13.4 课题学习最短路径问题&真题检测训练-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（人教版）

八年级数学（上册） 13.4课题学习 最短路径问题 《基础巩固练 [答案32] 知织点①@利用轴对称知识解决最短路径问题 知恩点②利用平移解决造桥选址问题 ①（山东东营期末）如图，0B是一条河流，0C是一 ④如图，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上 片菜田，张大伯每天从家(A点处)去河流边挑 建一座小桥，桥的方向与河垂直，设河的宽度不 水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中，请你 变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离 帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线 最短？ 最短.下列四个方案中你认为符合要求的是 ( M一B 行5三目 0 沿AM→MN一NA路线走 沿AAM-→N+VA路线走 4题图 A B 0 沿AM→MN+NA路线走 沿AM+MN+NA路线走 C D dcrn 1题图 2题图 2如图，在4×4的正方形网格中，有A,B两点，在 直线a上求一点P,使PA+PB最短，则点P的 位置应选在 A.C点 B.D点C.E点D.F点 3(河北邯郸临海期*)在等边三角形ABC中，D E分别是BC,AC的中点，点P是线段AD上的一 个动点，当△PCE的周长最小时， P点的位置在 ( A.A点处 B.D点处 C.AD的中点处 D.△ABC三条高的交点处 3题图 [客案33] 《能力提升练 ①（安徽检松期未）如图所示的平面直角坐标系2（河北邢台期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥ 中，点A坐标为(4,2)，点B坐 AD,CD⊥AD,P是CD边上的一动点，要使PA+ 标为(1，-3)，在y轴上有一点 PB的值最小，则点P应满足的条件是GB P使PA+PB的值最小，则点P 0 () 坐标为 A.PB=PA ( A.(2,0) B.(-2.0) B.PC=PD C.∠APB=90 C.(0,2) D.(0.-2) 1题图 D.∠BPC=∠APD 2题图 56 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第十三章轴对称 3(福建福州质检)如图，在五边形ABCDE中， (2)如果在A,B两个城镇之间规划一个生态保 ∠BAE=136°，∠B=∠E=90°，在BC,DE上分 护区（正方形区域），其位置如图③所示，并 别找一点M,N使得△AMN的周长最小，则 规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时 ∠AMN+∠ANM的度数为 铺设管道的方案（不需说明理由）. 态B 保护区 3题图 5题图① 5题图2 5题图③ 4(湖南株洲期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M. (1)若∠ABC=70°，求∠BAC的度数 (2)连接MB,若AB=8cm,△MBC的周长是 14cm. ①求BC的长. ②在直线MN上是否存在点P,使PB+CP 的值最小？若存在，标出点P的位置并求 PB+CP的最小值：若不存在，说明理由， ⑦题型变式 讲本P28答案33 ①（题型1变式）如图，点A,B在直线1的同侧，在 直线1上找一点P,使△PAB的周长最小 B 4题图 1题图 2(题型2变式)如图，已知∠AOB内两定点P,Q. 试在OA,OB上各找一点M,N,使PM+MN+ NQ最短. 2题图 ⑤[核心素养]（南京中考节选）如图①，要在一条 3(题型3变式)如图，在一条河的两岸有两个村 笔直的路边1上建一个燃气站，向1同侧的A,B 庄A.B,现要在河上建一座小桥，桥的方向与河 两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气 流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才 站的位置，使铺设管道的路线最短. 能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村 (1)如图②，作出点A关于1的对称点A',线段 庄A到村庄B的最短路径 A'B与直线I的交点C的位置即为所求，即 ·A 在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的. a38 为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线 l上另外任取一点C,连接AC',BC,证明 3题图 AC+CB<AC'+CB.请完成这个证明： 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提开成绩 57 通八年级数学（上册） 真题检测训练 [客案34] 考点①轴对称图形及轴对称的性质 ⑤（河北石家庄中考）如图，△ABC中，点D在AC (江苏盐城中考)北京2022年冬奥会会徽如图 上，连接BD,∠ABD=2∠DBC,∠ADB=2∠C, 所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的 ∠DBC=∠A,则图中共有等腰三角形() 是 5题图 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B 考点③尺规作图 6(福建中考)如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC 为钝角，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，再 BEIJING 2022 以点C为圆心，AC的长为半径画弧，两弧交于 9 点D,连接AD,与CB的延长线交于点E.下列结 1题图 2题图 论错误的是 2(黑龙江哈尔滨中考)如图.在R1△ABC中， A.CE垂直平分AD ∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC,垂足为D, B.CE平分∠ACD △ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B对称 C.△ABD是等腰三角形 6题图 点是点B',则∠CAB'的度数为 ( D.△ACD是等边三角形 A.10 B.20 C.30 D.40 (吉林长春中考)在△ABC中，∠BAC=90°，AB 考点②等腰三角形的性质 ≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点 3(黄石中考)如图，在△ABC中，∠BAC=75°， D,使△ACD为等腰三角形.下列做法不正确的 ∠ACB=35°，AC=8,∠ABC的平分线BD交边 是 ( AC于点D,则AD+BD的长为 A.10 B.8 C.6 D.4 3题图 4题图 ④（湖南益阳中专）如图，在△ABC中，AC的垂直 平分线交AB于点D,交AC于点E,CD平分 ∠ACB,若∠A=50°，则∠B的度数为( A.25 B.30 C.35 D.409 580 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩八年级数学（上册） 1O.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连接AE 3.(1)①证明：∠BAC=∠DAE :AD⊥BC,.∠ADB=∠ADE=90. .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC. 在△ABD和△AED中，AD=AD,∠ADB=∠ADE, ,∠BAD=∠CAE. DB=DE,.△ABD≌△AED(SAS), 又.AB=AC,AD=AE, .AB=AE.∴，∠B=∠AEB :△ABD≌△ACE..∠ABD=∠ACE. AB BD CD,DE BD,CD DE EC. ∴.∠BCE+∠BHC=∠BCA+∠ACE+∠BAC= ∴.AB+DE=DE+EC,∴AB=EC,.AE=EC. ∠BC4+∠ABD+∠BAC=I80°. 设∠EAC=∠C=x, 2解：：△ABC是等边三角形，且AB=AC=2, ∠AEB为△AEC的外角. .BC=2. ∴.∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴.∠B=2x .△ABD≌△ACE,..BD=CE 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°， .四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD 即2x+120°+x=180°，解得x=20°，∴.∠C=20 +DC+BD +AE BC +2AD. ∴当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长 最小 ·△ABC是等边三角形，AD⊥BC, D 10题答图 Bm=CB=3×2=1 专项7“手拉手“（共顶点）膜型的等腰三角形 1.(1)证明：：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， (2)解：∠BCE+∠BAC=180 理由：如答图，设CE与AD交与点F. ∠ACB=∠DCE=90°. ,∠BAC=∠DAE, .AC=BC,DC=EC, 4 .∴.∠BAD=∠CAE. ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD. 又：AB=AC,AD=AE. ∴.∠BCD=∠ACE. .△ABD≌△ACE. rAC=BC, ∴.∠ADB=∠AEC. C 在△ACE和△BCD中， ∠ACE=∠BCD 3题答图 .∠AFE=∠CFD, CE =CD. ∴.∠EAF=∠ECD. .△ACE≌△BCD(SAS),,AE=BD. ∠BAC=∠FAE, (2)解：△ACB≌△DCE,△EMC≌△BNC. ∴.∠BAC=∠ECD △AON≌DOM,△AOB≌△DOE. 又∠BCE+∠ECD=180, 2.解：BM=AM+CM.理由如下： .∠BCE+∠BAC=180 如答图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF 13.4课题学习最短路径问题 ,'△ABC与△EDC都是等边三 角形， 【基础巩園练】 ∴，AC=BC=AB, 1.D【解析]要找一条最短路线，分别作点A关于 CE CD. OB,0C的对称点A',A”,连接A'A"交OB,OC于点 ∠BCA=∠ECD=60. M,N,则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点 2题答图 .∠BCM+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 挑水，然后再沿N走一条直线到莱国去，同理，画 即∠BCE=∠ACD.∴.△BCE≌△ACD. 出回家的路线图.故选D ,AD=BE,∠BEC=∠ADC 2.A[解析]如答图，点A是点 ME FD. A关于直线a的对称点，连接 在△MEC和△FDC中， ∠MEC=∠FDC, A'B,则A'B与直线a的交点即 LEC DC, 为点P,此时PA+PB最短 ,△MEC≌△FDC(SAS). A'B与直线a交与点C,点 B ∴.MC=FC,∠MCE=∠FCD P的位置应选在C点.同理，也 ∴.∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF= 可以找到点B关于直线a的对 2题答图 ∠ECD=60. 称点求得 ∴.△MCF是等边三角形..MC=MF. 3.D[解析]连接BP.:△ABC是等边三角形，D是 .BM BE ME =AD-DF AM+MF AM +CM. BC的中点，∴.AD是BC的垂直平分线，PB=PC, ·32· 参考答案及解析 ,△PCE的周长为EC+EP+PC=EC+EP+BP,4.解：(1)：AB=AC,∠ABC=70°， 当B,P,E在同一条直线上时，△PCE的周长最 ∴.∠BAC=180°-70°×2=40°. 小.：BE为中线，，点P为△ABC的重心，也是 (2)①.MN垂直平分AB..MB=MA. △ABC三条高的交点.故选D. 又：△MBC的周长是14em,AC=AB=8cm, 4.解：如答图，作BB垂直于河岸GH,且BB等于河 .∴.AC+BC=14cm,∴.BC=6cm 宽，连接AB,与河岸EF交于P,将PB'沿与河垂直 ②存在，当点P与点M重合时，PB+CP的值最小， 的方向平移，得到DB,连接PD,则PD∥BB且PD 即AC的长，故最小值是8cm, =BB'.利用平移可知PB=BD.根据“两点之间，线 5解：(1)连接A'C,点A,点A'关于1对称，点C在1上 段最短”，可知满足题意的路径中，路径A一→P→D→ .'CA=CA',..AC+BC=A'C+BC=A'B. B最短.故桥架在PD处符合题意. 同理可得AC'+CB=A'C+BC' .A'B<A'C'+C'B,..AC+BC <AC'+C'B. (2)如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路 、P F 线是ACDB(其中点D是正方形的顶点) 用 G D、BH 生态B 保护区 B 4题答图 【能力提升练】 1.D[解析]如答图，作点B关于y轴的对称点B, 5题答图 连接AB',交y轴于点P,此时AP+PB=AP+PB= 题型变式 AB的值最小：点B的坐标为(1，-3)， 1,解：由于点A,B为定点，所以线段AB长度不变，所 ,B(-1,-3),.BC=5=AC,.∠ABC=45 以△PAB的周长最小就是PA+PB最小.作点A关 .PD=B'D=1.0D=1-31=3,∴.OP=2, 于直线I的对称点A',再连接A'B,A'B与直线I的 交点即为点P.如答图所示： P(0,-2).故选D. B ◆y E ---A H B'D B 1题答图 D 2.解：如答图，分别作出点P,Q关于OA,0B的对称点 」题答图 2题答图 P,Q',连接PQ',与OA,OB的交点即为所要找的 2.D[解析]如答图，作点A关于CD的对称点A',连 点M,N 接A'B,交CD于点P,连接AP,则PA+PB的最小 值为A'B的长，此时点P即为所求，点A'与点A 关于CD对称，.∠APD=∠A'PD.∠BPC=∠A PD,∴.∠BPC=∠APD.故选D, 3.88°[解析]如答图，作点A 关于BC的对称点P,关于 B DE的对称点Q,连接P0与P 2题答图 D BC相交于点M,与DE相交 3.解：如答图，过点A作AC垂直于河岸，且使AC的长 3题答图 于点N,则AM=PM,AN= 等于河宽，连接BC与河岸(GH相交于点N,过点N 作NM⊥EF于点M,则MN为所建桥的位置，从村 QN,所以∠P=∠PAM,∠Q=∠QAN,∴.△AMN的 庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B. 周长为AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ,由轴 对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长 最小值.，∠BAE=136°，∴.∠P+∠Q=180°-136© M =44°，·∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM= ∠Q+∠QAN=2∠Q,∴.∠AMN+∠ANM=2(∠P+ ∠Q)=2×44°=88°.故答案为88°. 3题答图 ·33· 八年级数学（上册） 真颧检测训练 6.A[解析]由题意，得1GB=1×2"×2×2"B= 1,D[解析]A,B、C选项，不是轴对称图形：D选项， 20+10+0B=20B. 是轴对称图形.故选D. 7.解：原式=32+7-32+6-3+7=3×3-2×38=3 2.A[解析]∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40. 8.解：(1)a3·a·a2w+1=a5 ,:△ADB与△ADB关于直线AD对称，点B的对称点 a34m+2m+1=a25 是点B,.∠ABB=∠B=50°，∠CMB'=∠ABB- ∴.3+m+2m+1=25,解得m=7. ∠C=10°故选A. (2)由题意，得m-n+2n+1=11,m-1+5-n=6, 3.B[解析]在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°， 解得m=6,n=4.∴mn2=6×42=96. .∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°，BD平分9.解：(1)2※3=22×23=4×8=32 ANGCABC3.LDRG-LACB, (2)2※(x+1)=16, 即22×21=23=16=2， .BD=CD,∴AD+BD=AD+CD=AC=8.故选B. ..x+3=4,.x=1. 4.B[解析]~DE垂直平分AC,AD=CD,∠ACD1O.B[解析]y+2可以改写成y·y.故选B =∠A=50°，又：CD平分∠ACB,∴.∠ACB=2∠ACD 11.B[解析]2°=5,2=3.2,2=6.4,2=10 =100°，∴.∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°- 2b+4=5×3.2×6.4×10=16×64=20, 100°=30°，故选B. .a+b+e+d=10.故远B. 5.D[解析]图中共有等腰三角形3个，，∠ADB= 12.27a[解析]am1=a"·a”·a,因为a”=3,a ∠C+∠DBC,∠ADB=2∠C,∴.∠DBC=∠C, =9,所以a"·4"·a=27a,所以a++1=27a .△BCD是等腰三角形，：∠ABD=2∠DBC 14.1.2幂的乘方 ∠ABD=∠ADB,∴，△ABD是等腰三角形， 14.1.3积的乘方 ∠DBC=∠A,.∠A=∠C,∴△ABC是等腰三角 【基础巩固练】 形，故选D. 1.B[解析](m)3=m2x3=m 6.D[解析]由题意可得CM=CD,BM=BD,:直线 2.D[解析]a3与a2不是同类项，不能合并，故A错 CB是AD的垂直平分线，即CE垂直平分AD,故A 误；a2·a3=a23=a5,故B错误：(al)3=a+3,故 选项结论正确：AC=DC,CE⊥AD,∠ACE= C错误.易知D正确. ∠DCE,即CE平分∠ACD,故B选项结论正确； 3.C[解析]m,n均为正整数，且2m+3n=5, DB=AB,∴△ABD是等腰三角形，故C选项结论 4°·8°=(22)"·(23)”=2·2=22+=25=32 正确：：AD与AC不一定相等，△ACD不一定是 4.解：(1)(m2)1=m2-=m2-2. 等边三角形，故D选项结论错误.故选D. (2)(y)2·(-y3）=-y2m·y3=-y2+3 7.A[解析]A选项，由作图可知AD是△ABC的角 (3)(-a3)2+(-a2)3=a°-a°=0. 平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合 (4)6a-2(a3)2·a2=6a"-2a°·a2=6a*-2a=4a 题意.B选项，由作图可知CA=CD,△ADC是等腰 5.D6.C7.B 三角形，本选项不符合题意.C选项，由作图可知DA 8.解：(1)a”=2,a”=3,.a2m+"=a2·a”=(a")2 =CD,△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意.D a”=22×3=4×3=12. 选项，由作图可知BD=CD,推出AD=DC=BD, (2)x=2,.(x")2-4(x2)=xm-4x"=(x2)月 △ADC是等腰三角形，本选项不符合题意.故选A. -4(x)2=2-4×22=8-4×4=8-16=-8. 第十四章整式的乘法与因式分解 9.B10.D 14.1整式的乘法 11.解：因为(xy·灯)卢=(x+1y+1)卢=x3,+5 14.1.1同底数幂的乘法 =x"y5, 【基础巩固练】 所以5a+5=10,5b+5=15,所以a=1,b=2, 1,D[解析]A项，x与a的底数分别是x与a,不是 所以3a(b+1)=3×1×(2+1)=9. 同底数暴；B项，(-a)与-a3的底数分别是-a 12.B[解析]2×5=(2×5)'×5=5×10.故选B. 与a,不是同底数暴：C项，(x-y)2与(y-x)2的底 13.8[解析]原式=2×2×4”×4×0.125”=(2× 数分别是x-y与y-x,不是同底数幂：D项，-x 4×0.125)×2×4=1×2×4=1×2×4=8. 与x的底数都是x,是同底数幕 2.B 14解：原武=（子×1.）×号÷ x21=1x3 12 3.C[解析]x"+"·x2m+3m=xm+}+《-2m+3n)= 【能力短升练】 1.A[解析]根据暴的乘方与积的乘方的运算法则 4.D5.A 计算：(-a2)=-a,故选A. ·34·