专项4 构造全等三角形的常用方法&易疑难集训二-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（人教版）

第十二章全等三角形 专项4构造全等三角形的常用方法 [客案PI5] 类型①“倍长中线法”构造全等三角形 煲型®“截长补短法”构造全等三角形/ ①如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，4如图，在△ABC中，∠A=60°，BD,CE分别平分 AB=5,AC=3,求AD的取值范围。 ∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O,试判断BE, CD,BC的数量关系，并加以证明. D 1题图 4题图 2如图，在△ABC中，点E,D在BC边上，CD=AB,1⑤如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F ∠BAD=∠BDA,点E是BD的中点， 求证：∠C=∠BAE. 分别为DC,BC边上的点，且∠EF=2∠DMB 试猜想DE,BF,EF之间的数量关系，并证明你 的猜想 D 2题图 5题图 3如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一 点，且BE=AC.求证：∠BED=∠DAC. 6如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角 平分线AD,CE相交于点O.求证：AE+CD=AC. 3题图 D 6题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 29 八年级数学（上册） 易错疑难集训二 [客案P17] 圆僧题建点（⑨对全等形的定义理解不透 ⑤如图，在△ABC中，BD=CD.∠1=∠2.求证：AD ①下列说法中正确的是 ( 平分∠BAC. A.面积相等的两个图形一定是全等形 B.两个等边三角形是全等形 C.两个全等形的面积一定相等 D D.周长相等的两个图形一定是全等形 5题图 圆衢疑地点②对全等三角形的对应关系理解不透 2(教村P33T1变式)如图，△ABC一△CDA. 下列结论：①AB与AD是对应边： ②MC与CA是对应边： ③∠BAC与∠DAC是对应角： ④∠CAB与∠ACD是对应角. 其中正确的是 .(填序号) 易带励超点④对图形考虑不全面 6两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形 2题图 全等吗？ 易错疑超息（③误用“SSA”证明三角形全等 3(重庆江津实验中学期中)△ABC和△DEF全 等，AB与DE是对应边，AB=2,BC=4,若△DEF 的周长为奇数，则DF= ( A.3 B.4 C.3或5 D.3或4或5 ④（石家庄期末）如图，AB=12m,CA⊥AB于点A, DB⊥AB于点B,且AC=4m,P点从B向A运 动，速度为1m/min,Q点从B向D运动，速度为 2m/min,P,Q两点同时出发，运动 min 后，△CAP与△PBQ全等 P 4题图 306 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩参考答案及解析 在R△ABE和R△DCF中，E=DF: [AB DC, ∠BDO=∠CEO 在△BDO和△CEO中 DB=EC. ∴.Rt△ABE≌Rt△DCF(HL). ∠B=∠C, ∴.∠ABE=∠DCF. .÷△BDO≌△CEO(ASA),.OB=OC. AB DC. 5.证明：FB=CE, 在△ABC和△DCB中， ∠ABC=∠DCB, .FB+FC=CE+FC. BC =CB. .BC=FE. .△ABC≌△DCB(SAS),AC=DB. AB∥ED,.∠ABC=∠DEF 2.解：(1)根据题意画出示意图，如答图所示。 又：AC∥FD. (2)由题意可知∠BAC=∠EDC=90°，60cm=0.6m .∠ACB=∠DFE. .AC=20×0.6=12(m). B ,∠ABC=∠DEF, DC=20×0.6=12(m), 小河 在△ABC和△DEF中， BC=EF. DE=100×0.6=60(m). L∠ACB=∠DFE, 点E,C,B在同一条直线上 ∴.△ABC△DEF(ASA), .∠DCE=∠ACB. ∴.AB=DE,AC=DF .∠BAC=∠EDC=90°，AC=DC 6.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .△ABC≌△DEC,∴，AB=DE. .AB∥CD. DE=60m.∴.AB=60m 2题答图 .∠AFN=∠CEM, ∴，A,B两根电线杆之间的距离大约为60m AF =CE, 专项3全等三角形的常见膜型 在△AFN和△CEM中，∠AFN=∠CEM. 1.证明：AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F, LFN=EM, ∴，∠ACB=∠DFE=90 .△AFN≌△CEM(SAS), BC=EF. .∠AWF=∠CME. 在△MBC和△DEF中 ∠ACB=∠DFE, ∴.AN∥CM. LAC DF. 7.(1)证明：：BD⊥直线m,CE⊥直线m, .△ABC≌△DEF(SAS). .∠BDA=∠CEA=90° 2.解：AC与DF的数量关系相等，位置关系是平行 :∠BAC=90°，.∠BAD+∠CAE=90 证明：：BE=CF, ∠BAD+∠ABD=90°，∴，∠CAE=∠ABD. ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. r∠BDA=∠AEC, 在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE, AB DE. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF, LAB =CA, BC EF, .△ADB≌△CEA(AAS),∴.BD=AE,AD=CE, ∴.△ABC≌△DEF(SAS). ∴，DE=AE+AD=BD+CE. ,AC=DF,∠ACB=∠DFE..AC∥DF, (2)解：成立.证明如下： AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. :∠BDA=∠BAC=&, 3.证明：∠AEF=∠DEC, ∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=I8O°-x, .∠CAE=∠ABD .∠AEF+∠FEC=∠DEC+∠FEC ∠BDA=∠AEC, 即∠AEC=∠DEF 在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CME, r∠AEC=∠DEF, LAB=CA. 在△AEC和△DEF中，∠C=∠F, △ADB≌△CEA(AAS),AE=BD,AD=CE, LAE DE. ∴.DE=AE+AD=BD+CE. .△AEC≌△DEF(AAS). 专顶4构造全等三角形的常用方法 4.证明：BE⊥AC,CD⊥AB, 1.解：如答图，延长AD到点E,使DE=AD,连接CE .∠ADC=∠AEB=∠BIDO=∠CE0=90°. :AD为BC边上的中线， r∠BEA=∠CDA, .BD CD 在△ABE和△ACD中，{∠A=∠A, 在△ABD和△ECD中， LAB =AC, AD ED. D .△ABE≌△ACD(AAS). ∠ADB=∠EDC, ∴AD=AE,∠B=∠C,∴.BD=EC. BD CD. E .△ABD≌△ECD(SAS), 1题答图 ·15· 八年级数学（上册） .AB=EC=5. CD =CC. 在△ACE中，由三边关系定理可知EC-AC<AE< 在△CDO和△CG0中 ∠OCD=∠OCG, EC +AC. 0C=0C, AE=2AD,.5-3<2AD<5+3,.1<AD<4. .△CDO≌△CGO(SAS), :翼点拨… .∠C0D=∠C0G=60°， 把中线AD加倍延长至点E,可以构造△ABD ∴.∠B0G=180°-∠B0E-∠C0G=60. △ECD,可得AB=EC.在△ACE中，利用三边关 .∠EOB=∠GOB. 系定理便可确定AE的取值范围，从而确定AD 的取值范围 ∠EOB=∠GOB, 在△BOE和△BOG中， B0=B0, 2.证明：如答图，延长AE至F,使EF=AE,连接DF L∠EBO=∠GBO, :点E为BD的中点， :BE DE. ∴.△BOE≌△BOG(ASA).∴.BE=BG. BC=BG+CG=BE+CD. 又，∠BEA=∠DEF,AE=FE, ∴.△ABE≌△FDE. 5.解：DE+BF=EF. ∴.AB=FD,∠B=∠BDF,∠BAE=∠F 证明：延长CB至G,作∠5=∠1，如答图所示. ,CD=AB,∴.DF=DC. :将R1△ABC沿斜边翻折得到△ADC, ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠BDF, ∠EF=3∠DMB, ∠BAD=∠BDA,∠B=∠BDF, .∠ADC=∠ADF .∴AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠2+∠3=∠I+∠4. 又DF=DC,AD=AD ∠5=∠1，∴.∠2+∠3=∠4+∠5 ∴.△ADF≌△ADC..∠C=∠F ∴.∠GAF=∠EAF 又∠BAE=∠F,∠C=∠BAE r∠5=∠1. 在△AGB和△AED中，AB=AD, I∠ABG=∠ADE, .△AGB≌△AED(ASA)..AG=AE,BG=DE. D AG=AE, 在△AGF和△AEF中，{∠GAF=∠EAF LAF=AF. 2题答图 .△AGF≌△AEF(SAS)..GF=EF 3.证明：如答图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作 BG+BF =EF.:DE+BF EF. BG⊥AD,交AD的延长线于点G. ∴，∠G=∠CFD=90°. AD是△ABC的中线， .BD CD. 又：∠BDG=∠CDF, ∴.△BDG≌△CDF B .BG=CF. B G 5题答图 在Rt△BGE和Rt△CFA中， 3题答图 6.证明：如答图，在AC上取点F,使AF=AE,连接OF 能C:m△BGE≌△CA( AD平分∠BAC.∴，∠EAO=∠FAO. AE =AF. .∠BED=∠DAC 在△AE0和△AF0中，{ ∠EAO=∠FAO 4.解：BC=BE+CD. A0=A0. 证明：在BC上取一点G,使CG=CD,连接OG BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB, .△AEO≌△AFO(SAS),∴.∠AOE=∠AOF ,∴.∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE. ·CE平分∠ACB,.∠ECA=∠ECB. :∠A=60°，∴.∠ABC+∠ACB=120 ∴.∠OBC+∠OCB=60. 六L01C+∠o1=(∠BAc+LACB) ∴.∠B0E=∠C0D=∠OBC+∠OCB=60°， =2180-∠B)=60 :∠AOE是△AOC的外角， ∴.∠AOE=∠OAC+∠OCA, ∴.∠AOE=∠AOF=60°. :∠AOE=∠C0D.,∠COF=∠COD=60° 4题答图 ·16 参考答案及解析 ∠OCF=∠OCD 综上所迷，存在1=4使得△ACP与△BPQ全等. 在△CFO和△CD0中， C0=C0, ∠A=∠8=0CA1AR,》81AR L∠COF=∠COD. BP=x m,80=2x m, ∴.△CFO≌△CDO(ASA), 分情况 AP=(12-)m 设运动时间为xmin CF =CD. 可论 8P=AG-=网-4P-B08▣-△CMP≌△PB ·AF+CF=AC BP=D-=O-Bg=12/AC-△CMP'△QBP不个等 ∴.AE+CD=AC 5.证明：如答图，过点D作DE⊥AB于点E,作DF1 AC于点F DE⊥AB,DF⊥AC, 0 ∴∠BED=∠AED=∠CFD=∠AFD=90 r∠BED=∠CFD. G 在△BDE和△CDF中，{∠1=∠2， 6题答图 BD CD, 点拨… ·△BDE≌△CDF(AAS).∴.DE=DF 解题的关键是采用截长的方法构造全等三角 [AD =AD, 形.利用“SAS”直接证明两个三角形全等，由 在R△ADE和R△ADF中，DE=DF, ∠B=60°和两条内角平分线的条件可以得到 ∴.Rt△ADE≌RI△ADF(HL). ∠AOE=∠AOF=∠C0F=∠COD=60°，再证 .∠DAE=∠DAF..AD平分∠BAC 明△CFO兰ACDO,然后等量代换可得结论 易错疑难集训二 1.C 以易错分析 全等形关注的是两个图形的形状和大小，两个 全等形的面积相等，周长也相等，但面积相等或 5题答图 周长相等并不能保证两个图形一定是全等形. :愿易错分析 一般地，只有两个图形的形状和大小完全相同， 错解运用了“边边角”来判定两个三角形全等 我们才可以说两个图形是全等形 这是不正确的.因为有两边及其中一边的对角 2.24 对应相等的两个三角形不一定全等： 3.D[解析]△ABC和△DEF全等，.△ABC和 6.解：不一定全等 △DEF的周长相等，∴△ABC的周长为奇数，又AB 如答图： =2,BC=4,.AC的长为奇数.根据三角形的三边 关系，得4-2<AC<4+2,即2<AC<6,,AC=3 或5.：AB与DE是对应边，∴.DF的对应边是AC 或BC,,DF=3或4或5. 易错分析 6题答图 本题的易错之处是没有进行分类讨论，虽然AB AB=A'B',BC=BC,CD⊥AB,C'D'⊥A'B',且CD= 与DE是对应边，但另两边的对应关系不明确， CD'.但△ABC与△A'B'C不全等 因此需要分类讨论求解.“全等”与“一”意义不 :易错分析 一样，“≌”表示对应关系已经确定，而“全等” : 在证明过程中，如果题中没有给出图形，一定要 中的对应关系不确定，因此，当题中出现“全等” 先作出图形所有可能的情况，然后再根据已知 时，应分类讨论进行解答，香则容易漏解 的条件，结合图形，用学过的三角形全等的判定 4.4[解析]①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP= 方法逐个判定 r4=, 12.3角的平分线的性质 BQ.可得 12-1=2.解得1=4②若△4CP兰 【基础巩固练】 △B0P,则AC=B0,AP=BR,可得4=2，无解 1.B[解析]由作法得∠DPG=∠AOB=25°，所以 1t=12-6. ∠CPG=∠CPD-∠DPG=55°-25°=30°.故选B. ·17·