课时4 斜边及一条直角边证全等(HL)-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（人教版）

八年级数学（上册） 课时4斜边及一条直角边证全等(HL) [PS=PR. 【基础巩固练】 2.B[解析]在R△APR和R△APS中，P=AP 1.A[解析]条件是AB=CD.理由：AE⊥BC, ∴.Rt△APR≌RI△APS(HL),∴.AR=AS,①正确： DF⊥BC,.∠CFD=∠AEB=9O°.在Rt△ABE和 PR=PS,在R△BRP和△OSP中，OD RACF中，S_,△AB≌Rm△DCF( ∴.Rt△BRP≌R△QSP(HL),.BR=QS,.AB+AQ 故选A =2AR,故③正确.：无法得出∠APQ=∠B4P,所以 2.8cm[解析]∠C=90°，DE⊥AB,∴.∠C=∠BED 得不出PQ∥AB,故②错误.故选B. 3.12[解析]连接BE.∠C=90°，DE⊥AB,在 =90,在Rt△BCD和Rt△BED中，D, ∴，RI△BCD≌RI△BED(HL),∴.CD=ED, R△BE为△mE中，[能ACE2 即AD+DE=AD+DC=AC=8cm,故答案为8cm. R△BDE(HL),.CE=DE.设BC=BD=x. 3.证明：AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的 △ABC的周长为36，△ADE的周长为12，∴.BC+ 高，且AC=AE,AD=AF, BD +CE +AD +AE=BC +BD DE +AD+AE=+ ÷Rt△ADC≌RI△AFE(HL),∴CD=EF x+12=36,解得x=12,即BC=12.故答案为12. AB=AB,AD=AF,.RL△ABD≌Rt△ABF(HL), 4.解：∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，AC=BC ∴.BD=BF,∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. :∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°， 4.A[解析]A项，两个锐角分别对应相等的两个直 .∠DAC=∠ECB. 角三角形不一定全等：B项，利用“SAS”可判定两个 ∠DAC=∠ECB, 直角三角形全等：C项，利用“HL”可判定两个直角 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB, LAC=CB. 三角形全等：D项，利用“AAS”可判定两个直角三 角形全等，故A符合题意. ∴.△ACD≌△CBE(AAS),∴.BE=CD=2. 5.(1)证明：：AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, 5.D[解析]BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠AEB=∠CFD =90°.选择①，可利用“AAS”证明Rt△ABE兰 ∴.AD=AE,∠DAE=60°. R△DCF:选择②，由AB∥CD,可得∠A=∠D,可利 .∠BAC=60°，∴.∠BAC=∠DAE. ∠BAD=∠CAE. 用“AAS”证明Rt△ABE≌R△DCF;选择③，可利用 AB =AC, “HL”证明R△ABE≌Rt△DCF;选择④，由AF= 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE, DE,可得AE=DF,可利用“HL”证明Rt△ABE≌ AD =AE. RI△DCF.故①②③④都可判定Rt△ABE≌ ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE. Rt△DCF (2)解：由(1)得∠ABD=∠ACE. 6.证明：：AC⊥BC,AD⊥BD, 又：∠AGB=∠CGF,∴∠BFC=∠BAC=60 ∴.∠ACB=∠BDA=90 ∠BFE=120 在R△ABC和R△BMD中，BC=AD, 「AB=BA, 如答图.过A作BD.CF的垂线段分别交于点M,N '△ABD≌△ACE,BD=CE .RL△ABC≌Rt△BAD(HL), ∴.由面积相等可得AM=AN ∴.∠CBA=∠DAB. CE⊥AB,DF⊥AB,∴.∠CEB=∠DFA=90 在R△AFM和RI△AFN中，AM=AN' ,∠CEB=∠DFA, ,.Rt△AFM≌Rt△AFN(HL). 在△BCE和△ADF中， ∠CBE=∠DAF, .∠AFM=∠AFN (BC=AD, ∴，∠BFC=∠AFB=∠AFE=60 △BCE≌△ADF(AAS)..CE=DF 【能力提升练】 1.C[解析]AF=BE,∴.AF-EF=BE-EF,即AE= BF又CE⊥AB,DF⊥AB.∴，△ACE和△BDF均为直 角三角#在△ACE和R1△BDF中，AC=BD, AE =BF, 5题答图 ∴.Rt△ACE≌Rt△BDF(HL), 题型变式 ,∠A=∠B.∠C=35°，∴.∠A=90°-35°=55°， 1.证明：AE⊥BC,DF⊥BC, ∠B=55. .∠AEB=∠DFC=90°. ·14 参考答案及解析 在R△ABE和R△DCF中，E=DF: [AB DC, ∠BDO=∠CEO 在△BDO和△CEO中 DB=EC. ∴.Rt△ABE≌Rt△DCF(HL). ∠B=∠C, ∴.∠ABE=∠DCF. .÷△BDO≌△CEO(ASA),.OB=OC. AB DC. 5.证明：FB=CE, 在△ABC和△DCB中， ∠ABC=∠DCB, .FB+FC=CE+FC. BC =CB. .BC=FE. .△ABC≌△DCB(SAS),AC=DB. AB∥ED,.∠ABC=∠DEF 2.解：(1)根据题意画出示意图，如答图所示。 又：AC∥FD. (2)由题意可知∠BAC=∠EDC=90°，60cm=0.6m .∠ACB=∠DFE. .AC=20×0.6=12(m). B ,∠ABC=∠DEF, DC=20×0.6=12(m), 小河 在△ABC和△DEF中， BC=EF. DE=100×0.6=60(m). L∠ACB=∠DFE, 点E,C,B在同一条直线上 ∴.△ABC△DEF(ASA), .∠DCE=∠ACB. ∴.AB=DE,AC=DF .∠BAC=∠EDC=90°，AC=DC 6.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .△ABC≌△DEC,∴，AB=DE. .AB∥CD. DE=60m.∴.AB=60m 2题答图 .∠AFN=∠CEM, ∴，A,B两根电线杆之间的距离大约为60m AF =CE, 专项3全等三角形的常见膜型 在△AFN和△CEM中，∠AFN=∠CEM. 1.证明：AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F, LFN=EM, ∴，∠ACB=∠DFE=90 .△AFN≌△CEM(SAS), BC=EF. .∠AWF=∠CME. 在△MBC和△DEF中 ∠ACB=∠DFE, ∴.AN∥CM. LAC DF. 7.(1)证明：：BD⊥直线m,CE⊥直线m, .△ABC≌△DEF(SAS). .∠BDA=∠CEA=90° 2.解：AC与DF的数量关系相等，位置关系是平行 :∠BAC=90°，.∠BAD+∠CAE=90 证明：：BE=CF, ∠BAD+∠ABD=90°，∴，∠CAE=∠ABD. ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. r∠BDA=∠AEC, 在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE, AB DE. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF, LAB =CA, BC EF, .△ADB≌△CEA(AAS),∴.BD=AE,AD=CE, ∴.△ABC≌△DEF(SAS). ∴，DE=AE+AD=BD+CE. ,AC=DF,∠ACB=∠DFE..AC∥DF, (2)解：成立.证明如下： AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. :∠BDA=∠BAC=&, 3.证明：∠AEF=∠DEC, ∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=I8O°-x, .∠CAE=∠ABD .∠AEF+∠FEC=∠DEC+∠FEC ∠BDA=∠AEC, 即∠AEC=∠DEF 在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CME, r∠AEC=∠DEF, LAB=CA. 在△AEC和△DEF中，∠C=∠F, △ADB≌△CEA(AAS),AE=BD,AD=CE, LAE DE. ∴.DE=AE+AD=BD+CE. .△AEC≌△DEF(AAS). 专顶4构造全等三角形的常用方法 4.证明：BE⊥AC,CD⊥AB, 1.解：如答图，延长AD到点E,使DE=AD,连接CE .∠ADC=∠AEB=∠BIDO=∠CE0=90°. :AD为BC边上的中线， r∠BEA=∠CDA, .BD CD 在△ABE和△ACD中，{∠A=∠A, 在△ABD和△ECD中， LAB =AC, AD ED. D .△ABE≌△ACD(AAS). ∠ADB=∠EDC, ∴AD=AE,∠B=∠C,∴.BD=EC. BD CD. E .△ABD≌△ECD(SAS), 1题答图 ·15·第十二章全等三角形 课时4斜边及一条直角边证全等(L) <《基础巩固练 [客案PI4] 细调息⑨用“HL”判定直角三角形全等 如调点②“HL”判定定理的应用 (山东潍劫期来)如图，BE=CF,AE⊥BC于E, 4④（张家口宣化区期来）下列条件中不能判定两个 DF⊥BC于F,要根据“HL”证明Rt△ABE≌ 直角三角形全等的是 ( Rt△DCF,则还要添加一个条件是 ( A.两个锐角分别对应相等 A.AB=DC B.∠A=∠D B.两条直角边分别对应相等 C.∠B=∠C D.AE=DF C.一条直角边和斜边分别对应相等 D.一个锐角和斜边分别对应相等 ⑤（寄泽期末）如图，已知AB=DC,BE上AD于点 E,CF⊥AD于点F,有下列条件，其中选择一个 就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是() 1题图 2题图 ①∠B=∠C;②AB∥CD: 2如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE ③BE=CF;④AF=DE. ⊥AB于点E,BE=BC,连接BD,若AC=8cm,则 A.①② AD+DE等于 B.①②③ 3如图，已知AD,AF分别是钝角△ABC和钝角 C.①③④ △ABE的高，如果AD=AF,AC=AE, D.①②③④ 5题图 求证：BC=BE. 6(散村P42倒5变式)如图，AC⊥BC,AD⊥BD D AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为点E,F 求证：CE=DF 3题图 6题图 《能力提升练> [答案P14] 1(江西九江期中)如图，CE⊥AB,DF⊥AB,垂足2（湖北鄂州期中）如图，在△ABC中，PB=PQ,PR 分别为E,F,且AC=BD,AF=BE,若∠C=35° =PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则三个结论： 则∠B的度数为 ( ①AS=AR;②QP∥AR;③AB+ A.45 AQ=2AR中 B.35° A.全部正确 C.55° B.仅①和③正确 D.60° C.仅①正确 1题图 2题图 D.仅①和②正确 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 八年级数学（上册） 3(江苏南京期中)如图，在△ABC中，∠C=90°， ○题型变式 讲本14答案P川4 点D在AB上，满足BC =BD,过点D作DE⊥ 1(题型1·典倒3变式)如图，已知AE⊥BC,DF AB交AC于点E,若 ⊥BC,点E,F是垂足，AE=DF,AB=DC,求证： △ABC的周长为36， AC=DB. △ADE的周长为12，则 3题图 BC= 4如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P 在AB上，AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D,E, 1题图 已知DC=2,求BE的长. D 4题图 2(题型2变式)如图所示的A,B是两根呈南北方 向排列的电线杆，A,B之间有一条小河，小刚想 估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A 点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C 处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左 转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自 5[核心素养]如图①，D为等边△ABC内一点，将线 己现在所处的位置E恰好在同一直线上时，他 段AD绕点A逆时针旋转60得到AE,连接CE, 从D处走到E处恰好走了100步.利用上述数 BD的延长线与AC交于点G,与CE交于点F. 据，小刚测出了A,B两根电线杆之间的距离。 (1)求证：BD=CE: (1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示 (2)如图②，连接FA,小颖对该图形进行探究， 意图； 得出结论：∠BFC=∠AFB=∠AFE.小颖的 (2)如果小刚一步大约走60cm,请你求出A,B 结论是否正确？若正确，请给出证明；若不 两根电线杆之间的距离 正确，请说明理由 ·B 小河 小河 5题图① 5题图② 2题图 26 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩