（期末考点巩固排查卷）第8单元 数学广角——数与形-2024-2025学年数学六年级上册人教版

2024-2025学年人教版数学六年级上册期末考点巩固排查卷 第8单元 数学广角——数与形 考试时间：90分钟 试题满分：100分 一、选择题（共20分） 1．（2分）珊珊用石子摆出了下图中的图案，根据规律判断第6个图案中石子总数为（    ）个。 A．16 B．20 C．24 2．（2分）如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（    ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 3．（2分）观察下面用火柴棒摆的正方形，摆20个这样的正方形需要火柴棒（    ）根。 A．60 B．61 C．80 D．90 4．（2分）如图，一张桌子可以坐6人，像这样拼接，n张同样的桌子拼好后可以坐（    ）人。 A．6n B．6n＋2 C．6n－2 D．4n＋2 5．（2分）同学们玩“建宝塔”的数学游戏。如第一幅图是丹丹建的宝塔，第二幅图是朱朱按照同样的规律建的宝塔。朱朱建的宝塔的顶层上的数是（    ）。 A．36 B．54 C．72 D．90 6．（2分）如图那样，从最上面第一层编号“1”开始往下有规律地编号，那么从第一层到第十层一共有（    ）个正方形。 A．55 B．10 C．110 D．6 7．（2分）按照下列图形的排列规律，从左数第8个图形中有（    ）个。 A．15 B．64 C．204 8．（2分）将小圆点如图摆放，第6幅图有（    ）个小圆点。 A．30 B．42 C．36 D．48 9．（2分）下面四个问题中，可以用2a＋1表示结果的是（    ）。 ① ②长方形的周长是多少厘米？ ③照下面这样摆，摆a个三角形需要多少根小棒？ ④田径队有多少人？ A．①② B．②④ C．①③④ D．①②③④ 10．（2分）观察下列的图形，照这样摆下去，第n个图形中有（    ）个白色方块。 …… A．n＋4 B．3n C．3n＋2 D．6n－1 二、填空题（共40分） 11．（4分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”。请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第6幅图的点数为( )，第n幅图的点数为( )。 12．（4分）观察下面的点阵图，照这样画下去，第（8）个点阵图中有( )个圆点，第( )个点阵图中有90个圆点。 13．（4分）观察下面图形的构成情况，按照此规律，第100个图形中小圆个数有( )个。 …… 14．（4分）用小棒按照如下方式摆图形。 摆n个正八边形需用( )根小棒，用85根小棒可以摆( )个正八边形。 15．（4分）“数形结合”是我们学习数学的重要方法之一。请你结合图形回答。 ＝1－( )＝( ) ＝1－( )＝( ) ＝1－( )＝( ) 那么＝( )。 16．（4分）按照一定的规律画正方形，如下图。当画出2个正方形时，可以得到4个直角三角形；当画出3个正方形时，可以得到8个直角三角形…… 观察上面图形中的规律，完成下表。 正方形个数 1 2 3 4 5 … n 直角三角形个数 0 4 8 … 17．（4分）如图，依次摆下去，第7个图形要( )根小棒；摆第n个图形需要( )根。 18．（4分）下图中第6个正方形有( )个点，第个正方形的点子数表示为( )个。 19．（4分）数形结合是一种重要的数学思想方法，看图把算式1＋3＋5＝( )2填写完整。 20．（4分）用完全一样的火柴棍拼图形（如下图）。 按照这样的方法拼成第4个图形需要火柴棍( )根，拼成第n个图形需要火柴棍( )根。 三、判断题（共10分） 21．（2分）◯△◎□◯△◎□……，第103个图形是□。( ) 22．（2分）找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 23．（2分）照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 24．（2分）1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( ) 25．（2分）有一组数：1、2、5、10、17、26…根据这组数的排列规律，第8个数应是50。( ) 四、解答题（共30分） 26．（6分）观察思考并计算。 (1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。         ( )    ( ) (2)根据上面的规律用简便方法计算。 ( )×( )＝( )。 27．（6分）笑笑借助图（图1）计算2.8×1.7，你能看明白吗？请在图中填一填。 由上题的思路，图2研究的是（    ）×（    ）。 结合下边的图（图3），请你写出下面算式的结果。 （a＋b）×（a＋b）＝ 28．（6分）星期天，明明骑自行车到距离6km的爷爷家看爷爷。请根据下面的折线统计图回答下列问题。 （1）明明在去爷爷家的路上中途休息了（    ）时，在爷爷家停留了（    ）时。 （2）明明骑车从爷爷家返回时的速度是每小时多少千米？ 29．（6分）材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 30．（6分）（1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。     （2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。 （3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于（    ）。 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D C A B B C C 1．C 【分析】第1个图案需要石子4个，第2个图案需要石子8个，第3个图案需要石子12个，第4个图案需要石子16个，由此可知，下一个图案比上一个图案多4个石子； 第1个图案需要石子4个，可以写成：4×1； 第2个图案需要石子8个，可以写成：4×2； 第3个图案需要石子12个，可以写成：4×3； 第4个图案需要石子16个，可以写成：4×4； …… 由此可知，第n个图案需要石子4n个，当n＝6时，求出石子的数量，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案需要石子4n个。 当n＝6时： 4×6＝24（个） 珊珊用石子摆出了下图中的图案，根据规律判断第6个图案中石子总数为24个。 故答案为：C 2．A 【分析】看图可知，搭1个房子需要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2个房子需要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3个房子需要13根小棒，13＝3×4＋1，由此可知，小棒根数＝搭几个房子就用几×4＋1。 【详解】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 搭10间房子用41根小棒。 故答案为：A 3．B 【分析】根据图示发现：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个正方形需要（4＋3＋3）根小棒；……摆n个正方形需要小棒：4＋3（n－1）＝（3n＋1）根。据此解答。 【详解】根据分析可知，摆n个正方形需要小棒： 4＋3×（n－1） ＝4＋3n－3 ＝（3n＋1）根 当n＝20时， 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（根） 摆20个这样的正方形需要火柴棒61根。 故答案为：B 4．D 【分析】由题可知，不管几张桌子拼在一起，左右始终都是坐2人，而每张桌子的前后共坐4人，有n张桌子，就坐了n个4人，即4n人，将桌子前后和左右的人数相加，所以n张同样的桌子拼好后，共可以坐（4n＋2）人。 【详解】n张同样的桌子拼好后，共可以坐（4n＋2）人。 故答案为：D 5．C 【分析】通过观察第一幅图，可以得到规律如下： 第一排中，从左往右起，第一个数与第二个数的积等于第二排中的第一个数；第二个数与第三个数的积等于第二排中的第二个数；第三个数与第四个数的积等于第二排中的第三个数； 第二排中，从左往右起，第一个数与第二个数的积等于第三排中的第一个数；第二个数与第三个数的积等于第三排中的第二个数； 第三排中，从左往右起，第一个数与第二个数的积等于第四排中的数； 依此计算即可。 【详解】2×6＝12 6×12＝72 因此李军建的宝塔顶层的数是72。 故答案为：C 6．A 【分析】根据题图可知，每增加一层就增加一个正方形，所以第一层到第十层共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个小正方形，据此解答即可。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11＋11＋11＋11＋11 ＝11×5 ＝55（个） 如图那样，从最上面第一层编号“1”开始往下有规律地编号，那么从第一层到第十层一共有55个正方形。 故答案为：A 7．B 【分析】第1个图形有1个小正方形，第2个图形有1个小正方形，第3个图形有个小正方形，……，第n个图形有n2个小正方形。 【详解】根据分析可知，第8个图形中有个小正方形。 故答案为：B 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。 8．B 【分析】观察图可发现，第1幅图有个小圆点，第2幅图有个小圆点，第3幅图有个小圆点，第4幅图有个小圆点，……，第n幅图有个小圆点，据此解答即可。 【详解】根据分析可得，第6幅图有个小圆点。 故答案为：B 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。 9．C 【分析】根据用字母表示数的含义：字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，用字母将数量关系表示出来；分别对4个问题的图示进行分析，据此判断。 【详解】问题①：每个本子的价格是a元，每支笔的价格是1元，求2个本子和1支笔一共多少元？可以用（2a＋1）表示，符合题意； 问题②：长方形的长是（a＋a）厘米，长方形的宽是1厘米；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数值代入得（a＋a＋1）×2，化简得（4a＋2），不可以用（2a＋1）表示，不符合题意； 问题③：摆第1个三角形需要3根小棒；摆第2个三角形需要（3＋2）根小棒，也就是（3＋2×1）；摆第3个三角形需要（3＋2＋2）根小棒，也就是（3＋2×2）；……摆a个三角形需要“3＋2（a－1）”根小棒，化简得（2a＋1），可以用（2a＋1）表示，符合题意； 问题④：篮球队a人，田径队的人数是篮球队的2倍多1人，则田径队有（2a＋1）人，可以用（2a＋1）表示，符合题意。 因此可以用（2a＋1）表示结果的是①③④。 故答案为：C 10．C 【分析】第一个图形有5个白色方块，第二个图形由8个白色方块，第三个图形由11个白色方块； 5、8、11、……后面每个图形依次增加3个白色方块。 【详解】5＝3×1＋2 8＝3×2＋2 11＝3×3＋2 …… 第n个图形是（3n＋2）个。 照这样摆下去，第n个图形中有（3n＋2）个白色方块。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是根据图形的序数与白色方块的个数找出规律，然后再根据规律解答。 11． 21 4n－3 【分析】根据题意，第1幅图的点数为1＋4×0，第2幅图的点数为1＋4×1，第3幅图的点数为1＋4×2；第4幅图的点数为1＋4×3，那么第n幅图的点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3；将n＝6，代入计算出第6幅图的点数即可；据此解答。 【详解】根据分析，第n幅图的点数应为： 1＋4（n－1）＝4n－3 把n＝6代入4n－3，得： 4×6－3 ＝24－3 ＝21 所以第6幅图的点数为21，第n幅图的点数为（4n－3）。 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够根据增加数量找出规律再解答。 12． 27 29 【分析】根据题意得：第（1）个点阵图中有6个圆点，第（2）个点阵图有9个圆点，第（3）个点阵图有12个圆点。则可得出规律：后一个点阵图圆点数量比前一个点阵图圆点数量多3个，即第（1）个圆点数量为：，第（2）个圆点数量为：，第（3）个圆点数量为：，依次类推得出规律，据此可得出答案。 【详解】根据题意得，点阵图圆点变化规律为：后一个点阵图圆点数量比前一个点阵图圆点数量多3个，即第（1）个圆点数量为：3×1＋3＝6，第（2）个圆点数量为：3×2＋3＝9，第（3）个圆点数量为：3×3＋3＝12。则第n个点阵图的圆点数量为：（3n＋3）个。 第（8）个点阵图中有圆点： （个） （个），即第（29）个点阵图中有90个圆点。 13．301 【分析】根据题意可知，每增加一个平行四边形，就增加3个小圆； 1个平行四边形有4个小圆，可以写成：3×1＋1； 2个平行四边形有7个小圆，可以写成：3×2＋1； 3个平行四边形有10个小圆，可以写成：3×3＋1； …… n个平行四边形有（3n＋1）个小圆，当n＝100时，求出小圆的个数，据此解答。 【详解】根据分析可知，n个平行四边形有（3n＋1）个小圆。 当n＝100时： 3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（个） 观察下面图形的构成情况，按照此规律，第100个图形中小圆个数有301个。 14． 7n＋1 12 【分析】观察图形可知，每增加一个正八边形，就增加7根小棒； 摆1个正八边形需要小棒8根，可以写成：7×1＋1； 摆2个正八形需要小棒15根，可以写成：7×2＋1； 摆3个正八边形需要小棒22根，可以写成：7×3＋1； …… 摆n个正八边形需要小棒：（7n＋1）根； 要想求出用85根小棒可以摆多少个正八边形，即7×n＋1＝85，求出n的值，进而解答。 【详解】根据分析可知，摆n个正八边形需要小棒：（7n＋1）根。 （85－1）÷7 ＝84÷7 ＝12（个） 摆n个正八边形需用（7n＋1）根小棒，用85根小棒可以摆12个正八边形。 15． 1－/ 【分析】 表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分和空白部分各占1份，都表示，所以深蓝色的部分与浅蓝色的部分和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几； 表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分表示，把它平均分成8份，蓝绿色的部分和空白部分各占1份，都表示，所以深蓝色的部分、浅蓝色的部分、蓝绿色部分的和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几； 表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分表示，把它平均分成8份，蓝绿色部分表示，把它平均分成16份，红色部分和空白部分各占1份，它们都表示，所以深蓝色的部分、浅蓝色的部分、蓝绿色部分、红色部分的和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几； 由此得出：把这个大正方形平均分成2份、4份、8份……n份，份数分之一的和就等于“1”减去。 【详解】 ＝1－＝ 16．12；16；4n－4或4（n－1） 【分析】由图可知，第1个图形有1个正方形，0个直角三角形；第2个图形有2个正方形，（4×1）个直角三角形；第3个图形有3个正方形，（4×2）个直角三角形；第4个图形有4个正方形，（4×3）个直角三角形……以此类推，每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4×（n－1）个直角三角形，据此解答。 【详解】分析可知，n个正方形可以得到直角三角形的个数为： 4×（n－1） ＝（4n－4）个 当n＝4时， 4n－4 ＝4×4－4 ＝16－4 ＝12（个） 当n＝5时， 4n－4 ＝4×5－4 ＝20－4 ＝16（个） 填表如下： 正方形个数 1 2 3 4 5 … n 直角三角形个数 0 4 8 12 16 … 4n－4 【点睛】找出正方形个数和直角三角形个数的变化规律是解答题目的关键。 17． 22 3n＋1 【分析】观察图形发现每多摆一个图形就要比前一个图形多用3根小棒，摆第1个图形用了4根小棒，即3×1＋1；摆第2个图形用了7根小棒，即（3×2＋1）根；摆第3个图形用了10根小棒，即（3×3＋1）根；由此可推出摆第n个图形用了3×n＋1＝（3n＋1）根小棒。继而求出摆第7个图形需要多少根小棒。 【详解】根据分析可得，摆第7个图形用的小棒数量： 3×7＋1 ＝21＋1 ＝22（根） 摆第n个图形用了（3n＋1）根小棒。 所以摆第7个图形用了22根小棒，摆第n个图形用了（3n＋1）根小棒。 18． 24 4n 【分析】观察图形可知：第1个正方形的点子数为4个，4＝4×1；第2个正方形比第1个正方形多了4个点，点子数为8个，8＝4×2；第3个正方形比第2个正方形又多了4个点，点子数为12个，12＝4×3.由此可知，点子数＝4×正方形的序数。据此解答。 【详解】通过分析可得： 4×6＝24（个） 第6个正方形有24个点； 第个正方形的点子数表示为4n个。 19．3 【分析】根据图可知，1表示浅色的小正方形数量，3表示深色的小正方形的数量，5表示白色小正方形的数量，则1＋3＋5表示的是图中所有小正方形的和，由于一行有3个小正方形，由3行，总共的个数是3×3，可以写成32，据此即可填空。 【详解】由分析可知： 1＋3＋5＝32 20． 34 8n＋2 【分析】看图，火柴人的手是相接的部位，每多摆1个火柴人，需要加8根火柴。第1个图用了（8×1＋2）根火柴，第2个图用了（8×2＋2）根火柴，第3个图用了（8×3＋2）根火柴，那么第4个图需要（8×4＋2）根火柴，第n个图需要（8n＋2）根火柴。 【详解】8×4＋2 ＝32＋2 ＝34（根） 所以，按照这样的方法拼成第4个图形需要火柴棍34根，拼成第n个图形需要火柴棍（8n＋2）根。 21．× 【分析】观察图形可知，◯△◎□每4个图形循环一次，即一个周期，确定周期后，用103除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个，据此判断即可。 【详解】103÷4＝25（组）⋯⋯3（个） 则第103个图形是◎。原题干说法错误。 故答案为：× 22．√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【详解】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 23．√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【详解】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 24．√ 【分析】1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…据此可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以1＋3＋5…＋13＋15＝82，1＋3＋5…＋13＝72，据此解答。 【详解】1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1 ＝（1＋3＋5…＋13＋15）＋（13＋11…＋3＋1） ＝82＋72 ＝64＋49 ＝113 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 25．√ 【分析】这组数据每相邻的两个数之间的差分别是1、3、5、7、9、11、13……，根据这个规律可以知道第七个数字和第八个数字分别是多少。 【详解】第七个数字： 第八个数字： 故答案为：√ 26．(1) 4 5 (2) 10 11 110 【分析】（1）通过观察图形中小正方形的排列规律，发现了连续偶数相加的求和规律。 4 5 发现了连续偶数相加的求和规律：从2开始的连续n个偶数相加，其和为n×（n＋1） （2）在中，一共有10个偶数相加，然后运用发现的这个规律来计算即可。 【详解】（1）4，5 （2） ＝10×（10＋1） ＝10×11 ＝110 27．见详解 【分析】从图1看出两个数相乘可以借助长方形面积的计算方法，把每个乘数拆成两个数的和相当于把长方形的长和宽分别拆成两段，然后把长方形分割成四个小长方形，分别求出每个长方形面积＝长×宽，再相加即可。 【详解】 1＋0.25＝1.25；1＋0.2＝1.2 （1＋0.25）×（1＋0.2）＝1×1＋1×0.2＋0.25×1＋0.25×0.2＝1＋0.2＋0.25＋0.05＝1.5 由上题的思路，图2研究的是1.25×1.2 （a＋b）×（a＋b） ＝a×a＋a×b＋ a×b＋b×b ＝a2＋2ab＋b2 28．（1）， （2）12千米/小时 【分析】（1）根据图示，横轴的时间1小时为1大格，，大格又分成了6小格，每小格为10分钟，依据横轴的时间标示，可以看出，明明从下午 1 时出发后，在 1 时 20 分走了 3 千米，然后到 1 时 40 分这段时间路程没有变化，用到的时间减出发的时间，将分钟换算成小时即可；明明从下午2：00到达爷爷家，在下午2：30离开，在爷爷家的停留时间＝到的时间－出发的时间，将分钟换算成小时即可。 （2）明明 2 时 30 分离开爷爷家，3 时到家，这中间经过了 30 分钟，也就是＝时，而总路程是 6 千米，根据速度＝路程÷时间，可得返回时的速度为 6÷ 千米/时，据此解答。 【详解】（1）1 时 40 分－ 1 时 20 分＝20分＝时，中途休息了时。 2时30分－2时＝30分＝时，在爷爷家停留了时。 （2）3时－2时30分＝30分＝时；6÷＝6×2＝12（千米/小时） 答：明明骑车从爷爷家返回时的速度是12千米/小时。 29．（1）相等；过程见详解 （2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解 【分析】 （1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。 （2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。 【详解】 （1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。 （2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。 第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个） 第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个） 第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个） 第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个） 第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个） 第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个） 第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个） …… 第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 30．（1）见详解 （2）见详解； （3）1 【分析】（1）正方形表示“1”，先把正方形平均分成2份，一份是，剩下的也是；然后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；再把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；最后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是，据此在图中用阴影表示。 （2）计算，通过画图发现最后剩下的是，与算式中最后一个分数相同，那么用整个正方形“1”减去，即是阴影部分，也就是的和，这样计算更简便。 （3）如果在图中继续如上的操作，把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是…，会发现…的和越来越接近于整个正方形，即1。 【详解】（1）如图： （2）用1减去图形没有涂色部分的分数（与算式中最后一个分数相同），计算更简便。 计算过程如下： （3）如图： 如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于1。 【点睛】通过画图，发现这组算式的规律，利用规律解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$