第04讲 余弦定理(思维导图+知识梳理+4类核心考点+过关测)-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第04讲 余弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理 2．在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用 知识点 1 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 知识点2 解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 考点一：已知三边解三角形 例1．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 考点二：已知两边及一角解三角形 例2.（2024·河南·二模）分别是的内角的对边，若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【变式2-1】（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 考点三：判断三角形形状 例3.（24-25高二上·吉林·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式3-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-2】（23-24高一下·北京·期末）在中， 则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式3-3】（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 考点四：求三角形中周长（边长） 例4.（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. (1)求函数的解析式； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值. 【变式4-1】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，求的周长. 【变式4-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 一、单选题 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 2．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京·期中）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·吉林·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 7．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·贵州毕节·期中）在中，，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 三、填空题 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 12．（24-25高三上·北京·期中）在中，．则的值是 ；的最大值是 ． 四、解答题 13．（24-25高三上·陕西渭南·期中）记的三个内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 14．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，求三角形的另一边的长； （2）在中，已知，，，解这个三角形． 16．（23-24高一下·江苏南通·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，求． 17．（23-24高二下·云南大理·阶段练习） 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若. (1)求角的大小； (2)若，求，，. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 余弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理 2．在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用 知识点 1 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 知识点2 解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 考点一：已知三边解三角形 例1．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】在中，已知，，，由余弦定理，得. 故选：A． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 【变式1-2】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 【变式1-3】（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理可得，可求. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故选：D. 考点二：已知两边及一角解三角形 例2.（2024·河南·二模）分别是的内角的对边，若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解． 【详解】由以及余弦定理，得，解得（负值舍去）． 故选：B． 【变式2-1】（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可. 【详解】由余弦定理可得， ， 故选:B. 【变式2-3】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】， ， 故答案为： 考点三：判断三角形形状 例3.（24-25高二上·吉林·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形. 【详解】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 【变式3-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】设边长为8的边对应的角为，利用余弦定理可判断. 【详解】设边长为8的边对应的角为， 由余弦定理可得， 所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形， 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·北京·期末）在中， 则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据给定条件，求出，再利用余弦定理推理判断即得. 【详解】在中，，则， 由余弦定理得，即，而， 于是，即， 所以是等边三角形. 故选：C 【变式3-3】（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知在中，，则判断的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以， 可得，所以是直角三角形. 故选：C. 考点四：求三角形中周长（边长） 例4.（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. (1)求函数的解析式； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)12 【知识点】辅助角公式、基本（均值）不等式的应用、求图象变化前（后）的解析式、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用平面向量数量积的计算公式，结合辅助角公式，求出的解析式，再根据图象的平移，可求的解析式. （2）由和为锐角三角形，求出角，再利用余弦定理结合基本（均值）不等式，可求周长的最大值. 【详解】（1）因为. 所以. （2）由， 所以或，所以或， 又因为为锐角三角形，所以. 由余弦定理：. 又，所以（当且仅当时取“”）， 此时，的周长取得最大值，为. 【变式4-1】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 【变式4-2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，求的周长. 【答案】(1); (2). 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由平面向量的数量积运算可得，根据余弦定理求出，从而可求，继而可得的周长. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即， 所以. （2）因为，所以， 所以. 因为，， 由余弦定理可得， 所以, 所以， 所以， 所以的周长为. 【变式4-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题干条件将函数解析式通过二倍角公式和辅助角公式化简，再代入求得的值； （2）由（1）中求得的和条件利用余弦定理建立关系式即可求得的值. 【详解】（1）由题意得，因为， 所以由，得. 又因为，所以， 所以，. （2）由（1）得，.所以由余弦定理可得，， 又因为，所以， 所以，即， 即，故. 把代入，可得， 所以. 一、单选题 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C 2．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理可求的值. 【详解】由余弦定理可得，故 故选：C. 3．（23-24高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 5．（23-24高一下·北京·期中）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】直接由余弦定理即可求解. 【详解】由题意，而，所以. 故选：C. 6．（23-24高一下·吉林·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可求出. 【详解】根据余弦定理得， 即，解得（舍去）或2， 故选：A. 7．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】记，利用余弦定理表示出，然后根据题中结论可得. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理得， 由题知，，即， 所以，当且仅当四点共圆时取等号， 所以的最大值为. 故选：D    8．（24-25高三上·贵州毕节·期中）在中，，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件判断出，根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意，， ，所以, , 所以 . 故选：C 二、多选题 9．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理以及方程有两个正根，，从而列出关于的不等式即可求解. 【详解】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC. 10．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 三、填空题 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 12．（24-25高三上·北京·期中）在中，．则的值是 ；的最大值是 ． 【答案】 / 【知识点】辅助角公式、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用余弦定理求得，从而求得；利用三角恒等变换的知识求得的最大值. 【详解】由，得， 所以为锐角，且. ， ，，所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：； 四、解答题 13．（24-25高三上·陕西渭南·期中）记的三个内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求； （2）结合（1）与余弦定理可求得，进而计算可得，可得结论. 【详解】（1）由，可得，解得， 因为，所以. （2）由（1）可知，， 又， 在中，由余弦定理可得， 解得，所以，由勾股定理的逆定理可得， 所以为直角三角形. 14．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，由及余弦定理 得，化简得， 由余弦定理得，而， 所以. 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，求三角形的另一边的长； （2）在中，已知，，，解这个三角形． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理即可求解， （2）根据余弦定理可得或，即可根据等腰或者直角三角形的性质求解. 【详解】（1）设，，， 由余弦定理得，， 解得， 所以三角形的另一边长是． （2）由余弦定理， 得， 即， 解得或． 当时，，； 当时，，所以该三角形为直角三角形， 且，． 16．（23-24高一下·江苏南通·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知三角函数值求角、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理得到，得到； （2）设，代入，求出，再由余弦定理得到，进而得到正弦和正切. 【详解】（1）， 故， 因为，所以； （2）设，代入中， ，故，解得， 由余弦定理得， 则， 故. 17．（23-24高二下·云南大理·阶段练习） 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若. (1)求角的大小； (2)若，求，，. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理求出，再结合求出，，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以， 又，所以. （2）在中，由余弦定理有， 又， 即， 所以，联立，即， 所以，则， 所以. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$