第六章 平面图形的初步认识 第6.5节 多边形-2024-2025学年七年级数学上学期《七年级数学上册培优全攻略》（2024苏科新版）

苏科2024新版第六章 平面图形的初步认识 6.5多边形 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线； 2.掌握多边形的外角与相邻内角互为补角，并能进行相关的计算和说理； 3.知道正多边形的概念，能说出常见正多边的生活中的实例。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——有关多边形的数学历史？在数学史上，多边形的研究有着悠久的历史。多边形是由直线段依次首尾相连围成的平面图形，其数学性质和应用在数学领域中具有重要意义。 古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中，对多边形进行了系统的研究，包括多边形的内角和、外角和等性质。这些性质为后来的多边形研究奠定了基础。 在18世纪，数学家们开始研究多边形的尺规作图问题。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规来作图。其中最著名的问题是正n边形的尺规作图问题，即如何用尺规作出一个正n边形。 1796年，18岁的大学生高斯解决了正17边形的尺规作图问题，这一成果震动了整个欧洲数学界。高斯的方法是通过构造单位圆和正弦线来完成的，这一方法后来被称为“高斯构造法”。高斯的这一成果不仅解决了正17边形的作图问题，而且为后来解决其他正多边形的作图问题提供了思路。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：多边形的概念 1．多边形的概念：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形． 2．相关元素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 根据多边形边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形……等； 4. 多边形的表示方法: 先写出多边形的名称，然后按顶点逆时针或顺时针的顺序写出表示它的各顶点的字母。 如上图，它们的命名分别为：. 知识点2：多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 知识点3：正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 名师指点 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据多边形的概念判断 例题1．在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列图形中，是四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 4．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 题型2 多边形的对角线条数问题 例题2. 七边形一共有（    ）条对角线 A．4 B．5 C．14 D．28 【变式训练】 1．已知过一个多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 3．从九边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．连接图形中的两个不相邻顶点的线段称为图形的对角线，例如下图中的线段、、、、等．如图四边形的对角线有2条，五边形对角线有5条，六边形有9条，七边形有14条，那么十边形的对角线条数是（   ） A．70 B．65 C．40 D．35 题型3 多边形对角线分成三角形的个数问题 例题3. 十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 2．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成11个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．从一个边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成个三角形，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 题型4 多边形截角问题 例题4. 如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【变式训练】 1．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 2．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ） A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列图形中，不是多边形的是（　　） A．   B．  C．   D．   2．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正四边形 B．边数最少的正多边形是正方形 C．由正方形的顶点共可确定4条直线 D．正方形有两条对角线 3．下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 5．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 7．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 8．五边形的对角线一共有（   ）条 A．2 B．3 C．4 D．5 9．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2020个三角形，那么这个多边形是（    ） A．2019边形 B．2020边形 C．2021边形 D．2022边形 10．在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（    ） A．这个多边形是一个五边形 B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形 D．以上说法都不正确 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 12．如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是 ． 13．若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 14．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 15．一个六边形有 条对角线． 16．如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形． 按如图的方法，2024边形可以分成 个三角形，n边形可以分成 个三角形． 17．（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 18．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 19．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 20．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 三、解答题（本大题共6小题） 21．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 22．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 23．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 24．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 25．探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第六章 平面图形的初步认识 6.5多边形 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线； 2.掌握多边形的外角与相邻内角互为补角，并能进行相关的计算和说理； 3.知道正多边形的概念，能说出常见正多边的生活中的实例。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——有关多边形的数学历史？在数学史上，多边形的研究有着悠久的历史。多边形是由直线段依次首尾相连围成的平面图形，其数学性质和应用在数学领域中具有重要意义。 古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中，对多边形进行了系统的研究，包括多边形的内角和、外角和等性质。这些性质为后来的多边形研究奠定了基础。 在18世纪，数学家们开始研究多边形的尺规作图问题。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规来作图。其中最著名的问题是正n边形的尺规作图问题，即如何用尺规作出一个正n边形。 1796年，18岁的大学生高斯解决了正17边形的尺规作图问题，这一成果震动了整个欧洲数学界。高斯的方法是通过构造单位圆和正弦线来完成的，这一方法后来被称为“高斯构造法”。高斯的这一成果不仅解决了正17边形的作图问题，而且为后来解决其他正多边形的作图问题提供了思路。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：多边形的概念 1．多边形的概念：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形． 2．相关元素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 根据多边形边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形……等； 4. 多边形的表示方法: 先写出多边形的名称，然后按顶点逆时针或顺时针的顺序写出表示它的各顶点的字母。 如上图，它们的命名分别为：. 知识点2：多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 知识点3：正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 名师指点 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据多边形的概念判断 例题1．在如图所示的图形中，属于多边形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， 是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个， 故选：B． 【变式训练】 1．下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形． 【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形， ∴是多边形，共个， 故选：． 2．下列图形中，是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的判断，根据四边形的定义解答即可．即由四条线段首位顺次相接，就组成了四边形． 【详解】解：图B是四边形，符合题意． 故选：B． 3．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 4．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角和外角，正该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 题型2 多边形的对角线条数问题 例题2. 七边形一共有（    ）条对角线 A．4 B．5 C．14 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，解本题的关键在熟练掌握多边形的对角线条数的计算公式．边形的对角线条数的计算公式：． 根据多边形对角线条数的计算公式，计算即可． 【详解】解：七边形的对角线共有：（条）． 故选：C 【变式训练】 1．已知过一个多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线是解题的关键．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可 【详解】设这个多边形的边数是，由题意得， ， 解得， 即这个多边形为七边形， 故选D． 2．从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可，掌握多边形的对角线是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得：，即这个多边形为九边形， 故选：． 3．从九边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线进行求解即可． 【详解】解：从九边形的一个顶点出发的对角线的条数是； 故选D． 4．连接图形中的两个不相邻顶点的线段称为图形的对角线，例如下图中的线段、、、、等．如图四边形的对角线有2条，五边形对角线有5条，六边形有9条，七边形有14条，那么十边形的对角线条数是（   ） A．70 B．65 C．40 D．35 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数，根据多边形多角线的条数的变化特点的得出规律，即可得出答案． 【详解】四边形的对角线有（条）； 五边形的对角线有（条）； 六边形的对角线有（条）， 可知十边形的对角线有（条）． 故选：D． 题型3 多边形对角线分成三角形的个数问题 例题3. 十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的性质，根据从边形一个顶点出发作对角线，可把边形分成个三角形，正确理解多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由从边形一个顶点出发作对角线，可把边形分成个三角形， ∴十边形的一个顶点的对角线把十边形分成三角形（个）， 故选：． 【变式训练】 1．一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】此题主要考查了多边形的对角线：n边形过一个顶点有条对角线，它们把n边形分割成了个三角形．据此列式计算即可求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则，， 故多边形是八边形． 故选：C． 2．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成11个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形对角线分成三角形个数问题．经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求解即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点的所有对角线，把边形分成了11个三角形， ∴， ∴， 故这个多边形的边数是13． 故选：C． 3．从一个边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成个三角形，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】此题考查多边形对角线，一个顶点与其余各顶点的连线可以将多边形分成个三角形，依此列方程求出值．多边形一个顶点与其余各顶点的连线可以将多边形分成个三角形，得到，即可得的值． 【详解】由题意得：，得． 故选：． 4．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，对角线分三角形个数问题，代数式求值，从k边形的一个顶点出发可引条对角线，可将此多边形分成个三角形，据此求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型4 多边形截角问题 例题4. 如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 【变式训练】 1．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 2．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 3．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 4．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ） A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列图形中，不是多边形的是（　　） A．   B．  C．   D．   【答案】C 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正四边形 B．边数最少的正多边形是正方形 C．由正方形的顶点共可确定4条直线 D．正方形有两条对角线 【答案】D 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查了菱形的定义，正三角形的定义，正方形的性质，理解相关的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：A.四边相等的四边形是菱形，结论错误，故不符合题意； B.边数最少的正多边形是等边三角形，结论错误，故不符合题意； C.由正方形的顶点共可确定条直线，结论错误，故不符合题意； D.正方形有两条对角线，结论正确，故符合题意； 故选：D． 3．下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意， 等边三角形是正多边形，故②符合题意， 长方形不是正多边形，故③错误不符合题意， 正方形是正多边形，故④符合题意， 故选：B． 4．下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形的概念与分类 【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 6．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 7．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 8．五边形的对角线一共有（   ）条 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形的对角线的算法． 利用边形从一个顶点出发可引出条对角线．而每条重复一次，所以边形对角线的总条数为：，且为整数)计算． 【详解】解：五边形的对角线共有， 故选：D． 9．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2020个三角形，那么这个多边形是（    ） A．2019边形 B．2020边形 C．2021边形 D．2022边形 【答案】D 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形问题，经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， ∵从这个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2020个三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是2022边形， 故选：D． 10．在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（    ） A．这个多边形是一个五边形 B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线 C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形 D．以上说法都不正确 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线个数问题及被对角线分割成的三角形数目问题，解题关键是找出其中的规律．根据选项一一对照判断即可． 【详解】解：A、这个多边形是一个六边形，故错误，不符合题意． B、从这个多边形的顶点出发，最多可以画3条对角线，故错误，不符合题意， C、从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，正确，符合题意， D、以上说法C正确． 故选∶C． 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【知识点】多边形的概念与分类、多边形的周长 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 12．如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间线段最短 【知识点】多边形的概念与分类、两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依据的基本事实是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 13．若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 【答案】cm/厘米 【知识点】多边形的周长 【分析】根据正边形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：正边形的边长相等，且边长为2cm， 其周长为cm， 故答案为：cm． 14．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 15．一个六边形有 条对角线． 【答案】/九 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，熟练掌握多边形对角线条数的计算方法是解题的关键． 从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条，那么总共可以做条，于是得解． 【详解】解：从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条， 一个六边形总共可以做条， 故答案为：． 16．如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形． 按如图的方法，2024边形可以分成 个三角形，n边形可以分成 个三角形． 【答案】 2022 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了对边形对角线分成三角形的个数的问题，由图形得出从n边形的一个顶点引出的对角线可以将这个n边形分成个三角形，即可得解． 【详解】解：从题图中可以得出， 从四边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成2个三角形， 从五边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成3个三角形， 从六边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成4个三角形， ……， 从n边形的一个顶点引出的对角线可以将这个n边形分成个三角形， 当时，． 故答案为：2022，． 17．（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 【答案】 / 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】（）多边形内一点，可与多边形顶点连接条线段，构造出个三角形； （）若点取在一边上，则可以与其他顶点连接出条线段，可以分边形为个三角形； 本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形； （）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形． 故答案为：，． 18．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 【答案】6 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 19．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 20．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 三、解答题（本大题共6小题） 21．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 22．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线； 故答案为：； （4）当时，， ∴十边形有35对角线． 故答案为：35． 23．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3)三角形个数的和不可能为2016，理由见解析 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 24．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3；9；； (2) (3)能， 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形对角线的条数问题 【分析】（1）根据从边形的一个顶点出发的对角线有条，对角线的总条数为：进行计算即可得： （2）根据从边形对角线的总条数为：进行计算即可得： （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：如图所示，    从六边形的一个顶点出发的对角线有：（条）， 则从n边形的一个顶点出发的对角线有：条， 六边形对角线的总条数为：（条）， n边形对角线的总条数为：， 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 3 … 9 多边形对角线的总条数 2 5 … 故答案为：3；9；；； （2）解：十边形对角线的总条数为：（条）， 故答案为：； （3）能，理由： 解：设这个多边形的边数为， ， ， 解得：， 则这个多边形的边数为． 25．探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2；(2)3，4；(3)(4)8 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【详解】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$