第05讲 正弦定理(思维导图+知识梳理+10类核心考点+过关测)-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第05讲 正弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理 2．在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用 知识点 1 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 知识点2 解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 考点一：已知两角及任意一边解三角形 例1．（2024高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期末）记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 考点二：三角形解的个数 例2.（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式2-1】（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【变式2-2】（多选）（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为 ． 考点三：已知两边和其中一边的对角解三角形 例3.（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知中，，，，则角的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为 ． 【变式3-3】（23-24高一下·天津河北·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则 . 考点四：判断三角形的形状 例4.（23-24高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【变式4-1】（23-24高一下·重庆·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式4-3】（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则此三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 考点五：利用正（余）弦定理求范围或最值 例5.（2024高三上·河南·专题练习）在中，，，，若为的中点，且，则的最大值为 ． 【变式5-1】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【变式5-2】（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【变式5-3】（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，． (1)若，求的面积； (2)若为钝角三角形，求a的取值范围． 考点六：综合运算正（余）弦定理解三角形 例6.（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 【变式6-1】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024高二下·安徽·学业考试）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·天津·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)设， （i）求的值； （ii）求的值. 【变式6-4】（24-25高三上·甘肃白银·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求. 考点七：求三角形面积 例7.（2024·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏南京·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【变式7-2】（24-25高三上·贵州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，. (1)求； (2)求的值； (3)求的面积. 【变式7-3】（2024·陕西宝鸡·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积． 考点八：根据三角形面积求参数 例8.（24-25高三上·湖北·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 【变式8-1】（24-25高二上·北京平谷·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. (1)求角C的大小； (2)若，求边长c. 【变式8-2】（24-25高三上·四川成都·期中）已知在中，， (1)求； (2)若，则三角形的面积为，求 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若的面积为，，求边上的高． 【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求 (2)若，的面积为，求a的值. 考点九：求三角形周长 例9.（24-25高二上·广西南宁·期中）在中， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【变式9-1】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【变式9-2】（24-25高三上·浙江·期中）如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【变式9-3】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设三角形的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形的周长. 考点10：求三角形周长、面积最值范围 例10.（24-25高二上·贵州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）已知在中，． (1)求； (2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【变式10-3】（23-24高一下·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 7．（2024高三·全国·专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 8．（24-25高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 三、填空题 11．（24-25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）中，，则 . 四、解答题 13．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 14．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 15．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若D是BC边上一点，且，，求的值． 16．（24-25高三上·山东济宁·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的值； (2)若为的中点，且，，求的面积. 17．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知，且. (1)求； (2)若，求的面积. 18．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 正弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理 2．在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用 知识点 1 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 知识点2 解决几何问题的常见公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 考点一：已知两角及任意一边解三角形 例1．（2024高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 【变式1-1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得到值，再根据得到，即可求解． 【详解】，，， 又，且， ，则角的值为． 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期末）记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由正弦定理，得. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据已知条件和正弦定理可得角，从而得到的值． 【详解】在中由正弦定理可知，所以， 解得，因为为的内角， 所以或， 所以或， 故答案为：或． 考点二：三角形解的个数 例2.（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断. 【详解】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 【变式2-1】（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理可得，进而可求，可得结论. 【详解】由正弦定理，得，解得 ， 因为，所以 ， 又因为，所以或， 故此三角形有两解. 故选：C. 【变式2-2】（多选）（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 【变式2-3】（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据三角形有两解，结合图形列出限制条件可得答案. 【详解】依题意得，因为，，所以． 故答案为： 考点三：已知两边和其中一边的对角解三角形 例3.（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求. 【详解】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知中，，，，则角的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由正弦定理，即，解得， 又，则，所以，所以或. 故选：D 【变式3-2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，利用正弦定理，得， 由，得，所以. 故答案为： 【变式3-3】（23-24高一下·天津河北·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由求，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得，又，，， 所以，解得. 故答案为：. 考点四：判断三角形的形状 例4.（23-24高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】sin2x的降幂公式及应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一下·重庆·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、辅助角公式 【分析】利用正弦定理及辅助角公式结合三角形中角的范围计算即可. 【详解】根据正弦定理知 ， 所以， 在三角形中， 所以， 则，即A为直角. 故选：B 【变式4-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D 【变式4-3】（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则此三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【知识点】对数的运算性质的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用对数的运算性质得到，进而得到，再对其进行变形，然后利用正弦定理即可. 【详解】因为， 所以， 因为在定义域内单调递增， 所以 即, 所以， 即， 所以为直角三角形. 故答案为：直角. 考点五：利用正（余）弦定理求范围或最值 例5.（2024高三上·河南·专题练习）在中，，，，若为的中点，且，则的最大值为 ． 【答案】12 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律 【分析】依题意可得，再根据数量积的运算律得到，最后由基本不等式计算可得. 【详解】由题意得， 则，故， 故， 即，当且仅当时取等号，故的最大值为． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 【变式5-2】（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出； （2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值. 【详解】（1）由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故， 故，， 又，故； （2）因为，为的中线， 所以， 又， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故当时，取得最小值，最小值为. 【变式5-3】（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，． (1)若，求的面积； (2)若为钝角三角形，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到和，利用三角形面积公式求出答案； （2）由三角形三边关系求出，利用计算出，从而得到答案. 【详解】（1）由及正弦定理，则． 当时，，，由余弦定理，， 从而，此时的面积． （2）由于，，由三角形三边关系可得，即， 解得． 由于C为的最大内角，故， 即，解得． 由于，则． 考点六：综合运算正（余）弦定理解三角形 例6.（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求角的大小； (2)设为边的中点，若，，求的大小． 【答案】(1) (2)2 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出，进而可得角的大小； （2）用余弦定理结合题目所给条件可求出及，再用向量即可求解. 【详解】（1）, , , , ， . （2）在中, 由余弦定理得, , 又因为， 所以， 联立解得， 因为为边的中点，所以, 所以， 即， 所以. 【变式6-1】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 【变式6-2】（2024高二下·安徽·学业考试）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到. 【详解】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高三上·天津·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)设， （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角的范围可求得答案； （2）（i）运用余弦定理求得；（ii）再运用正弦理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为，所以，， 故； （2）（i）由（1）知：，在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则. （ii）在中，由正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以，则为锐角，所以， 则， ， 所以 【变式6-4】（24-25高三上·甘肃白银·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解； （2）根据余弦定理结合已知求出之间的关系，再利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 又因为，所以； （2），由余弦定理可得，， 又，，， ，即， . 考点七：求三角形面积 例7.（2024·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出的值，进而可求角； （2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可求出. 【详解】（1）因为， 即，解得或. 因为在中，， 所以. （2）在中，由余弦定理， 得， 整理得， 由，解得， 所以的面积为. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏南京·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【详解】（1）因为，边化角可得， ， 即， 又因为， 且， 所以，因为，所以. （2）由余弦定理，， 所以，即，所以， 所以的面积为. 【变式7-2】（24-25高三上·贵州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，. (1)求； (2)求的值； (3)求的面积. 【答案】(1)7； (2)； (3). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题设可得，应用余弦定理求边长； （2）由正弦定理有，，即可求结果； （3）应用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）由，得，因为，所以， 根据余弦定理得. （2）根据正弦定理，得，则，， 故. （3）的面积. 【变式7-3】（2024·陕西宝鸡·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识求得. （2）利用三角形的面积公式、余弦定理列方程，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）由，即， 因为，所以， 所以，得． （2）由为的平分线，得， 因为， 所以， 即，① 由余弦定理得， 即，② 由①②，得， 所以． 考点八：根据三角形面积求参数 例8.（24-25高三上·湖北·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 【答案】(1) (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，进而求得面积的最大值； （2）设，利用余弦定理和为正三角形，求得，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由 因为，可得， 又由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为. （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 由（1）知，且，所以为正三角形， 所以， 可得， 故，因为，所以，可得. 【变式8-1】（24-25高二上·北京平谷·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. (1)求角C的大小； (2)若，求边长c. 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据已知由正弦定理得到，根据的范围可得答案； （2）利用和已知得到的值，然后结合余弦定理得到c的长度． 【详解】（1）根据已知由正弦定理得， 得到， 因为，所以，所以，即． （2）由于，得， 由余弦定理，得， 所以. 【变式8-2】（24-25高三上·四川成都·期中）已知在中，， (1)求； (2)若，则三角形的面积为，求 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解， （2）根据三角形面积公式可得，进而根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）根据可得， 即，故, 由于，故 （2）由得， 又因为由余弦定理知， 故，结合 解得 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若的面积为，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知条件及正弦定理，二倍角公式，辅助角公式再结合特殊角的正弦值化简即可； （2）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得． 又，， 则， ，则． 又，， 则，解得． （2）由的面积为，得， ，则． 由余弦定理，得， ． 又，，解得．，． 设边上的高为，则， ． 【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求 (2)若，的面积为，求a的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理即可得答案; （2）结合（1）及得，进而得，，再根据恒等变换得，进而根据三角形面积得，最后由正弦定理即可得答案. 【详解】（1）由条件及余弦定理得，， 可得， 所以． （2）由得，， 又，所以， 则，． 可得， 由的面积为得， 所以． 由正弦定理得，， 所以，故. 考点九：求三角形周长 例9.（24-25高二上·广西南宁·期中）在中， (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理转化条件可得结果. （2）由面积公式可求，由余弦定理可求，即可得到三角形的周长. 【详解】（1）由题意结合正弦定理可得 ， 即， ∵，∴， ∴，故． （2）由，解得． 由余弦定理可得， ∴， ∴的周长为． 【变式9-1】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式 【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角性质求角的大小； （2）应用面积公式可得，进而有，余弦定理求得，即可得三角形周长. 【详解】（1）由题设，又，则， 所以，则. （2）由题意，可得，又，则， 由余弦定理，有，则， 综上，的周长为. 【变式9-2】（24-25高三上·浙江·期中）如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）运用正弦定理，结合三角恒等变换计算. （2）运用余弦定理和面积公式计算. 【详解】（1）由正弦定理得 ， 又∵∴， 得. （2）∵即, 根据余弦定理可得即, 则，所以，得的周长为. 【变式9-3】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设三角形的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角形内角和的关系以及二倍角的余弦公式，并由辅助角计算可得结果；还可以根据二倍角的正弦公式求出正切值计算； （2）由三角形面积公式代入计算可得，求出周长. 【详解】（1）因为为三角形的内角，所以， 因为，所以可化为， 即，即，又易知， 解得，即. （2）由三角形面积公式得， 代入得：，所以， 故为正三角形，，周长等于 考点10：求三角形周长、面积最值范围 例10.（24-25高二上·贵州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先应用正弦定理再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）由题及正弦定理可知：， ， 又，， ，， ，. （2）由（1）及余弦定理得：，即，① 又因为，则， 所以，② 由得：， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以． 因为为锐角三角形，所以，， 即，，则，即， 则，故的周长的取值范围为． 【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）已知在中，． (1)求； (2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦展开式求解即可； （2）先利用正弦定理表示，再利用内角和及三角函数性质求的取值范围，最后求周长的取值范围即可； 【详解】（1）由，得， 故， 结合已知得 故， 即， 又，所以， 所以，故． （2）记内角的对边分别为， 由正弦定理得， 所以，． 结合， 得 ， 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，故， 即． 又， 所以周长的取值范围是． 【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角可化简已知边角关系式得到，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，将所求面积表示为，根据的范围可求得结果. 【详解】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 【变式10-3】（23-24高一下·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间. （2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. （2）若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径. 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得. 【详解】， 由正弦定理可得， 又在中， ， ， ， 在中，， ，且为的内角， ， 故选：C． 3．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理求外接圆半径、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】只需由正弦定理以及三角恒等变换得的外接圆的半径即可. 【详解】设的外接圆的半径为, 则， 解得，所以的外接圆的面积为. 故选：D. 4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由题意利用三角形内角和定理可求的值，进而利用正弦定理即可求解的值． 【详解】因为，，，所以， 由正弦定理，可得，解得． 故选：B． 5．（2024高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】法一：由题意，根据正弦定理可得，结合余弦定理计算即可求解； 法二：由题意，根据射影定理可得，结合余弦定理计算即可求解； 【详解】方法一： ，由正弦定理可得， ，，． 又，． ． ，则． 方法二： 因为，由射影定理可得， 又，． ． ，则． 故选：A 6．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】运用正弦定理计算即可. 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或， 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 7．（2024高三·全国·专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【点睛】用正弦定理先求出，根据三角形内角关系得到，再用正弦定理求. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 8．（24-25高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理，正弦的二倍角公式以及三角形的内角和即可求得. 【详解】由正弦定理可知，可化为， 又，则，即， 再根据正弦定理可知，， 又，即，则， 又，所以. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得. 【详解】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】对于A，利用函数单调性判断；对于B，由正弦定理判断；对于C，求出判断即可；对于D，由正弦定理得，再利用余弦定理判断. 【详解】对于A，若，因为函数在上为单调函数，所以， 所以为等腰三角形，所以A正确； 对于B，若，可得，由正弦定理， 可得，可得，所以B正确； 对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确； 对于D，若，由正弦定理得， 则，因为，所以， 所以是钝角三角形，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，即，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 所以. 故答案为： 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）中，，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理角化边，再结合勾股定理即可求得答案. 【详解】因为，所以， 设,则, 又，所以该三角形为直角三角形， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)6. 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）应用余弦边角关系及已知可得，即可求，进而确定其大小； （2）由三角形面积公式得，再由及已知求得，即可求周长. 【详解】（1）由题设，整理可得， 所以，，故. （2）由题意，又， 所以，故的周长为. 14．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由三角恒等变换得到，得到； （2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，进而，得到三角形周长. 【详解】（1）由得， ， 即， 故， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； （2），由正弦定理得， 因为，所以， 由（1）知，，由余弦定理得， 解得，故，所以， 所以的周长为. 15．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若D是BC边上一点，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； （2）首先可得，记，设，，利用锐角三角函数及正弦定理得到，，再由余弦定理得到，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 所以，又，所以； （2）因为，记，则， 因为，设，， 在中，，即， 在中，，所以，所以， 所以，即， 在中由余弦定理有，整理得，即， 所以，即. 16．（24-25高三上·山东济宁·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的值； (2)若为的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到； （2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则由，得， ， ， ， ； （2）为的中点， ， 又， ，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积为. 17．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)或12 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角恒等变换计算；（2）运用余弦定理，结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由及正弦定理可得， 又，，， 又，，，. （2）由余弦定理， 可得，解得或. 当时，的面积为； 当时，的面积为. 综上可知，的面积为或12. 18．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得. （2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及倍角公式得 ，得， 即，故. （2）由余弦定理可得， 解得， 当且仅当时取等号， 的面积． 故面积的最大值为． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$