（期末考点必刷）第5单元 圆-2024-2025学年数学六年级上册人教版

第5单元 圆 【必刷点1】圆的认识 1 【必刷点2】圆的周长 3 【必刷点3】圆的面积 4 【必刷点4】扇形 6 【必刷点1】圆的认识 一、核心考点 1．圆的基本定义和性质 圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 圆心：圆中心的点，通常用字母O表示。 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，通常用字母d表示，直径是圆内最长的线段，且等于半径的两倍。 2．圆的对称性 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 圆是轴对称图形，对称轴是任意经过圆心的直线。 二、解题方法 1．利用圆的定义和性质解题 根据圆的定义和性质，判断点和圆、直线和圆的位置关系。 利用圆的对称性，解决相关几何问题。 1．下图，用一把直尺就找出了圆心，主要是因为（    ）。 A．圆有无数条直径 B．直径是圆中最长的线段 C．圆是轴对称图形 D．同一圆内，直径长度是半径的2倍 2．井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口。这是应用了圆特征中（    ）。 A．圆心确定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同一圆内所有直径都相等 D．圆是曲边图形 3．车轮做成圆形的，是因为（    ）。 A．圆的直径是半径的2倍 B．圆是轴对称图形 C．从圆心到圆上任意一点的距离都相等 D．圆的半径决定圆的大小 4．用圆规画一个直径是5cm的圆，则圆规两脚之间的距离是（    ）cm。 A．5 B．10 C．2.5 5．以虚线为对称轴，画出下面轴对称图形的另一半。 【必刷点2】圆的周长 一、核心考点 1．圆的周长定义：圆的周长是指圆边界上一周的长度。 2．圆的周长公式：圆的周长 C 与其半径 r 的关系为 C=2πr，其中 π 是一个无理数，常取值 3.14（但在精确计算中，应使用更精确的值，如 3.14159...）。 3．圆的直径与周长：由于直径 d 是半径 r 的两倍，因此圆的周长也可以表示为 C=πd。 利用周长计算其他量：已知圆的周长，可以反推出圆的半径或直径。 4．实际应用：圆的周长在日常生活和工程中有广泛应用，如计算轮胎的周长、确定圆的边界长度等。 二、解题方法 1．直接应用公式： 已知半径 r，直接代入公式 C=2πr 计算周长。 已知直径 d，直接代入公式 C=πd 计算周长。 2．反推半径或直径：已知周长 C，通过公式 或 反推出半径或直径。 3．解决实际问题： 分析实际问题中的条件，确定需要计算的量（如轮胎的周长），然后选择合适的公式进行计算。 6．在图中，四个圆的圆心在同一条直线上，大圆的周长与三个小圆的周长和比较，（    ）。 A．大圆周长长 B．小圆的周长长 C．一样长 D．无法比较 7．一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，周长增加了( )厘米。 8．求出下面阴影部分的周长。 9．下图中阴影部分的周长是多少厘米？ 10．小明家离学校有1256米，他每天骑自行车回家，自行车的轮胎直径是50厘米，如果自行车每分转80圈，小明多长时间可以到家？ 【必刷点3】圆的面积 一、核心考点 1．圆的面积公式：圆的面积 S 与其半径 r 的关系为 S=πr2 ，其中 π 是一个数学常数，通常取值 3.14（但在精确计算中，应使用更精确的值，如 3.14159...）。 2．利用直径计算面积：由于直径 d 是半径 r 的两倍，因此圆的面积也可以表示为 。 3．圆环的面积：圆环是一个大圆和一个小圆之间的区域，其面积等于大圆的面积减去小圆的面积，即 S环 =πR2−πr 2 =π(R2−r2)，其中 R 和 r 分别为大圆和小圆的半径。 4．单位换算：在进行圆的面积计算时，需要注意单位的一致性。如果给出的半径或直径的单位不是米或厘米等常用单位，可能需要进行单位换算。 二、解题方法 1．直接应用公式：已知半径 r，直接代入公式 S=πr2计算圆的面积。已知直径d，先求出半径 ，再代入公式计算面积。 2．利用圆环面积公式：已知大圆半径 R 和小圆半径 r，代入公式S环 =πR2−πr 2 =π(R2−r2)计算圆环面积。 11．求出下图中阴影部分的面积。 12．从一个长5cm、宽4cm的长方形纸片上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 13．在一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸上剪下两个最大的圆且这两个圆一样大，那么每个圆的面积是多少平方厘米？ 14．在下图中，长方形的面积和圆的面积相等，已知阴影部分的面积是9.42平方厘米，求长方形的长是多少？阴影部分的周长是多少？ 15．实验小学有一个半径6米的圆形花坛，准备在花坛周围铺一条9分米宽的鹅卵石小路，这条鹅卵石小路占地多少平方米？ 【必刷点4】扇形 一、核心考点 1．扇形的定义：扇形是由圆的两条半径和它们之间的一段弧围成的图形。 2．扇形的面积：扇形面积的计算公式为 或 ，其中 n 是扇形的圆心角，r 是圆的半径，l 是扇形的弧长。 3．扇形的弧长：扇形弧长的计算公式为 ，其中 n 是扇形的圆心角，r 是圆的半径。 4．扇形的圆心角：扇形的圆心角是扇形所对的圆心角，通常用度数表示。 5．扇形的性质：扇形的半径都相等。 6．扇形与圆的关系：扇形是圆的一部分，当扇形的圆心角为 360∘时，扇形即为整个圆。 二、解题方法 1．直接应用公式：已知扇形的圆心角、半径或弧长，直接代入相应的公式计算扇形的面积或弧长。 2．利用比例关系：如果已知扇形面积占整个圆面积的比例，以及圆的半径或面积，可以利用比例关系求出扇形面积。同样，如果已知扇形弧长占整个圆周长的比例，以及圆的半径或周长，可以利用比例关系求出扇形弧长。 3．结合其他几何量计算：在复杂的几何问题中，可能需要结合其他几何量（如圆的面积、半径、圆心角等）来计算扇形的面积或弧长。 16．下面图形中，空白部分与阴影部分周长不相等面积相等的图形是（    ）。 A． B． C． 17．下面的图形中，（    ）是圆心角。 A． B． C． 18．图中正方形的周长是24m，若正方形的两条边与圆的半径重合，则阴影部分扇形的半径是( )m，面积是( )m2。 19．在一个面积为120平方厘米的圆中，圆心角为180°的扇形的面积是（    ）平方厘米，圆心角为90°的扇形的面积是（    ）平方厘米，圆心角为60°的扇形的面积是（    ）平方厘米…… 填一填，思考：若圆的面积为S，则圆中圆心角为：n°的扇形的面积是多少？ 20．已知如图所示。每个网格中的小正方形的边长都是1，图中的阴影部分是由三段以小正方形的顶点为圆心，半径分别是1和2的圆弧围成，求阴影部分的面积。（结果保留π） 参考答案： 1．B 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。 直径是圆中最长的线段，在同一个圆内有无数条直径，同一个圆内所有的直径都相等。 【详解】用一把直尺先找出圆中最长的线段即直径，直径的中点就是圆心；所以用一把直尺就找出了圆心，主要是因为直径是圆中最长的线段。 故答案为：B 2．C 【详解】 如图，通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口。这是应用了圆特征中同一圆内所有直径都相等。 故答案为：C 3．C 【分析】车轮做成圆形，主要是因为从圆心到圆上任意一点的距离都相等。当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离就能保持不变。这样车辆行驶起来会更加平稳，不会出现颠簸的情况。据此解答。 【详解】A．圆的直径是半径的2倍，这是圆的基本性质，但与车轮做成圆形的原因无关。 B．圆是轴对称图形，这是圆的特征之一，但不是车轮做成圆形的主要原因。 C．从圆心到圆上任意一点的距离都相等，这使得车轮在滚动时，车轴与平面的距离始终保持不变，保证了车辆行驶的平稳，所以这是车轮做成圆形的主要原因。 D．圆的半径决定圆的大小，这是圆的另一个性质，与车轮做成圆形的直接原因无关。 故答案选：C 4．C 【分析】圆规画圆，圆规两脚之间的距离就是要画的圆的半径，用直径除以2，求出该圆的半径，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 5÷2＝2.5（cm） 综上所述：用圆规画一个直径是5cm的圆，则圆规两脚之间的距离是2.5cm。 故答案为：C 5．见详解 【分析】观察图形可知，这个轴对称图形应该是一个圆环。以图中半圆环的圆心为圆心，先以2格的长度为半径，画出外面的右半圆弧；再以1格的长度为半径，画出里面的右半圆弧。据此解答。 【详解】 6．C 【分析】假设最小的圆的直径是1厘米，最大的小圆的直径是3厘米，中间的小圆的直径是2厘米，则外面的大圆的直径是厘米，根据圆的周长公式，代入数据分别计算大圆的周长及三个小圆的周长和，再比较大小。 【详解】假设最小的圆的直径是1厘米，最大的小圆的直径是3厘米，中间的小圆的直径是2厘米。 （厘米） 外面大圆的直径：（厘米） （厘米） 大圆的周长与三个小圆的周长和一样长。 故答案为：C 7．12.56 【分析】根据圆的周长＝2×半径×圆周率，代入数据计算，分别算出增加前后圆的周长，再进行相减，即可求出周长增加了多少厘米，据此解答。 【详解】2×3.14×4－2×3.14×2 ＝25.12－12.56 ＝12.56（厘米） 即周长增加了12.56厘米。 8．87.92厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝直径是28厘米的圆的周长的一半＋直径是（28÷2）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×28÷2＋3.14×（28÷2） ＝87.92÷2＋3.14×14 ＝43.96＋43.96 ＝87.92（厘米） 阴影部分周长是87.92厘米。 9．18.84厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长由三部分组成，其中一部分为半径是3厘米的半圆弧，另外两部分是直径为3厘米的半圆弧，即相当于直径是3厘米的一个圆，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×3×2÷2＋3.14×3 ＝9.42×2÷2＋9.42 ＝18.84÷2＋9.42 ＝9.42＋9.42 ＝18.84（厘米） 阴影部分周长是18.84厘米。 10．10分钟 【分析】先根据1米＝100厘米把50厘米换算成米，再根据圆的周长公式：C＝πd，代入数据，求出自行车轮胎的周长，再乘80，求出自行车轮胎1分钟行驶的路程，再根据时间＝路程÷速度，用小明家与学校的路程除以自行车轮胎1分钟行驶的路程即可得到小明多长时间可以到家。 【详解】50厘米＝0.5米 1256÷（3.14×0.5×80） ＝1256÷（1.57×80） ＝1256÷125.6 ＝10（分钟） 答：小明10分钟可以到家。 11．3.44平方米 【分析】观察图片可知，圆的半径是2米，根据圆的面积＝πr2可以求出圆的面积。要求阴影部分的面积，可以简单画一个虚线将图片一分为二，如图所示： 如果把右边阴影部分挪到左边部分，就可以得到这样一个图形： 通过圆的半径可以先算出外面长方形的面积，长方形的面积＝长×宽，然后将长方形的面积除以2就能得出一分为二之后正方形的面积，最后把正方形的面积减去圆的面积就能求出阴影部分的面积。 【详解】由圆的半径是2米可知，外面的长方形的长是8米，宽是4米，长方形的面积＝8×4＝32（平方米） 将长方形的面积一分为二之后的得到正方形的面积是32÷2＝16（平方米） 再将右边图形中的阴影部分挪到左边图形中，算出圆的面积＝3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米） 把外面正方形的面积减去圆形的面积，16－12.56＝3.44（平方米） 阴影部分的面积为3.44平方米。 12． 12.56 12.56 【分析】从长方形纸片上剪下一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×4＝12.56（cm） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 这个圆的周长是12.56 cm，面积是12.56 cm2。 13．176.625平方厘米 【分析】 如图：，这个长方形的长与最大圆的4条半径相等，因此用长÷4，求出一个圆的半径，再根据圆的面积公式：面积＝πr2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（30÷4）2 ＝3.14×7.52 ＝3.14×56.25 ＝176.625（平方厘米） 答：每个圆的面积是176.625平方厘米。 14．6.28厘米；15.74厘米 【分析】由题可知，长方形的面积和圆的面积相等，阴影部分的面积是9.42平方厘米，则阴影部分占整个圆的，用阴影部分的面积除以，求出圆和长方形的面积，又知长方形的宽等于圆的半径，根据圆的面积＝πr2，求出圆的半径，再用长方形的面积除以宽，求出长方形的长；阴影部分的周长由四部分组成：圆周长的，长方形的长，长方形的宽以及长方形长与宽之间的差；根据圆的周长＝2πr，分别计算出圆周长的、长方形长与宽之间的差，最后将四部分相加，得到阴影部分的周长。 【详解】9.42÷ ＝9.42× ＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4 4＝2×2 所以圆的半径是2厘米。 12.56÷2＝6.28（厘米） 3.14×2×2× ＝6.28×2× ＝12.56× ＝3.14（厘米） 6.28－2＝4.28（厘米） 3.14＋6.28＋2＋4.28 ＝9.42＋2＋4.28 ＝11.42＋4.28 ＝15.7（厘米） 答：长方形的长是6.28厘米，阴影部分的周长是15.74厘米。 15．36.4554平方米 【分析】从图中可知：外圆的半径＝6＋0.9＝6.9米，根据圆环的面积： S＝πR2－πr2＝π（R2－r2），代入数据计算即可解答。 【详解】9分米＝0.9米 6＋0.9＝6.9（米） 3.14×（6.92－62） ＝3.14×（47.61－36） ＝3.14×11.61 ＝36.4554（平方米） 答：这条鹅卵石小路占地36.4554平方米。 16．C 【分析】观察图形，认真分析每个选项中空白部分与阴影部分的周长和面积，即可进行正确解答。 【详解】A．空白部分与阴影部分的面积都是半圆的面积，周长都是大圆周长的一半加上小圆周长的一半；所以空白部分与阴影部分周长和面积都相等； B．空白部分的面积小于阴影部分的面积，空白部分与阴影部分的周长都是圆的周长的加上正方形的两条边长；所以空白部分与阴影部分周长相等面积不相等； C．空白部分与阴影部分的面积都是底×高÷2，空白部分与阴影部分的周长不相等；所以空白部分与阴影部分周长不相等面积相等。 故答案为：C 17．A 【分析】顶点在圆心的角叫圆心角，据此分析。 【详解】 A．顶点在圆心，是圆心角； B．顶点不在圆心，不是圆心角； C．顶点不在圆心，不是圆心角。 故答案为：A 18． 6 84.78 【分析】观察图形可知，阴影部分扇形的半径等于正方形的边长，扇形的面积是整圆面积的。正方形的周长＝边长×4，则正方形的边长是24÷4＝6（m）。根据圆的面积＝πr2，代入数据计算，求出圆的面积后，再乘即可求出扇形的面积。 【详解】24÷4＝6（m） 3.14×62× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝84.78（m2） 则阴影部分扇形的半径是6m，面积是84.78m2。 19．60；30；20； 【分析】将扇形所在圆的面积看作单位“1”，圆心角为180°的扇形的面积是圆面积的；圆心角为90°的扇形的面积是圆面积的；圆心角为60°的扇形的面积是圆面积的，圆的面积×扇形对应分率＝扇形面积，据此列式计算；由此可知，扇形面积＝扇形所在圆的面积×，据此分析。 【详解】120×＝60（平方厘米） 120×＝30（平方厘米） 120×＝20（平方厘米） 在一个面积为120平方厘米的圆中，圆心角为180°的扇形的面积是60平方厘米，圆心角为90°的扇形的面积是30平方厘米，圆心角为60°的扇形的面积是20平方厘米。 观察上面算式，若圆的面积为S，则圆中圆心角为n°的扇形的面积是。 20．1.5π－3 【分析】由题意可知，先算半径为2的圆的，再算小正方形面积剪去半径为1的圆的得到空白1，计算小正方形的面积，即空白3，最后用半径为2的圆的，减去空白1、空白2、空白3，即可得解。 【详解】 答：阴影部分的面积1.5π－3。 学科网（北京）股份有限公司 $$