（期末考点必刷）第8单元 数学广角——数与形-2024-2025学年数学六年级上册人教版

第8单元 数学广角——数与形 【必刷点1】数与形 1 【必刷点1】数与形 1．数与形的结合： 数的规律可以通过图形来展示和发现。 图形问题可以通过数的规律来解决。 2．连续奇数和偶数的规律： 从1开始的连续奇数的和等于这些奇数个数的平方。 从2开始的连续偶数的和等于这些偶数个数的平方加上这些偶数个数（或这些偶数个数乘以比它大1的数）。 3．图形的变换与规律： 图形的平移、旋转、对称等变换规律。 通过图形的变换来发现数的规律。 4．数形结合解决复杂问题： 利用图形直观表示复杂的算式或问题。 通过图形简化问题，使其更易于理解和解决。 一、选择题 1．用小棒摆三角形△，摆10个三角形共需要（    ）根小棒。 A．20 B．21 C．30 2．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒……，第10个图形有（    ）根小棒。 A．45 B．51 C．60 二、填空题 3．按1，，，，……中的规律，第5个数应该是( )，这一列数越来越接近( )。 4． 看图填表。 正方形个数 1 2 3 4 …… n …… 小棒的根数 4 7 （    ） （    ） …… （    ） … 5．根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( )枚棋子。 6．用同样边长的正方形和等边三角形按如图的方式拼图，照这样接着拼下去，第10个图形中有( )个正方形，第n个图形中有( )个等边三角形。 7．按规律填数：，，，( )，( )，。 8．用边长为1cm的小三角形按下图的方式摆图形，摆5个图形需要( )个小三角形，第9个图形的周长是( )cm。 9．观察下面图形，找出规律。 …… 依照此规律，第10个图形中共有( )个★，第( )个图形里有97个★。 10．在图中，物体从点A出发，按照从A→B（第1步）→C（第2步）→D（第3步）→A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，则第405步到达点( )处。 11．如下边图形，想一想，第十层有( )个。 12． 根据如图的排列规律，摆第6个图形需要用( )根同样长的小棒。继续摆下去，第100个图形用( )根同样长的小棒。 13．按规律填数：1，3，5，7，( )，11，( )…。 14．如下图，如果一个小正三角形的边长为1cm，第5个图形周长是( )cm，按此规律拼下去，第52个图形的周长是( )cm。 15．如下图所示，按这样的规律摆下去，第5个图中有( )个涂成阴影的小正方形，第n个图中有( )个涂成阴影的小正方形。（用含有n的式子表示） 16．按下图的规律摆下去。 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 17．用小棒按下图所示的方法拼成若干个图案，照这样拼下去，第4个图案中有( )根小棒，第( )个图案中有42根小棒，第n个图案中有( )根小棒。 18．如图所示，用同样的小棒摆正方形，摆10个同样的正方形，需要小棒( )根。现在有79根小棒可以摆( )个这样的正方形。 三、解答题 19．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助如图，计算。 20．探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 参考答案： 1．B 【分析】每个三角形有3条边，需要3根小棒，摆1个三角形需要3根小棒，后边每多1个三角形只需要2根小棒就可以了，摆10个三角形需要再多（10－1）×2根小棒，最后相加即可求解。 【详解】（10－1）×2 ＝9×2 ＝18（根） 18＋3＝21（根） 摆10个三角形需要21根小棒。 故答案为：B 2．B 【分析】观察图形可知，如果以最左边的1根小棒为基础，第1个图形有6根小棒，6＝1＋5；第2个图形有11根小棒，11＝1＋5×2；第3个图形有16根小棒，16＝1＋5×3。由此可知：小棒的根数＝1＋5×图形的序数，据此求出第10个图形有多少根小棒。 【详解】通过分析可得：小棒的根数＝1＋5×图形的序数 1＋5×10 ＝1＋50 ＝51（根） 则第10个图形有51根小棒。 故答案为：B 3． 0 【分析】把1看作，即这列数的规律是：分子是1、分母依次乘3；这一列分数的分子不变，分母越来越大，即分数值越来越小，越来越接近0；据此解答即可。 【详解】由分析可知： 27×3＝81 这列数为：1，，，，，…… 所以第5个数应该是；这一列数越来越接近0。 4．10；13；3n＋1 【分析】根据图观察：第1图是4个，第2图加了3个，第3图又比第2图多了3个，每多画一个正方形就多加3个，则第n个图3n＋1。 【详解】第1图：3＋1＝4 第2图：3×2＋1＝7（个） 第3图：3×3＋1＝10（个） 第4图：3×4＋1＝13（个） 依此类推：则第n个图（3n＋1）个小棒。 正方形个数 1 2 3 4 …… n …… 小棒的根数 4 7 （10 ） （13 ） …… （3n＋1） … 5． 17 3n＋2 【分析】观察发现： 第一个有5枚棋子。 第二个图案在原来的图案上增加了3个棋子，即5＋3＝8（枚） 第三个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×2＝11（枚） 第四个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×3＝14（枚） 第五个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×4＝17（枚） …… 第n个图案在原来的图案上的棋子数就是在5个的棋子的基础上增加（n－1）组3个的棋子。最后将带有字母的式子化简得出最后的式子。 【详解】5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（枚） 5＋3（n－1） ＝5＋3n－3 ＝3n＋2 摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。 6． 10 4n－2 【分析】（1）第1、2、3个图形中，正方形的个数分别是1、2、3，发现第几个图形就有几个正方形； （2）第1、2、3个图形中，等边三角形的个数分别是2、6、10，发现每增加一个图形，等边三角形增加4个，据此得出规律，并按此规律解答。 【详解】（1）第1个图形中有1个正方形； 第2个图形中有2个正方形； 第3个图形中有3个正方形； …… 第10个图形中有10个正方形； （2）第1个图形中有2个等边三角形，2＝1×4－2； 第2个图形中有6个等边三角形，6＝2×4－2； 第3个图形中有10个等边三角形，10＝3×4－2； …… 第n个图形中有（4n－2）个等边三角形。 7． 【分析】观察可知，前一个数×＝后一个数，据此进行计算。 【详解】＝、× 按规律填数：，，，，，。 8． 25 27 【分析】观察图形可知，摆1个图形需要1个小三角形，1＝12；摆2个图形需要4个小三角形，4＝22；摆3个图形需要9个小三角形，9＝32。由此可知，小三角形的个数＝图形序数的平方。据此求出摆5个图形的小三角形的个数。 第1个图形的边长是1cm，周长是1×3＝3（cm）；第2个图形的边长是2cm，周长是2×3＝6（cm）；第3个图形的边长是3cm，周长是3×3＝9（cm）。由此可知，图形的周长＝图形的序数×3。据此求出第9个图形的周长。 【详解】通过分析可得：小三角形的个数＝图形序数的平方，52＝25（个），则摆5个图形需要25个小三角形； 图形的周长＝图形的序数×3，9×3＝27（cm），则第9个图形的周长是27cm。 9． 31 32 【分析】观察图形可知： 第1个图形有4个★，4＝3×1＋1； 第2个图形有7个★，7＝3×2＋1； 第3个图形有10个★，10＝3×3＋1； 第4个图形有13个★，13＝3×4＋1； …… 规律：第n个图形有（3n＋1）个★，按此规律解答。 【详解】规律：第n个图形有（3n＋1）个★。 当n＝10时 3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 3n＋1＝97 解：3n＝97－1 3n＝96 n＝96÷3 n＝32 依照此规律，第10个图形中共有31个★，第32个图形里有97个★。 10．E 【分析】先求出由A点开始按照A→B（第1步）→C（第2）→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动走一圈所走的步数，循环一次的步数是8，再用405除以8，求出商和余数，根据余数判断即可。 【详解】从A→B（第1步）→C（第2步）→D（第3步）→A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，循环一次的步数是8； 405÷8＝50……5 所以第405步到达点E处。 11．19 【分析】根据题意得：第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，第5层有9个，依次类推，下面那一层比上面一层多2个，据此可得出答案。 【详解】根据题意得：图形中下面一层比上面一层多两个，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，第5层有9个，可得到规律：第几层个数＝5×层数-1，则第十层有： 10×2－1 ＝20－1 ＝19（个） 12． 13 201 【分析】根据图意，第1个图形需要3根小棒；第2个图形需要3＋2＝5（根）小棒；第3个图形需要3＋2＋2＝7（根）小棒；第4个图形需要3＋2＋2＋2＝9（根）小棒……由此可见，每增加1个三角形就增加2根小棒，小棒的总根数可以用3加若干个2，2的个数比图形个数少1；由此可以计算6个图形的小棒根数是3＋（6－1）×2；100个图形的小棒根数是3＋（100－1）×2，最后根据四则运算顺序进行计算。据此解答。 【详解】根据分析可知： 3＋（6－1）×2 ＝3＋5×2 ＝3＋10 ＝13（根） 3＋（100－1）×2 ＝3＋99×2 ＝3＋198 ＝201（根） 所以，摆第6个图形需要用13根同样长的小棒。继续摆下去，第100个图形用201同样长的小棒。 13． 9 13 【分析】这组数的规律：3－1＝2，5－3＝2，7－5＝2，发现后一个数比前一个数大2，据此解答。 【详解】7＋2＝9 11＋2＝13 按规律填数：1，3，5，7，9，11，13。 14． 7 54 【分析】封闭图形一周的长度是周长。看图可知，第1个图形的周长是3cm，3＝1＋2；第2个图形的周长是4cm，4＝2＋2，第3个图形的周长是5cm，5＝3＋2……，由此可知，第几个图形的周长＝第几个图形就用几＋2，据此分析。 【详解】5＋2＝7（cm） 52＋2＝54（cm） 第5个图形周长是7cm，第52个图形的周长是54cm。 15． 9 2n－1 【分析】观察图形可知，第1个图、第2个图、第3个图中分别有涂成阴影的小正方形的个数是：1个、3个、5个，发现：每增加一个图，涂成阴影的小正方形的个数就增加2个，据此找到规律，并解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图中有1个涂成阴影的小正方形； 第2个图中有3个涂成阴影的小正方形，3＝2×2－1； 第3个图中有5个涂成阴影的小正方形，5＝2×3－1； …… 第n个图中有（2n－1）个涂成阴影的小正方形。 当n＝5时 2n－1 ＝2×5－1 ＝10－1 ＝9（个） 第5个图中有（9）个涂成阴影的小正方形，第n个图中有（2n－1）个涂成阴影的小正方形。 16． 24 3＋3n 【分析】第一幅图点的数量：（个），第二幅图点的数量：（个），第三幅图点的数量：（个），……，第n幅图点的数量：个，据此解答即可。 【详解】第7幅图需要：（个） 第n幅图需要：（个） 所以第7幅图需要24个点，第n幅图需要（3＋3n）个点。 17． 18 10 4n＋2 【分析】根据图示发现：第1个图案需要小棒：6根；第2个图案需要小棒（6＋4）根；第3个图案需要小棒（6＋4＋4）根；……第n个图案需要小棒的根数是6＋4（n－1）。据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图案需要小棒： 6＋4（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）根 当n＝4时， 4n＋2 ＝4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（根） 4n＋2＝42 解：4n＋2－2＝42－2 4n＝40 4n÷4＝40÷4 n＝10 第4个图案中有18根小棒，第10个图案中有42根小棒，第n个图案中有（4n＋2）根小棒。 18． 31 26 【分析】根据小棒的摆设规律可知，把1根单独拿出来，摆一个正方形就需要加三根小棒，据此找出规律进行解答即可。 【详解】摆1个正方形要小棒：3×1＋1＝3＋1＝4（根）； 摆2个同样的正方形要小棒：3×2＋1＝6＋1＝7（根）； 摆3个同样的正方形要小棒：3×3＋1＝9＋1＝10（根）； 以此类推，摆10个同样的正方形要小棒：3×10＋1＝30＋1＝31（根）； 摆n个同样的正方形要小棒：3×n＋1＝（3n＋1）根； 当3n＋1＝79时，则： 3n＋1＝79 3n＋1－1＝79－1 3n＝78 3n÷3＝78÷3 n＝26 所以摆10个同样的正方形，需要小棒31根；现在有79根小棒可以摆26个这样的正方形。 19． 【分析】由图可知，把正方形看成一个边长是1的正方形，那么先平均分成两份，那么另外一份占，再把第一份平均分成两份，其中一份占，再把分为两份，其中一份是，依次类推，可分到份，所以最终可得到：，即1－＝。 【详解】 ＝1－ ＝ 20．(1) 4 5 (2) 11 n（n＋1） 【分析】序号1：2，1个偶数； 序号2：2＋4，2个偶数； 序号3：2＋4＋6，3个偶数； …… 序号几就是几个连续偶数相加。 2＝1×2， 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 …… 结果＝序号几就用几×（几＋1）。 因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【详解】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）132＝11×12 若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 学科网（北京）股份有限公司 $$