为，即两者的渐近线相同，则错误； 将直线与双曲线联立得， ，∴直线与有且仅有一个公共点，则正确； 故选：. 8．（24-25高三上·浙江·开学考试）如图所示，在正三棱台中，，记侧面与底面，侧面与侧面，以及侧面与截面所成的锐二面角的平面角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，分别计算相应的二面角的余弦值，再根据余弦值的大小比较角的大小即可. 【详解】解：如图，取中点，中点，连接，， 设的中心为，的中心为， 则根据正三角形的中心与重心重合得分别为的三等分点，且，， 由于在正三棱台中，， 所以，， 由正三棱台的性质得平面，平面， 过点作于， 根据几何关系易知，，，， 故以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 所以，，， ，，， 易知是平面的法向量， 设平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为， 由于，， 所以，即，故， 所以， 所以侧面与底面所成锐二面角余弦值为，即， 由于，，， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 所以，， 所以侧面与侧面所成锐二面角余弦值为，即， 侧面与截面所成锐二面角余弦值为，即， 由于，，，均为锐角，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查二面角的大小的计算，考查空间思维能力与运算能力，是中档题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知P是圆上有一动点， 点到直线：的距离为，则的取值可能是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】ABC 【分析】求出圆心到直线的距离即可求出的范围. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为，故直线与相交， 则，所以的取值可能是. 故选：ABC. 10．（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断. 【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误； B：与同向的单位向量是，正确； C：由， 则在方向上的投影向量是 ，正确； D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确. 故选：BCD 11．（2024·河南新乡·一模）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，点，且，则（    ） A．直线的方程为 B．直线的方程为 C． D． 【答案】AD 【分析】根据抛物线焦点弦的几何性质求解即可. 【详解】 设，，抛物线的准线，， 则以为直径的圆的半径， 线段的中点坐标为， 则线段的中点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切， 所以的中点的纵坐标为1，即， 所以直线的斜率为， 则直线的方程为， 则线段的中点坐标为， 所以． 故选：AD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二上·四川宜宾·期末）若直线与直线互相垂直，则 . 【答案】或 【分析】根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：或. 13．（2024·山东聊城·三模）已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】做准线于点，轴于点可得，，再由抛物线定义可得答案. 【详解】如图，做准线于点，轴于点，所以， 因为， 所以，所以， 解得. 故答案为：.    14．（24-25高二上·河北邢台·期中）设是椭圆上的任一点，为圆：的任一条直径，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设出，利用向量加减运算法则和数量积公式得到，求出的最小值，从而得到的最小值. 【详解】由题设，，且，关于对称， 因是椭圆上的任一点，设，则满足，即. ， ，， ∴当时，取到最小值，此时， 故的最小值为. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一下·四川成都·期末）（1）已知点和，直线经过点，且与直线AB平行，求直线的方程； （2）求垂直于直线 ，且与点的距离是的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据平行关系得直线斜率，根据点斜式方程运算整理；（2）由垂直设直线的方程为，利用点到直线距离列方程求解即可. 【详解】 （1）∵，则直线的斜率 直线又过点，则直线的方程为：，即 ∴直线的方程为 （2）由题意可设：设直线的方程为， 又与点的距离是，则，得到或， ∴直线的方程：或. 16．（24-25高二下·陕西汉中·期中）已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点，过点的直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）设椭圆的方程为：，由椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，求得，再由，结合基本不等式求解. 【详解】（1）解：设椭圆的方程为：， 由题意得解得 椭圆的方程为：， 椭圆的离心率． （2）设直线的方程为：，，， 联立得， ，，， ， ， 面积的最大值为． 17．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，M为PC上一点，且，，. （1）证明：平面PAD； （2）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）过作交于，证明四边形是平行四边形得出，于是平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算和的夹角得出直线与平面所成角的大小； （3）根据计算棱锥的体积． 【详解】（1）证明：过M作交PD于N，连接AN， 则，， 又，， ，， 四边形ABMN是平行四边形， ，又平面PAD，平面PAD， 平面PAD. （2）连接BD， ，，，， ，， 又，， 以D为原点，以DB，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ，，， 设平面PBC的法向量为，则，即， 令可得， ， 直线DM与平面PBC所成的角的正弦值为. （3）， . 18．（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知抛物线：（）的焦点关于抛物线的准线的对称点为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，为坐标原点，记的面积为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到，即可求解. （2）设直线，且（），，，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到，结合图形得到，即可求证. 【详解】（1）由题意得：抛物线的焦点，准线方程：， 因为焦点关于准线的对称点为， 则，解得：， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知，焦点，如图： 过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点， 直线的倾斜角不为，则，即， 则设直线，且（），，， 联立，得：， 由，得：， 则， 又，所以（）， 又， 即. 综上：的面积，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 19．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标以及经过的点，代入即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据两点斜率公式求解两直线的斜率，代入韦达定理化简即可求解. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为 故为双曲线的焦点，故双曲线， 设双曲线的方程为：，代入点，，可得或，又因为双曲线中，故，双曲线方程为． （2）当直线斜率为0时，易得直线方程为：，此时，符合，此时直线经过， 直线斜率不为0时，设直线，联立直线与双曲线方程可得：． 设，则直线斜率，直线斜率．由易知：．代入可得：．又因为． 原式可转化为， 由韦达定理可得：，代入式子中化简可得：．故或． 若，直线为，恒过点， 若，直线方程为，直线恒过定点， 与题目中为异于的点矛盾，故直线恒过定点为．    【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点问题：一般常采用两种方式： 参数法：通过设点或者设参数，建立一个直线系或者曲线系方程，得到一个关于定点坐标的方程式，将复杂的问题转化为简单的计算问题， 特殊一般法，从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 选择性必修第一册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高三上·吉林通化·开学考试）已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（2024·全国·模拟预测）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（   ） A．的标准方程为 B．的离心率等于 C．与双曲线的渐近线不相同 D．直线与有且仅有一个公共点 8．（24-25高三上·浙江·开学考试）如图所示，在正三棱台中，，记侧面与底面，侧面与侧面，以及侧面与截面所成的锐二面角的平面角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知P是圆上有一动点， 点到直线：的距离为，则的取值可能是（    ） A． B．2 C． D．4 10．（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 11．（2024·河南新乡·一模）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，点，且，则（    ） A．直线的方程为 B．直线的方程为 C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二上·四川宜宾·期末）若直线与直线互相垂直，则 . 13．（2024·山东聊城·三模）已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ． 14．（24-25高二上·河北邢台·期中）设是椭圆上的任一点，为圆：的任一条直径，则的最小值为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一下·四川成都·期末）（1）已知点和，直线经过点，且与直线AB平行，求直线的方程； （2）求垂直于直线 ，且与点的距离是的直线的方程． 16．（24-25高二下·陕西汉中·期中）已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点，过点的直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)求面积的最大值． 17．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，M为PC上一点，且，，. （1）证明：平面PAD； （2）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积. 18．（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知抛物线：（）的焦点关于抛物线的准线的对称点为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，为坐标原点，记的面积为，求证：. 19．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$