第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教学课件PPT（人教版）

第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称 学习目标 1 2 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点） 能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 新课导入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ 为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ 新课导入 知识讲解 1、牧马人饮马问题 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”. A B ① ② ③ P l A B C D 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 知识讲解 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ A l B C 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 连接AB,与直线 l 相交于一点C. 知识讲解 问题2 如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ A l 利用轴对称，作出点B关于直线l 的对称点B′. B B′ 知识讲解 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C 知识讲解 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C ′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ 知识讲解 例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ 　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值. B 知识讲解 总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而 后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条 件求解. 知识讲解 例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是 y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 解析：作B点关于y 轴对称点B′，连接AB′，交y 轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可． B′ C′ E A 知识讲解 总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后 将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三 角形周长最小时动点的位置. 知识讲解 如图，A和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ B A 2、造桥选址问题 知识讲解 ? B A ● ● N M N M 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和